Файл: Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики.pdf

°л- — l | - K ( i O l / ' ~ 2 a r ( a - f А )- {- М [ ( а - f A ) T ( # + ^ ) ] —

= \x{t) I\ - 2а та + АТД + М [<а')т (а)]

или, если перейти к центрированным случайным величинам

О—

a. = a,j — a,j,

В последней формуле первые два члена характеризуют собой методическую ошибку представления x(t) конечным рядом (6.5.5), третий член является следствием этой ошибки и дискрет­ ности измерений,последний

M [ a ra \ = § a Tap(a)dQ(a)

2(a) .

характеризует случайные ошибки измерений. Для его вычисле- >

о

ния необходима плотность вероятностей вектора а.

В § 6.1 показано, что плотность вероятностей вектора оценок в линейной задаче при рассматриваемых условиях опыта может быть записана в виде

обладает следующим свойством:

M [ a a '] = a l C - 1.

Нетрудно заметить, что

М [ a Ta] = Sp М [ a a T] ,

где Sp — след матрицы.

Отсюда находим значение последнего члена в выражении

Исследование (6.5.11) на экстремум затруднительно. Найдем сначала приближенные выражения для последних двух слагае­ мых в формуле (6.5.11), имея в виду, что для элементов матри-

182

Здесь Д/—шаг по времени измерения и с«р — погрешности вычислений соответствующих интегралов по обобщенной форму­ ле трапеций.

Считая, что функция x(t) является достаточно гладкой и объем выборки намного превосходит число оцениваемых коэф­

фициентов, пренебрежем величинами сяр. Тогда получим

С~Х= ЫЕ.

Для ДТД можно записать

ДТД = чW C _V /> ij = 2 8У> j=l

где 8у —погрешности того же порядка, что и сяр.

Произведенные оценки дают возможность записать погреш­ ность аппроксимации в виде

Приравнивая к нулю результат численного дифференцирова­ ния выражения (6.5.12)

4 ( г ) — 4 (г— 1 ) = — 4 + Д / 4 — О,

получим оптимальную величину коэффициента

Очевидно, что в разложении (6.5.5) необходимо оставлять только те члены, оценкикоторых удовлетворяют неравенству

183

Таким^образом, автоматически определяется оптимальное ко­

Расчеты показывают, что для аппроксимации кажущихся па­ раметров движения космического объекта по-измерениям ньюто­ нометров на участке работы двигательной установки длительно­ стью до 2 мин требуется, например, полином Лежандра не выше 3-й степени.

Наиболее слабым звеном в этом способе оценивания являет­ ся выбор системы функций на основе эвристических соображе­ ний. В случае когда проводится не один, а несколько сеансов измерений параметров движения, принадлежащих к одной и той

же статистической совокупности, можно применить более стро­ гий подход при выборе системы функций.

Рассмотрим модель факторного анализа, где решается задача выбора оптимальной системы аппроксимирующих функций.

§6.6. ОЦЕНИВАНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОЙ МОДЕЛИ

СУЧЕТОМ АПРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИИ

Обратимся к задаче § 6.5, полагая, что на этот раз имеется априорная информация об измеряемой функции, полученная в

результате серии предшествующих испытаний в аналогичных условиях опыта.

Пусть эта информация конкретно имеет вид выборочной кор­ реляционной матрицы 5:

относится к нормальной совокупности с нулевым вектором ма­ тематических ожиданий (принято для простоты) и корреляци­

онной матрицей Bz. Матрица S является случайной. Д ля'даль­ нейшего необходимо знать ее распределение.

6.6.1. Распределение Уишарта

Установим сначала распределение матрицы А, которая свя­ зана с матрицей 5 следующим простым соотношением:

(6.6.2)

184

Рассмотрение начнем с простейшего случая N = 2, когда

/1^ является совместное распределение случайных величин а*п, ап и «22Для установления этого распределения введем новую

между собой [5]. Величина Ь* имеет условное нормальное рас­ пределение с плотностью вероятностей

где Г[-]—-гамма-функция.

-185

Совместная плотность распределения случайных величин Ь*, d* и йц* находится по теореме умножения вероятностей.

В матричных обозначениях эта плотность вероятностей имеет вид

По аналогии с выражением (6.6.8) записывается плотность вероятностей матрицы А произвольного порядка N [5]:

Это и есть распределение Уишарта, или многомерный аналог Т распределения.

186