Файл: Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики.pdf

венство (8.5.18), критерий оптимальности оценок а (а') при не­ зависимых в совокупности и равноточных по каналам измере­ ниях запишем в следующем виде:

a (a ) = k ~ 1 f —^ ~ - \ ^ a j 3 £ j j v Tv-]-2vTv -j-kwTB i 1w — w TA A Tw .

(8.5.19)

В выражении (8.5.19) для критерия а (а) опущены штрихи при варьируемых параметрах критерия. Раньше этот отличитель­ ный признак был введен потому, что вектор оцениваемых пара­ метров q и вектор варьируемых параметров q ' встречались в одном равенстве. В дальнейшем в выражении для критерия бу­ дут стоять только варьируемые параметры, поэтому для упро­ щения индексации их отличительные признаки (штрихи) могут быть опущены.

Введем р-мерную диагональную матрицу, элементами кото­ рой являются дисперсии ошибок измерений опытных значений координатных функций:

С помощью этой матрицы равенство (8.5.17) можно перепи­ сать так:

Рассмотрим далее сумму, стоящую в квадратных скобках в правой части равенства (8.5.19). Очевидно, что

w TA A Tw = a W TWa,

4

где W — прямоугольная матрица с элементами wл-

230

Подставив (8.5.22) в (8.5.19), критерий оптимальности оце­ нок для рассматриваемой модели движения в принятых услови­ ях опыта запишем следующим образом:

u = 2W^v;

, 2 a2 = os.

Определим значение а вектора а, являющегося оценкой век­ тора неизвестных параметров и доставляющего в соответствии со смыслом критерия оптимальности оценок а (а) наибольшее значение последнему. Равенство (8.5.22) можно рассматривать как уравнение гиперповерхности а (а) в (р+ 1)-мерном простран­ стве. Равенству

а ( а ) = Х,

где Я — произвольная скалярная величина, удовлетворяют точки гиперповерхности а (а), имеющие ординаты, равные Я. При над­ лежащем выборе величины Я этому равенству удовлетворяет од­ на единственная точка на гиперповерхности а (а). Такими значе­ ниями Я являются те, которые равны либо наибольшему, либо наименьшему значению критерия оптимальности оценок. По смыслу критерия оптимальности оценок а (а) нас интересует точ­ ка указанной гиперповерхности, соответствующая наибольшему

значению ординаты. Координаты этой точки аи а2,- ..., ар являют­ ся оценками неизвестных параметров аи а2, ..., ар. Из изложен­

ного следует, что оценка а вектора оцениваемых параметров а

и величина Я, равная наибольшему значению ординаты гиперпо­ верхности а (а), удовлетворяют соотношению

Поскольку при любом а

a Da -f- d2> О,

231

равенству (8.5.25) эквивалентно следующее:

Равенство (8.5.26) можно рассматривать как уравнение, даю­

щее возможность определить X, если известна оценка а вектора неизвестных параметров а. Для записи уравнения оценок вос­ пользуемся тем, что в точке наибольшего значения ординаты ги­ перповерхности а (а)

(8.5.27)

да

Запишем равенство (8.5.25) в следующем виде:

а(а) (a7Da -j-d2)= wUa -Jr a[uJr dl

ипродифференцируем его по а.

С учетом выражения (8.5.27) равенство (8.5.28) принимает

Система равенств (8.5.26) и (8.5.29) представляет собой систему уравнений, неизвестными в которой являются оценка а

вектора неизвестных параметров а и величина X, являющаяся наибольшим значением критерия оптимальности оценок а (а). Из

(8.5.29) находим

Очевидно, что вектор а может быть получен по конечной фор­ муле (8.5.30), если будет известна величина X. Уравнение для определения X получим, если подставим (8.5.30) в (8.5.26):

Полученное уравнение относительно X имеет в общем случае несколько корней. Это объясняется тем, что использованное при его получении равенство (8.5.27) справедливо не только в точке абсолютного максимума функции а (о), но и в точках любых других ее экстремумов, которых в общем случае может быть не­ сколько. Следовательно, корни уравнения (8.5.31) по своему геометрическому смыслу являются ординатами всех экстремумов

функции а (а). Оценку а вектора неизвестных параметров а по-

232

лучим, если в (8.5.30) подставим Я, являющееся наибольшей

ординатой функции а(а), т. е. Я, являющееся наибольшим кор­ нем уравнения (8.5.31).

