Файл: Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики.pdf

§2.2. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ

ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСС

2.2.1. Общий вид нелинейных моделей движения

Для записи общего вида модели движения космического объ­ екта относительно центра масс воспользуемся теоремой о момен­ те количества движения

М — главный момент внешних сил, действующих на космический объект.

Движение космического объекта относительно центра масс обычно рассматривается во вращающихся системах координат. Для вращающихся систем вместо уравнения (2.2.1) используют уравнение

где К* — производная момента количества движения во враща­ ющейся системе координат, а оа — вектор абсолютной угловой скорости вращающейся системы координат.

Основная цель экспериментального изучения движения отно­ сительно. центра масс заключается в определении ориентации космического объекта в пространстве. Поэтому в качестве вра­ щающейся системы координат выбирают связанную с объектом

27

систему Sxi:x21x31, начало которой лежит в центре масс косми­ ческого объекта (рис. 2.2.1). Спроектируем векторное равенство’ (2.2.2) на оси связанной системы координат. Предварительно заметим, что проекции К\1, Кзх, К31 вектора К момента количе­ ства движения на оси связанной систе­

мы могут быть представлены в виде

Диагональные элементы матрицы (2.2.4) называются момен­ тами инерции объекта относительно осей связанной системы, не­ диагональные (взятые со знаком минус)— центробежными мо­ ментами инерции. В общем случае составляющие тензора инер­ ции изменяются вместе с изменением распределения массы по отношению к принятой системе осей. Исключением является космический объект как абсолютно твердое тело. Если оси свя­ занной системы совпадают с. главными центральными осями инерции, то матрица инерции (2.2.4) является диагональной:

а элементы 7ц, / 22, / зз называются главными центральными мо­ ментами инерции. С учетом сказанного для космического объек­

та j<aK твердого тела проекции уравнения (2.2.2) на оси связан­ ной системы запишутся в виде

28

ний, получим динамические уравнения движения космического объекта относительно центра масс в проекциях на оси связанной системы

где Aj~l — матрица, обратная по отношению к матрице инерции Aj. К динамическим уравнениям (2.2.3) необходимо присоеди­ нить кинематические уравнения, которые устанавливают связь между параметрами, определяющими ориентацию объекта в опорной системе, и угловой скоростью вращения связанной си­ стемы. При записи кинематических уравнений для вращающих­ ся систем координат необходимо иметь в виду, что абсолютная угловая скорость

2.2.2. Первая форма кинематических уравнений

Рассмотрим наиболее часто используемые кинематические уравнения, являющиеся составной частью любой нелинейной мо­ дели движения космического объекта относительно центра масс. Будем считать, что опорная система координат Ох\ХчХЪявляется инерциальной. Определим положение осей связанной системы относительно инерциальной тремя углами Эйлера (рис. 2.2.2):

—нутации б (О ^ б ^ л );

—прецессии v(0^ v ^ 2n);

—чистого вращения ф(0^ ф ^ 2я ) .

29

Для получения кинематических уравнений спроектируем уг­ ловые скорости б, v, ф на оси связанной системы. Получим

Рис. 2.2.2. Взаимное положение опорной инерциальной и связанной систем коорди­ нат

Разрешая уравнения относительно угловых скоростей б, v

и ф, получим систему кинематических уравнений, обращенную по отношению к системе (2.2.10),

l

где Аэ~1— матрица, обратная матрице Лэ:

BO