Если опытные значения координатных функций содержат ошибки измерений, то матрица Е неизвестна. Известна соответ ствующая ей матрица W, элементами которой являются измерен-- ные значения wл величин
W=\vo,l \w 2\ . . . \ v o p\. |
(8.6.3) |
Формальная подстановка в (8.6.2) вместо матрицы S матрицы
U/ дает возможность достаточно просто, определить оценку а век тора а по конечной схеме решения линейных уравнений, что час то и используется в практике обработки измерительной информа ции. Эта линейная система имеет вид
W''B71W a - W ’cB 7 lv- -0. |
(8.6.4) |
Однако оценка а вектора а, удовлетворяющая уравнению (8.6.4), не является для рассматриваемой задачи оценкой макси мального правдоподобия. Можно показать, что эта оценка имеет смещение, однако смещение может быть частично компенсирова но с помощью методики, изложенной в § 7.5. В этой компенсации смещения и заключается модификация метода максимального правдоподобия регрессионного анализа с целью приспособления его для решения задач оценки параметров линейных моделей дви жения при наличии ошибок измерений в опытных значениях ко ординатных функций.
Если уравнению оценок (8.6.4) поставить в соответствие фор мализованное уравнение оценок (7.5.3), то очевидно, что в рас сматриваемом случае
f ( a , z)--=WTB 7 lW a - W TB7lv. |
(8.6.5) |
Для применения к уравнению оценок (8.6.4) методики компен сации смещения, определяемой равенством (7.5.11), необходимо вычислить
|
f( a ) = M [ir 'X rV * ] а - М [МГТДГ V j, |
(8.6.6) |
где |
U7* — матрица, полученная из матрицы W путем подстановки |
в нее вместо элементов wjt |
соответствующих |
случайных вели |
чин Wji*. |
|
|
|
|
|
Запишем следующее очевидное равенство: |
|
|
|
|
w*^B, 1 vl |
w *^B71w *2 . |
|
|
|
|
W ^B7lW *= |
w * B 7 1a>i |
w*"B7lw l . . |
_ . . * T /- ) — 1 |
* |
|
7jo |
Bs |
Wp |
|
|
w *;B71&i v>*pTB 7lw l . ■ |
|
* T n — i |
% |
|
|
w* В. |
wp |
где |
Wj* — подвекторы случайного вектора |
г*. Из этого равен |
ства |
следует, что |
элементы |
матрицы VZ*TBe~lW* представляют |
* Ш
собой квадратичные и билинейные формы /V-мерных случайных векторов.
Если л :* и ул' два случайных вектора с векторами средних значений т х и т у соответственно, то математическое ожидание билинейной формы этих векторов с неслучайной матрицей А мо жет быть рассчитано по формуле
Л1 [х*Ау'\ = т]сАта-\-$ъ\АВху\, |
(8.6.8) |
где Вху — взаимокорреляционная матрица |
случайных |
векторов |
я* и у*. Частным случаем формулы (8.6.-8) |
является формула для |
математического ожидания квадратичной формы случайного век
тора. Из (8.6.7) |
и (8.6.8) следует, что |
|
|
|
|
|
|
+ |
(8.6.9) |
где |
2 — квадратная порядка р матрица с элементами |
|
|
-u = Sp[Bw.w.B7l\. |
|
( 8.6. 10) |
В (8.6.10) |
Bw.w. ~ взаимокорреляционная |
матрица векторов |
w] |
и w), обращающаяся при i = j = k в |
корреляционную мат |
рицу случайного вектора w\. |
|
|
|
Аналогичным образом получаем |
|
|
|
|
|
w*1TB 7 1v* |
|
|
|
W*TB7'v* |
|
|
(8.6 . 11) |
|
|
w*jB7lv* |
|
откуда с учетом (8.6.8) следует, что |
|
|
|
|
|
М [W *TB 7 lv*] = |
ЕВ 7 хх |
+ сг, |
(8.6.12) |
