Файл: Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.10.2024
Просмотров: 180
Скачиваний: 0
Система (2.2.12) является первой формой кинематических уравнений. Как видно, она представлена выражениями произ водных эйлеровых углов через угловые скорости.
2.2.3. Вторая форма кинематических уравнений
Помимо углов Эйлера, параметрами ориентации могут быть направляющие косинусы ац0'1 (г = 1, 2, 3, /= 1, 2, 3), являющиеся элементами матрицы А 0,\ перехода от связанной системы коор динат к инерциальной. Тогда вторая форма кинематических уравнений может быть представлена выражениями производных направляющих косинусов через угловые скорости, а именно:
|
^0,1 — ^0,1 ' |
||
|
Л .1=1 а !/|; |
||
|
|
а ?!1 Й121 а°гз1 |
|
|
:ь |
ll |
а ^ 1 а°21 аЦ |
|
|
о |
|||
|
|||
(2.2.14)
(2.2.15)
asi1 а°32
А шопределяется выражением (2.2.7).
2.2.4. Третья форма кинематических уравнений
Иногда удобно вместо углов Эйлера и направляющих коси нусов определять ориентацию космического объекта в простран стве составляющими кватернионов, к которым относятся пара метры Родрига — Гамильтона £о, £i, £2, £3. Эти параметры удов летворяют соотношению
Со+С?+С2 + Сз=1. |
(2.2.16) |
Модель движения с использованием параметров Родрига — Гамильтона имеет вид
1
и а>1
|
= — |
А с |
1 |
(2.2.17) |
||
С2 |
а>2 |
|||||
|
2 |
|
|
|||
и |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
со3 |
|
||
i 0= |
- ± |
^ |
, |
|
||
где о) = в>1-\г &>2соз;
п
,
£= ?1+£2 + £з; |
|
|
||
|
Со |
-С з |
С2 |
(2.2.18) |
|
II |
Сз |
Со |
-С ! |
|
|
- с 2 |
Cl |
Со |
|
31
2.2.5. Модель движения Эйлера — Пуансо
Если кинетическая энергия вращения космического объекта значительно больше работы возмущающих сил, то в уравнении (2.2.2) можно принять М =0. Тогда вектор К момента количе ства движения объекта будет постоянным по величине и направ лению. Выберем это направление за ось SK новой опорной си стемы координат S K 1K2 K и рассмотрим по отношению к систе
Рис. 2.2.3. Взаимное положение опорной системы
-координат, связанной с вектором кинетического
момента, и связанной системы
ме S K 1K2K вращательное движение объекта. Оси связанной си
стемы |
направим по главным центральным осям инер |
|||
ции объекта, а их положение по отношению к |
системе |
S K 1K2 K |
||
зададим |
углами Эйлера бь, vft, |
(рис. 2.2.3). |
Углы |
б*, v&, tpk |
вводятся аналогично углам б, v, ф, определяющим ориентацию триедра осей Sxi1^ 1^ 1 в опорной системе Oxix2x3. Поэтому все кинематические соотношения, полученные выше с использовани ем углов б, v, ф, справедливы для новой тройки углов б*, vft, ф&.
Тогда в соответствии с рис. 2.2.3 составляющие |
вектора К по |
осям связанной системы запишутся уравнениями |
|
К\ = К sin lk sin cpft; |
|
К\ — К sin \ coscp*; |
(2.2.19) |
К \ = К cos bk. |
|
32
Из |
уравнений (2.2.19) для диагональной матрицы |
инерции |
|
(2.2.5) |
получаем |
|
|
|
cos8a= - ^ - u4; |
(2.2.20) |
|
|
hi |
“i |
( 2. 2.21 |
|
■'22 |
Ц |
|
|
|
||
Чтобы вычислить угол Vfc, обратимся к уравнениям (2.2.12). Из второго уравнения Ихмеем
Vf t = -------------------------------(о| sin <fk + <л\COS 9ft . |
( 2.2. 22) |
sin 5ft |
|
Но из соотношений (2.2.19), с учетом того что
k \ = j , A \ K \ = J rA \ k I=--j 3A , |
(2.2.23) |
следует
sin |
/п |
1 |
cos 9>ft x |
•f 22 |
11 |
-соь |
К s i n 5ft |
||
|
J<. s i n |
Bft |
|
Тогда
1 0)2- (2.2.24)
h\ (“l)2 + -f22(“2)2
(2.2.25)
Ju W F + ^ H F
Отсюда видно, что vs>0. Это свидетельствует о возрастании угла прецессии. Часто можно предполагать, что /ц = / 22- В этом случае из третьего уравнения системы (2.2.8) получаем
/ 33шз= 0 |
и шз= |
ct>3o = |
const. |
|
Поэтому на основании (2.2.20) |
|
|
|
|
cos 8ft= |
cos 8ft0 = |
—— |
«да, |
(2.2.26) |
|
|
К |
|
|
где 6йо—const.
Равенство (2.2.26) означает, что угол между продольной осью объекта и вектором кинетического момента во все время движения остается постоянным. Кроме того, из уравнения
(2.2.25) при /ц = / 22 имеем
v’ft= — — const |
(2.2.27) |
7п
и
(2.2.28)
где Vfco — начальное значение угла прецессии для t —t0.
