Файл: Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики.pdf

Ошибки измерений независимы, не смещены и распределены по нормальному закону:

Пусть, кроме того, о векторе начальных условий л:0 и векторе случайных возмущений ■6'= (й[, ..., ФЛ-) имеетсяаприорная ин­ формация

В данной постановке необходимо оптимально оценить пара­ метры движения на любой момент времени измерения ti. Оценка

x(ti) может быть получена с учетом измерений гь ..., г,, накоп­

фильтрации измерений и обозначается через л*,•/,•, во втором — в

результате сглаживания измерений и обозначается лу-д- .Эти

оценки не совпадают между собой, за исключением ■момента времени tN.

Л В большинстве случаев оценка X i,n строится с учетом оценки Xiji, т. е. решается сначала задача фильтрации, а затем произ­ водится сглаживание. Будем искать оценки лунаилучшие в смысле метода максимальной апостериорной вероятности. В со^ ответствии с выражениями (6.4.5) —(6.4.7) запишем плотность вероятностей совместного распределения векторов х0, h и #:

-|-Л1ЯЛ + * т/>**]),

няхо?ятгКаИЛ °,!!еТ0ДУ максимальной апостериорной вероятности нияхД(6 4 3) У 0ВИЯ минимУма критерия (6.4.8) при ограниче-

х 7+1= Ф,-*г- + Т&о-

176

Для учета ограничений введем совокупность неопределенных векторных множителей Лагранжа <у0, s N, размерность кото­ рых совпадает с размерностью вектора х, и новый критерий

J V -1

В результате получаем задачу на безусловный экстремум крите­ рия (6.4.9). Система экстремальных уравнений запишется в виде

непосредственно следуют соотношения

с помощью которых случайные возмущения из дальнейшего рассмотрения могут быть исключены.

Преобразованная с учетом равенств (6.4.11) система уравне­ ний (6.4.10) имеет вид

B l l ( х 0— т Хо)— ®Ss0= 0 ;

**й — ф о * о — ^ oT oY oSq = 0 ;

—P& z i + So — ф1«1= 0»

P1\^ n \'n X n p n \ n Zn -j- ■SyV_ i 0,

5^ = 0.

177

Объединяя подобные члены и изменяя порядок операций, за­ пишем уравнения:

x 0 = B Xo<S>ls0 + m Xo;

Система уравнений (6.4.12) представляет собой двухточеч­ ную граничную задачу. Условия на границах определены пер­ вым и последним уравнениями системы.

Двухточечная граничная задача в общем случае может быть решена методом «машинной пристрелки». Однако для линейной динамической модели можно построить рекуррентную процеду­

ру определения оценок фильтрации Хщ, а затем решить задачу сглаживания. Уравнения (6.4.12) являются исходными для по­ лучения фильтра Калмана. Фильтр Калмана и конкретный при­ мер его использования изложены в гл. X.

§ 6.5. ОЦЕНИВАНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОЙ МОДЕЛИ

Под неопределенной моделью движения космического объек­ та будем понимать вектор параметров движения, связь которого с вектором характеристик модели движения и состав самого вектора характеристик являются неизвестными. В этом случае модель^ полностью определяется выбором системы координат, в которой рассматривается движение. С подобными моделями приходится иметь дело в аварийных ситуациях, а также при оценивании движения неопознанных управляемых объектов.

Для простоты предположим, что модель измерения является непосредственной, так что каждую составляющую вектора пара­ метров движения x(t) можно оценивать в отдельности.

Пусть на интервале [О, Т] в дискретные моменты времени ti измеряется какая-то составляющая вектора параметров движе­

Из выражений (6.5.1) и (6.5.*2) следует, что плотность веро­ ятности выборки z~- \\z\, ..., 2jvIIt записывается в виде

_ 1 '

р{г1х)={2кщ) 2 |Р |2 ехр | - - у ( г -х)'Р{г —-jc)J . (6.5.3)

178

В соответствии с методом максимального правдоподобия оценивать неопределенную модель необходимо по минимуму по­ казателя экспоненты в выражении (6.5.3):

N

(6.5.4)

i - \

О функции x(t) в данном случае нет никаких сведений, по­ тому единственным способом решения задачи является фор­ мальная аппроксимация. Чтобы выбираемая формальная мо­ дель была удобной с точки зрения ее оценивания и дальнейше­ го анализа, необходимо предъявить к ней ряд требований. Потребуем, чтобы формальная модель измеряемого сигнала бы­ ла достаточно простой, непрерывной и дифференцируемой функ­ цией времени. Этому может удовлетворить решение в виде ка­ кого-либо ряда

по линейно независимой на интервале наблюдения [О, Г] системе функций {ф3-(01- Проще всего для этой цели использовать ортонормированные системы функций. Предположим, что с доста-

точной точностью x(t) описывается конечным разложением вида (6.5.5). Тогда задача оценки формальной модели (6.5.5) по кри­ терию (6.5.4) сводится к выбору системы функций {^(У)}, к определению степени аппроксимирующего полинома г и к вы­ числению оценок неизвестных коэффициентов а, (у = 1, ..., г).

При выборе системы функций надо стремиться к тому, чтобы эта система соответствовала физической сущности исследуемого процесса. Например, если параметр движения x(i) является мо­ нотонной функцией времени, то в качестве функций {ф^/)} це­ лесообразно взять также монотонные функции времени. Этому

179

требованию удовлетворяют, в частности, степенные полиномы

{т = 0, 1,...),

показанные на рис. 6.5.1.

Если x(t) имеет колебательный характер, то можно восполь­ зоваться тригонометрическими полиномами

«]>„(*)= sin ~ m t (m = 0, 1,...),

поведение которых показано на рис. 6.5.2.

Если x(t) имеет колебательную и монотонную составляющие одновременно, то можно воспользоваться полиномами Ле­ жандра

Из рис. 6.5.3 видно, что полиномы Лежандра обладают как тем, так и другим свойствами.

Предположим, что каким-то образом выбрана система поли­

Теперь уточним число членов в разложении (6.5.5). Это за­ дача об установлении наличия регрессии данного порядка, ко­ торая в корреляционном анализе решается с помощью последо­ вательной процедуры проверки гипотез [40]. Здесь рассмотрим

Оолее простую методику проверки степени'аппроксимирующего полинома, предложенную в работах [15, 46].

180

Пусть в соответствии с методом наименьших квадратов най­ дены оценки коэффициентов aj. Тогда оценка функции

*00 = 2 Bj'bV)

j-1

содержит методическую (за счет ограниченного числа членов разложения) и случайную (за счет случайности оценок коэффи­ циентов разложения) погрешности. Так как с увеличением числа членов первая погрешность убывает, а вторая возрастает, то су­

ществует в некотором смысле оптимальная степень г аппрокси­ мирующего полинома (рис. 6.5.4).

Будем искать этот оптимум по критерию минимума следую­ щей меры погрешности:

p{t).

Функция - p( t ) является весовой функцией ошибок измерений; ее значения в дискретные моменты времени U совпадают с веса­ ми p i в выражении (6.5.2).

составляющие методической погрешности r \(t)= x ( t)— x(t). Оценки aj (/=1, ..., г), содержащие только случайные погрешно­ сти измерений, имеют вид

а ^ а - С - ^ Р г ) , .

где >j= (Tl1, . . . , Л^) —вектор методических ошибок. Введя обозначение

A = C- V /> i|,

получим следующее выражение для меры погрешности (6.5.7):

181