С помощью вспомогательных статистик (8.7.1) параметров а я b определяются по формулам:
" |
а 2 |
; . |
a = - z - |
|
ах |
|
■ N |
|
N |
Ь = — |
[ |
— а V |
) . |
(8.7.3) |
к |
\ jA |
1 |
А А |
■) |
|
|
W = 1 |
|
i = 1 |
/ |
|
Статистики (8.7.2) — (8.7.3) |
просты в реализации. Решение с |
их помощью рассматриваемой |
задачи оценки параметров дает |
хорошие практические результаты. |
В работе [34] показано, что |
оценки параметров а я Ь, |
рассчитанные |
по формулам |
(8.7.2) и |
(8.7.3), являются состоятельными. Большим достоинством этого способа расчета оценок является то, что статистики для их опре деления относятся к типу разностных. Это особенно важно, если ошибки измерений имеют сингулярную составляющую.
Большой практический интерес представляет вопрос о воз можности распространения способа статистик Вальда на случай многопараметрического оценивания, т. е. когда р> 1 и ^ s > 1. В этой связи необходимо-установить принцип, заложенный в ос нову рассмотренных выше статистик, поскольку этот принцип может быть использован при построении аналогичных статистик в многопараметрических случаях оценивания.
Одним из возможных обоснований принципа построения ста тистик Вальда может быть следующее.
Поскольку статистика для а есть отношение статистик для
а2 и d\, последние можно представить в виде
тN
|
1 |
2 |
- |
4 |
У) |
« 1 |
= |
|
т |
ja a a |
|
|
i = l |
|
|
i = m + 1 |
|
|
т |
|
|
N |
|
1 |
S |
- |
т |
S - |
« 2 |
= |
|
т |
|
|
i = 1 |
|
|
i= m + 1 |
Величины Wi и щ могут быть интерпретированы как коорди наты опытной точки, полученной при измерении с ошибками ко
ординат и Xi соответственно точки, |
лежащей на прямой, урав |
нение которой имеет вид |
(8.7.5) |
x = al-\-b. |
Тогда слагаемым в правых частях равенств (8.7.4) может быть придан следующий геометрический смысл:
т |
w i — w 1— средняя абсцисса первой половины опытных |
— |
т 4 4 |
точек; |
<=i |
’ |
N
|
|
средняя |
абсцисса второй половины |
опытных |
i=m+l |
точек; |
|
|
|
—т |
5 Jj ®,==,di |
средняя ордината |
первой половины |
опытных |
точек; |
|
|
|
|
;=1 |
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
V; ■-v« — средняя |
ордината |
второй половины |
опытных |
|
2 |
точек. |
|
|
|
|
i=т + 1 |
|
|
|
Координаты wj |
и Vi определяют |
в системе координат 0 \ х |
точку L\, являющуюся средней точкой первой половины опытных точек, a w%и г;2— соответственно точку _L2, являющуюся средней точкой второй половины опытных точек (рис. 8.7.1).
Рис. 8.7.1. Геометрическая интерпретация способа статистик Вальда
Нетрудно видеть, что оценки а и Ъ, определяемые формулами (8.7.2) и (8.7.3), есть не что иное, как параметры прямой, имею щей уравнение
х— а%-\- Ъ
ипроходящей через средние опытные точки Ъ\ и Г2:
a = tga = а2
ах
Очевидно, что, используя изложенный выше принцип, можно построить статистики для оценок параметров в многопараметри ческих моделях движения. Для этого необходимо в пространстве опытных точек построить средние опытные точки в количестве, совпадающем с размерностью этого пространства. Далее мето дами аналитической геометрии надо найти параметры канониче ского уравнения гиперплоскости, проходящей через эти средние опытные точки. По найденным таким образом параметрам ука занной гиперплоскости могут быть определены неизвестные па раметры многопараметрической модели, линейной относительно вектора оцениваемых параметров. Размерность пространства опытных точек равна количеству контролируемых по результа там измерений переменных. Многопараметрические статистики типа статистик Вальда могут быть применены для оценки пара метров модели движения, уравнение которой имеет вид (8.1.8), но с ограничением, заключающимся в том, что размерность век тора b не может быть больше единицы, а координатная функция фД/) должна быть постоянной и равна единице. При этих огра ничениях уравнение модели движения, оценка параметров кото рой возможна с помощью статистик типа статистик Вальда, име ет вид
Оптимальность оценок неизвестных параметров по изложен ной выше методике во многом зависит от расположения средних опытных точек в пространстве опытных точек. Планирование их оптимального расположения должно проводиться с учетом кон кретного вида функциональной зависимости от времени ордина ты модели движения и ее координатных функций |Д Д . При этом важно, чтобы средние опытные точки были как можно дальше разнесены в проходящей через них плоскости друг от друга, так как при этом ошибки в координатах средних опытных точек бу дут оказывать меньшее влияние на параметры этой плоскости.
