Файл: Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики.pdf

где

? (?') = (* ~ Во$У [ B ^ A l { A EB-hlAl)~lAEB-hx- V ] {z —З Д -

(8.3.5)

Общее для всех весовых функций уравнение относительно несмещенной оценки q вектора неизвестных параметров модели движения q свидетельствует о том, что несмещенная максималь­

но правдоподобная оценка q вектора q инвариантна относитель­ но вида весовой функции.

Функция fi(q') выступает в качестве обобщенного критерия оптимальности оценок в рассматриваемом классе задач оценки параметров. Поскольку этот критерий получен из функции прав­

доподобия, за оптимальную оценку q вектора q следует прини­ мать такое значение вектораq' варьируемых параметров крите­ рия f>(q'), при котором этот критерий достигает наибольшего значения:

Частными случаями критерия р(^') являются критерии оп­ тимальности оценок моделей движения вида (8.1.9) и (8.1.10). Для случая, когда все координатные функции измеряются' в про­ цессе эксперимента с ошибками, т. е. для модели движения вида (8.1.9), критерий оптимальности оценок $(q') принимает вид

что соответствует отсутствию в модели движения координатных функций, значения которых в процессе эксперимента известны точно.

Если в выражении для критерия р (q') положить

Ая= 0,

то получим другой частный случай этого критерия, соответст­ вующий модели движения-вида (8.1.10):

Покажем, что оценка b вектор Ь , удовлетворяющая требо­ ванию критерия у(Ь'), является максимально правдоподобной. Нетрудно видеть, что

221

где Ч"— прямоугольная матрица, определяемая равенством

^ Н 'Ы 'Ы • • • I'Ll-

С учетом равенства (8.3.9) выражение для критерия у{Ь') принимает вид

Уравнение оценок, соответствующее критерию у { Ь ' ) , в общем виде запишется так:

Подстановкой (8.3.10) в (8.3.11) получаем уравнение относительно оценки b вектора Ь-

^ В ^ Ь = ^ В п Хг.

Это уравнение имеет конечное аналитическое решение

& = ('Рт£ л 1Ч?)-1¥ тЯл\гг.

Нетрудно видеть, что полученная оценка Ь вектора b совпа­ дает с оценкой метода максимального правдоподобия, рассмот­ ренного подробно в гл. VI.

Таким образом, полученный выше обобщенный критерий оп­ тимальности оценок fi(q') позволяет получать максимально правдоподобные оценки параметров моделей движения косми­ ческих объектов, линейных относительно вектора оцениваемых параметров. Этот критерий является достаточно универсальным, поскольку он дает возможность оценивать параметры линейной модели общего вида, когда часть координатных функций кон­ тролируется в процессе эксперимента с ошибками, а часть без ошибок. Полученный критерий позволяет учитывать все возмож­ ные корреляционные связи между ошибками измерений: изо­ хронные, изоканальные и перекрестные.

§ 8.4. ТОЧНОСТЬ ОЦЕНОК

Общее выражение для корреляционной матрицы оценки q вектора неизвестных параметров q получено в § 7.6. Это выра­ жение может быть использовано для получения корреляционной матрицы оценок, удовлетворяющих требованию обобщенного критерия оптимальности оценок fi{q')-

В соответствии с равенством (8.1.7) вектор q оцениваемых параметров можно представить состоящим из двух подвекто­ ров— а и Ь. Поэтому уравнение оценок (8.3.4) может быть за­ менено двумя векторными уравнениями оценок вида

222

Исходя из такого представления вектора оцениваемых пара­ метров левую часть нормализованного уравнения оценок (7.5.3) удобно также представить состоящей из двух подвекторов:

Матрицы Q(q) и G(q), входящие в общее выражение (7.6.7) для корреляционной матрицы Bh вектора оценок, в коагулиро­ ванной форме могут быть представлены следующим образом:

Блоки матриц Q (q) и G(q) представляют собой матрицы, элементы которых в соответствии с общим правилом получения корреляционной матрицы оценок, изложенным в § 7.6, рассчи­ тываются по следующим формулам:

Qa(q) —-квадратная порядка р матрица с элементами

223

Ga{q) — квадратная порядка р матрица с элементами

${q')- Нижние индексы у элементов матриц указывают на поло­ жение элементов в соответствующих матрицах: т — номер стро­

для элементов g $ (q ) , ё ^ Ч я ) и ё т( 1(Я) матрицы G(q). Подстановкой в соответствующие формулы обобщенного

критерия оптимальности оценок ${q') получаем

4 ^ М = Щ А Ет [ В ^ А 1 (Ае В ^ А \) - ^ А е В ^ - В ^ ] А'£йЬ; (8.4.11)

q№4q) = 2$T В 0т [BJlA l { A EB ^ A l ) - lAEB J l ~ B n l]

(8.4.12)

q ^ l { q ) ^ rB 0n{ B T lAE(AEB n lAV)--1A EB ^ ~ B bl] B r0n$. (8.4.13)

Аналогично получаются выражения для необходимых элемен­ тов матрицы G(if). Эти выражения имеют вид

224

В выражениях для элементов матриц Q(q) и G( q) присут­ ствуют матрицы AEh и В0h, представляющие собой производные от матриц Л Е и В ъ п о компонентам подвекторов а и Ь вектора оцениваемых параметров q :

Анализ формул для элементов матриц Q(q) и G(q) показы­ вает, что эти элементы зависят только от подвектора а вектора оцениваемых параметров q . 3 t q объясняется тем, что компо­ ненты подвектора оцениваемых параметров а являются в моде­ ли движения коэффициентами при тех координатных функциях, значения которых в опытных точках при проведении эксперимен­ та получаются с ошибками, поэтому возникает мультипликатив­ ное влияние' ошибок измерений на оцениваемые параметры aj.

Поскольку векторы а и от которых зависят элементы кор­ реляционной матрицы оценок Вд, не известны ни до опыта, ни

после его проведения, оценку Bq матрицы Bq, как это указыва­ лось в § 7.6, можно получить, заменив в расчетных формулах

векторы а и их оценками а и Оценка а вектора а получает­ ся как результат решения задачи оценки параметров модели дви­

В работе [60] показано, что наилучшей оценкой q вектора q является такая, которая удовлетворяет уравнению ^оценок вида

(7.5.3), если в этом уравнении /( q, z ) — векторная функция век­ торов q и zc компонентами, определяемыми равенством

d 1и р (2*, q)

/ т(Я, г) =

dqm

q q

г*--г

где p( z *, q) — плотность вероятностей случайного вектора z*3 зависящая в явном виде от вектора оцениваемых параметров q.