где |
о — р-мерный вектор с элементами |
|
|
|
|
s ^ S p t ^ |
S r 1]. |
|
(8.6.13) |
|
В (8.6.13) |
B w.v— взаимокорреляционная |
матрица векторов |
•w* и г»*. |
|
| 2, •••, |
%р и а связаны следую |
|
Точные значения векторов х, |
щим очевидным соотношением: |
|
|
|
|
|
л: = Еа, |
|
(8.6.14) |
поэтому равенство (8.6.12) может быть переписано так:
M[W*rB7xv*\ = ZrB71Za-<j. |
(8.6.15) |
С учетом (8.6.9) и (8.6.15) равенство (8.6.6) принимает вид
/( а ) = £ а -j-s. |
(8.6.16) |
Полученный результат позволяет записать линейное уравне
ние для несмещенной оценки а вектора а параметров линейной модели движения космического объекта при наличии ошибок из мерений в опытных значениях координатных функций:
{WTB 7 xW - Z ) a - { W TB 7 lv - c ) ^ 0. |
(8.6.17) |
Уравнение (8.6.17) допускает аналитическое решение. Это решение определяет оценку а вектора а в конечном виде следую щим образом:
a = ( W TB 7 lW - Б ) -1 (WTB 7 1v - a ) . |
(8.6.18) |
Повторив рассуждения, подобные приведенным для линей ной модели движения вида (8.1.9), можно получить линейный алгоритм оценивания параметров модели движения вида (8.1.8)^ т. е. когда лишь часть координатных функций контролируется в- процессе эксперимента с ошибками. В этом случае конечная
статистика для оценки q вектора оцениваемых параметров q имеет вид
q = {WlB7xW ^ - ^ ) - 1(W \B7lv — <3i). |
(8.6.19) |
В равенстве (8.6.19) матрицы W ^ и |
и вектор |
опреде |
ляются следующими выражениями: |
|
|
£ |
0/>xs |
|
|
Osxp |
Qsxs |
0, |
|
где 0jXi — нулевая матрица, |
имеющая / |
строк и i |
столбцов, а |
0S— нулевой вектор размерности s. |
|
|
Частным случаем статистики (8.6.18) при независимых в со вокупности ошибках измерений является статистика так назы
ваемого модифицированного метода наименьших |
квадратов. |
Для этих условий опыта корреляционная матрица |
становится |
диагональной, а взаимокорреляционные — нулевыми. Оценка а вектора оцениваемых параметров а модифицированным методом наименьших квадратов определяется по формуле
' a = (WTPvW ~ Y ) ~ lW TPvv, |
(8.6.20) |
где 2 — диагональная порядка р компенсационная матрица, оп ределяемая равенством *
ah SP |
О |
|
о |
|
|
О |
4 sp |
|
о |
|
|
о |
о |
35, |
,Sp[P „P ^] |
|
|
р |
■ L |
" |
- p J |
В выражении для компенсационной |
матрицы |
|
— диаго |
нальная матрица весовых коэффициентов, отражающая то обсто ятельство, что измерения в моменты времени ^ значений коор динатной функции неравноточны:
о8.— дисперсия эталонного
0 .. . |
0 |
Pw)i ■■. |
0 |
|
;
|
|
|
|
о
|
• |
PwJN |
|
измерения в информационном или
измерительном канале
Веса измерений pw. , являющиеся элементами матрицы ве совых коэффициентов pw., обратно пропорциональны диспер сиям соответствующих ошибок измерений:
Ра
Аналогичным образом Р„ — диагональная матрица весовых коэффициентов, отражающая неравноточность измерений в мо менты времени р- значений ординаты модели движения:
0 . . 0
Pvx . . 0
0 . • P'N
Весовые коэффициенты в матрице Pv определяются равенст вом
Pv.:
где ое— дисперсия эталонного йзмерения в измерительном или информационном канале г.