Нетрудно видеть, что путем приведения к общему знаменате­ лю слагаемых в левой части уравнения (8.5.31) последнее может быть преобразовано к алгебраическому уравнению (р+1)-й степени. Поэтому можно сказать, что процедура отыскания опти­

мальной оценки а вектора а параметров линейной модели дви­ жения космического объекта при наличии ошибок измерений в опытных значениях ординаты модели движения и всех ее коор­ динатных функций в случае независимых в совокупности и рав­ ноточных по каналам измерений сводится к отысканию наиболь­ шего корня алгебраического многочлена, степень которого на единицу больше числа оцениваемых параметров, и дальнейшему

расчету вектора а по конечной формуле.

Аналогичным образом может быть получено решение задачи оценки параметров линейной модели движения общего вида, определяемого равенством (8.1.8), при независимых в совокуп­ ности и равноточных по каналам измерениях. Опуская здесь выкладки, подобные приведенным выше, скажем, что в этом

случае оценки а и b векторов а и Ь, а также ордината Я наиболь­ шего значения Обобщенного критерия оптимальности оценок $(q) являются решениями следующей системы уравнений:

^ ( q ^ f ) ' 1 (Ч’тг>-ГЧГ-а),

где

WjWj

d3 = dl —v Tv - - d 2 У ;

При решении системы уравнений (8.5.32) необходимо иметь в виду, что за оценки векторов а и Ь надо брать такие корни этой системы, которые соответствуют наибольшему действительному

значению Я из совокупности решений для этой неизвестной.

В общем случае корни алгебраического многочлена могут быть определены по конечным формулам, если степень этого многочлена не выше четвертой. Поэтому задачи оценки пара­ метров линейных моделей движения при наличии ошибок изме­ рений в опытных значениях координатных функций в условиях, когда ошибки измерений независимы в совокупности и распре­ делены по нормальному закону с нулевыми математическими

233

ожиданиями и одинаковыми в каждом из каналов дисперсиями, имеют конечные аналитические решения, если размерность р подвектора а вектора оцениваемых параметров q не выше трех, т. е. ц ^ З .

Простейшим представителем рассматриваемого класса задач оценки параметров является задача оценки одного параметра модели движения вида

Решение этой задачи по изложенной в настоящем параграфе методике является конечным и имеет вид

2 wp>i

Для модели движения вида (8.1.8) простейшая задача— это задача оценки двух параметров. Л1одель движения в этом случае запишется так:

Оценка параметров этой модели с использованием системы уравнений (8.5.32) также является конечной, так как здесь р= 1.

Статистики для оценок а и b параметров а и Ь имеют в этом простейшем случае вид

где

234

Подобные конечные статистики могут быть получены и для случаев, когда р = 2 и р = 3. Размерность 5 подвектора b вектора оцениваемых параметров q может быть в этих случаях любой, от нее конечность алгоритма решения задачи оценки параметров линейной модели движения не зависит.

§ 8.6. МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА

Оптимальные оценки неизвестных параметров линейных мо­ делей движения при наличии ошибок в опытных значениях коор­ динатных функций, удовлетворяющие требованиям обобщенного критерия оптимальности оценок |3(q), являются корнями нели­ нейных уравнений оценок. Аналитическое решение этих уравне­ ний в общем случае не представляется возможным. В связи с этим возникает необходимость использования итерационных численных методов решения нелинейных уравнений оценок.

В гл. VI рассматривался метод оценки параметров линейной модели движения космического объекта в условиях, когда изме­ рениями доставляются только опытные значения ординаты мо­ дели движения, а опытные значения координатных функций из­ вестны точно. Решение такой задачи по методу максимального правдоподобия является конечным.

В некоторых случаях конечный алгоритм метода максималь­ ного правдоподобия регрессионного анализа с успехом может быть применен для оценки параметров линейной модели движе­ ния космического объекта и при наличии ошибок измерений в

• опытных значениях координатных функций.

Рассмотрим возможность применения метода максимального правдоподобия регрессионного анализа к решению задачи оцен­ ки параметров линейной модели движения вида (8.1.9). Если ус­ ловия опыта таковы, что ошибки измерений содержатся только в опытных значениях в точках ti ординаты модели движения x(t), а значения в тех же точках координатных функций %j(t) из­

вестны точно, то оценка а вектора а, являющаяся оценкой макси-

-мального правдоподобия, удовлетворяет линейному относительно вектора оценок уравнению:

' =тДГ1Н о -Н 5 Г 1® = 0, . (8.6.1)

где В Е— корреляционная матрица подвектора в* случайного век­ тора ошибок измерений h*; v — реализованное в процессе экспе­ римента значение случайного вектора V*, являющееся в рассмат­ риваемом случае собственно вектором измерений; S — прямо­

235