Глава LX. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ПО ВЫБОРКЕ ИЗМЕРЕНИЙ ФИКСИРОВАННОГО ОБЪЕМА
Уравнения правдоподобия (см. гл. V и VII) в общем случае являются нелинейными относительно оцениваемых параметров. Нелинейные уравнения оценок получаются даже для некоторых видов линейных моделей движения, рассмотренных в § 6.6 и 8.3.
Процесс решения нелинейных уравнений имеет много общего с поиском экстремума некоторой функции. Стратегии поиска экс тремума функции можно разделить на два вида: случайные и детерминированные. Поиск, стратегия которого является полно стью детерминированной (не содержит элементов случайности) при проведении всех экспериментов по отысканию экстремума, называется детерминированным. Поиск, стратегия которого со
держит элементы случайности, называется случайным (или ста тистическим).
В свою очередь как случайные, так и детерминированные стратегии подразделяются на два вида: пассивные и последова тельные. Поиск, в котором стратегия проведения всех экспери ментов по отысканию экстремума определяется заранее и не из меняется в процессе проведения опытов, будем называть пассив ным (непоследовательным). Поиск, стратегия которого строится с учетом использования информации, получаемой в процессе проведения опытов, будем называть последовательным.
Таким образом, имеем следующую классификацию методов поиска:
—пассивные случайные;
—последовательные случайные;
—пассивные детерминированные;
—последовательные детерминированные.
Вэтой классификации методы располагаются примерно в по рядке возрастания их эффективности, под которой в данном слу-
чае может пониматься время поиска или объем необходимой па мяти ЭВМ. В первой группе методов почти не используется ин формация о свойствах^ исследуемой функции и информация о самом процессе поиска. Во второй и третьей группах методов соответственно используется информация или о процессе поиска, или о свойствах исследуемой функции. В последней группе ис пользуется информация обоих видов. Учет какой-то информации при построении алгоритмов естественно позволяет повысить их эффективность, т. е. сократить время поиска экстремума, но об щность алгоритмов при этом также естественно уменьшается, т. е. сужается область их применимости.
В этой главе рассматриваются типичные представители раз личных групп методов* которые наиболее полно иллюстрируют проблемы, возникающие при решении нелинейных уравнений оценок. В ряде задач оценивания линейных моделей движения, рассмотренных в гл. VI и VIII, записаны линейные алгебраиче ские уравнения оценок. В случае большой размерности вектора оцениваемых параметров решение таких уравнений является не простым делом, поэтому в § 9.5 приводятся некоторые сведения о методах их решения. Изложение каждого метода обычно начи нается с одномерного случая и затем дается обобщение на мно гомерный поиск. Дается краткая сравнительная характеристика методов.
§9.1. МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО
Кпассивным случайным методам поиска экстремума функ ции относится ненаправленный случайный поиск. Иначе его на зывают методом Монте-Карло.
Стратегия поиска этим методом определяется заранее и за
ключается в определении иссле |
|
дуемой |
функции на |
множестве |
|
точек, выбираемых случайным об |
|
разом в области задания функции, |
|
в сравнении найденных значений |
|
функции между собой и отыска |
|
нии точки, которой соответствует |
|
наименьшее (или наибольшее) |
|
значение функции. В основе мето |
Я ч |
да поиска лежит самое общее |
Рис. 9.1.1. График функции обще |
свойство функций — в' точке абсо |
лютного |
экстремума |
принимать |
го вида |
|
наименьшее (или наибольшее)
значение из всех возможных. Этим свойством обладают как уни модальные, так и многоэкстремальные функции самого общего вида, не обязательно дифференцируемые или непрерывный. Отсюда следует, что область использования метода Монте-Карло почти не ограничена.'