Из последнего уравнения системы (2.2.10) запишем
= «зо 1 |
■яя = const |
(2.2.29) |
|
J п |
|
и |
|
|
<Ра |
|
(2.2.30) |
где фм — начальное значение угла чистого вращения |
для t = t0. |
|
Как следует из полученных соотношений, при невозмущенном движении динамически симметричного космического объекта от носительно центра масс продольная ось вращается с постоянной
0 |
Х-, |
|
|
Ь |
|
|
|
|
о |
|
|
Рис. 2.'2.4. Движение Эйлера — |
Рис. 2.2.5. |
Ориентация |
|
|
Пуансо |
вектора |
кинетического |
|
|
момента в |
опорной си |
|
|
стеме координат |
|
угловой скоростью вокруг неизменного направления вектора мо мента количества движения К ■Угол бл между этим вектором и продольной осью постоянен. Кроме того, объект вращается во
круг продольной О С И |
С П О С Т О Я Н Н О Й угловой |
скоростью ф й (рис. |
||
2.2.4). Такое движение, являющееся регулярной прецессией, |
на |
|||
зывают движением |
Эйлера — Пуансо. Для |
этого |
движения |
су |
ществует определенное соотношение между б*, |
и ф*. Из урав |
|||
нения (2.2.29) имеем |
|
|
|
|
Тогда
34
отк у д а |
|
<P* = vft |
(2.2.31) |
2.2.6. Модель движения в оскулирующих элементах
Если вектор К момента количества движения определить мо дулем К и двумя угловыми координатами и Оь. в опорной си стеме Ох1X2X3 (рис. 2.2.5), то элементы К, % ak, bk, vA, срА для невозмущенного движения остаются постоянными при заданных начальных условиях. При возмущенном движении относительно центра масс указанные элементы будут медленно изменяться во времени. Поэтому совокупность этих элементов удобно выбрать в качестве оскулирующих элементов возмущенного движения.
Иногда вместо угловых скоростей Vk и <р& прецессии и чистого вращения можно рассматривать углы v,t и ф/1( изменяющиеся в регулярной прецессии линейно во времени. Часто элемент бд за меняют из1, а угол 6* определяют затем по формуле (2.2.26). Как и в случае движения центра масс, для установления изме нения оскулирующих элементов возмущенного движения отно сительно центра масс составляют систему дифференциальных уравнений в оскулирующих элементах. Для колебательного дви жения это особенно необходимо, так как при интегрировании обычных уравнений возмущенного движения приходится выби рать шаг интегрирования порядка 0,1—0,01 с, а для уравнений в оскулирующих элементах этот шаг может быть существенно увеличен. Одна из возможных моделей движения в оскулирую щих элементах имеет вид [10]
|
К = (ЛК sin r|ft |
yi<f3 cos Цй) sin zk-\- M 2cos ak\ |
|
|
|
%= - |
■(Mi cos Vk— M3 sin r)ft); |
|
|
|
К s i n |
|
|
|
4 |
= ~jr [{M i sin % -f M3cos л*) cos — M 2sin oA]; |
|
||
|
Л |
|
|
|
= — — b 7Г { - M 1 [ctg 8ft (COS T)ft Sin vft -f sin % cos vft cos as)+ |
||||
-f ctg Gk COS л*] + м 2sin ak clg Sfe cos vft + |
M3[ctg Ьк(sin \ sin |
- |
||
|
— cosiiftCOS0ftcosvft)-)-ctg3Asin r)K]j; |
(2.2.32) |
||
<P*= |
m3 — vft cos 8* + Л* (sin v* sin bk sin a*— cos bk cos зД + |
|||
|
|
+ oft cos vft sin 8,; |
|
|
|
шз = —— (ДД1<21з1-\-Л42а-2з |
M 3alz); |
|
|
|
*33 |
|
|
|
cos 8fe= ^ i - (03,
К
2* |
35 |
где Мь М2, М3 — составляющие возмущающего момента по осям Опорной инерциальной системы координат; о^з0,1, а2з0,\ Язз0,1 — направляющие косинусы, выраженные через углы va, 6а, Ца и ov Выражения для них легко получить путем перемножения двух матриц А 0,к и А к ,ь из которых первая является матрицей Перехода от системы SKiKiK к опорной системе Ох\Х2Хз, а вто
рая — матрицей перехода от связанной системы осей
к системе S K 1K2K. Отметим, что, помимо рассмотренных моде лей движения объекта относительно центра масс, на практике используются и другие модели. Например, все кинематические уравнения могут быть записаны относительно вращающейся опорной системы с учетом соотношения (2.2.9), а динамические уравнения могут быть представлены проекциями векторной мо дели (2.2.1) на оси опорной невращающейся системы. Увеличить число моделей можно за счет применения других параметров ориентации и, в частности, составляющих вектора конечного по ворота или параметров Кейли — Клейна, являющихся комплекс ными комбинациями параметров Родрига — Гамильтона.
§ 2.3. МОДЕЛИ РАБОТЫ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ КОСМИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА
Система управления движением космического объекта пред ставляет собой комплекс устройств, обеспечивающих такое из менение управляющих воздействий, при котором действительное движение достаточно близко к требуемому. В состав системы управления входят:
—чувствительные элементы, вырабатывающие информацию
отекущих параметрах движения космического объекта;
—преобразующие устройства, формирующие команды управ ления в соответствии с информацией, выдаваемой чувствитель ными элементами, и с принципами управления, используемыми в данной системе;
—исполнительные органы, создающие управляющие воздей ствия в соответствии с командами управления, формируемыми преобразующими устройствами.
В зависимости от принципов получения исходной информа ции для управления движением различают радио-, астро-инер циальные и комбинированные системы управления.
Рассмотрим в качестве примера модель работы инерциаль ной системы управления ракеты-носителя на участке выведения на орбиту для случая регулируемой тяги двигателей [33]. На участке выведения задача управления движением распадается на задачи стабилизации и наведения.
Задача стабилизации (управления движением относительно центра масс) сводится к управлению ориентацией осей ракетыносителя в пространстве. Эта задача решается автоматом угло вой стабилизации, образующим вместе с ракетой-носителем
36