Файл: Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики.pdf

Статистические свойства оценок неизвестных параметров мо­ делей движения космических объектов, получаемых при наличии ошибок измерений в опытных значениях координатных функций по рассмотренным выше линейным алгоритмам, в общем случае хуже свойств тех же оценок, получаемых с помощью обобщенно­ го критерия оптимальности оценок р(<?). Однако при некоторых условиях эти свойства могут быть достаточно близкими. Вопрос о возможности применения линейных алгоритмов к решению за­ дач оценки параметров при наблюдении с ошибками значений координатных функций должен решаться отдельно в каждом конкретном случае. Решение может быть принято на основе сравнительного анализа статистических характеристик оценок ' неизвестных параметров, получаемых по линейному и по нели- . нейному алгоритмам. Эти характеристики могут быть либо рас­ считаны аналитически по формулам оценки точности, либо по выборкам оценок при машинном моделировании предстоящего

эксперимента.

Рассмотрим, например, задачу оценки по результатам изме­ рений стационарных параметров линейного регулятора системы регулирования кажущейся скорости (РКС). Закон регулирова­ ния, т. е. уравнение модели линейного регулятора системы РКС, может быть записан следующим образом:

^oc¥ p + 8lAP~ a0^W,T.p.C’ [8.6.21)

где брр=брр( /) — регулирующее воздействие системы РКС, яв­ ляющееся изменением суммарного секундного весового расхода компонентов топлива; 6аУд.р .с= бшд.р.с( /) — рассогласование ка­ жущейся скорости, измеренное в направлении оси чувствитель­ ности датчика рассогласования кажущейся скорости (ДРС); Гос— статический коэффициент усиления системы РКС; а0— постоянная времени регулирования.,

Проводимыми в процессе испытаний синхронизированными' измерениями доставляются значения в дискретные моменты вре­

мени ti (i= l, 2, ..., N) функций б|Лр(/), бцр(0 и 6шд.р.с(0- Оцен­

ке подлежат статический коэффициент усиления а0 и постоянная времени регулирования Т0с.

Нетрудно видеть, что равенствами

¥Р{t)=x{t)\

—84 .p .cW = 5 ? (С;

Тос —- а| , а0— &2

уравнение (8.6.21) работы линейного регулятора системы РКС

приводится к виду

240

Равенство (8.6.22) является частным случаем линейного от­ носительно вектора оцениваемых параметров уравнения модели движения космического объекта (8.1.1), если положить в послед­ нем р = 2 и s = 0. Поэтому решить задачу оценки по результатам измерений параметров линейного регулятора системы РКС мож­ но с помощью либо критерия оптимальности оценок а (а'), опре­ деляемого равенством (8.3.7), либо алгоритма (8.6.18), получен­ ного выше.

Запишем для сравнения оба указанных алгоритма решения поставленной задачи в предположении, что ошибки измерений регулирующего воздействия системы РКС и рассогласования кажущейся скорости равноточны в каждом из измерительных ка­ налов и независимы в совокупности.

В применении к уравнению модели вида (8.6.22) критерий оптимальности оценок а (а') приводит к следующей статистике для вектора оценок:

« H K a 2|f;

® = 1^ 11^2- • • ‘^ л г 1Г;

w x= \ w nwn . . .tt'uvf;

w 2= \ w 2lw22. . .W2N f;

2

UK'= || i a>2|; Id 38, 0 2

0

a Я— наибольший действительный корень уравнения

Введем следующие статистики, упрощающие запись и прак­ тическое применение записанного алгоритма:

241

N

S 1= v Tv = ^ v 2i;

i = 1

Л г

S 2= w r1w 1= ^ (=1

N

S3— w lw 2= V ®2i-; /=i

N

SA= w]v—Sw uVi;

г = 1

N

S s= w lv = '2i w2iv l; t-i

N

5 6 = w lw 2 = 2® ii® «- г=1

С помощью этих статистик векторное равенство (8.6.23) пу­ тем несложных преобразований может быть приведено к следую­ щей системе двух скалярных равенств:

Сравнение (8.6.24) для определения X, входящего в выраже­ ние для т и являющегося наибольшим действительным корнем этого уравнения, с использованием введенных статистик S& (£ = = 1, 2, ..., 6) приводится к следующему каноническому виду:

242

Применение для решения задачи оценки параметров линей­ ного регулятора системы РКС формулы (8.6.16) приводит к сле­ дующему результату:

Нетрудно видеть, что статистики (8.6.25) и (8.6.27) для оце­ нок параметров линейного регулятора системы РКС совпадают с точностью до замены т на N и наоборот. Это указывает на тесную связь между оценками.неизвестных параметров линейной модели космического объекта, получаемыми с помощью крите­

Моделирование на ЭВМ процессов получения и обработки измерительной информации указывает на достаточно хорошее совпадение статистических свойств оценок параметров в рассмат­ риваемой задаче.. Результаты моделирования приведены в табл. 8.6.1.

В этой таблице помещены выборочные математические ожи­ дания и дисперсии оценок Тос и а0 параметров Тос и а0 линейно-

243

тистических характеристик оценок неизвестных параметров, рассчитываемых по этим формулам, обозначены соответственно

I и И.

При моделировании точные значения постоянной времени ре­ гулирования и статического коэффициента усиления системы РКС были приняты следующими:

Рассогласование кажущейся скорости принято в приведенном примере изменяющимся по квадратичному закону в функции времени. Средние квадратические отклонения измеренных значе­ ний от измеряемых величин взяты равными 10% максимальных значений последних. Закон распределения ошибок измерений нормальный.

Анализ данных таблицы показывает, что выборочные стати­ стические характеристики оценок параметров линейного регуля­ тора системы РКС, определяемых с помощью критерия опти­ мальности оценок а (а') и модифицированным методом макси­ мального правдоподобия регрессионного анализа, практически совпадают. Поэтому для этой задачи алгоритм (8.6.27) как более простой предпочтительнее, по-видимому, алгоритма (8.6.25).

Во всех случаях рассмотренные в настоящем параграфе ли­ нейные алгоритмы расчета оценок неизвестных параметров мо­ гут быть применены для определения оценок нулевого прибли­ жения.

§8.7. СПОСОБ СТАТИСТИК ВАЛЬДА

Висследованиях Вальда [40] рассматривается способ опреде­ ления оценок неизвестных параметров модели процесса, имею­ щей вид (8.5.35). В условиях, когда ошибки измерений незави­ симы в совокупности и одинаково распределены в каждом из из­ мерительных или информационных каналов, предлагается

следующий способ определения оценок а и Ь параметров а и Ь. Вводятся вспомогательные статистики:

(8.7.1)

Для удобства число опытных точек N взято четным:

' N = 2т.

244