Файл: Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики.pdf

томии (последовательным половинным делением) потребовалось бы 14 экспериментов. Пассивный детерминированный поиск тре

nnaP^ S 0TPT тепеРь многомерный поиск. Многомерная функ­ ция a(q) в обдасти Й(q) является унимодальной, если сущест­

вует точка <7= ( q u р>), принадлежащая области Й(</), такая,

Процесс поиска минимума заключается в проведении последо­ вательности опытов. Под первым опытом понимается выбор опре­

ся куб Q jdQ с вершиной в точке q (1> и центром, совпадающим с центром куба Q; рассчитываются дополнительно 2r— 1 значе­ ний функции a (q) в вершинах этой куба; сравниваются эти 2Г значений и определяется точка q ^ \ в которой функция прини­

мает наименьшее значение, после чего строится куб Qi, кото­ рый внутри себя содержит точку </(2). Третий опыт заключается

в построении куба Q2 с Q] с вершиной в точке qW и центром,

совпадающим с центром куба Q’, и повторении тех же самых операций по определению функции в вершинах куба Q2 и срав­ нению их между собой.

Правило построения куба Qi состоит, например, в следующем. Из каждой вершины куба Q откладывается по каждой его сто-

ветствующими координатами вершин куба Qi.

Объемы кубов связаны между собой соотношением [56]

довательно, величина р определяется также по формуле (9.2.4). Процесс улучшения оценок можнозаканчивать после того, как объем неопределенности положения экстремальной точки

станет меньше наперед заданного объема.

Из изложенного следует, что для реализации метода Фибо­ наччи не требуется вычисления частных производных. Следова­ тельно, метод целесообразно использовать в тех случаях, когда функция является недифференцируемой или когда расчет част­ ных производных выполнять сложнее, чем расчет значений самой исследуемой функции.

255

§ 9.3. МЕТОД НЬЮТОНА

К последовательным детерминированным методам поиска

. экстремума относится также метод Ньютона и его модифи­

кации.

Последовательность поиска экстремума этим методом заклю­ чается в выборе какой-то первоначальной точки в области зада­

ся дифференцируемость не ниже второго порядка. Отсюда видно, что из рассмотренных методов поиска метод Ньютона является наименее универсальным.

На рис. 9.3.1 приведена унимодальная дифференцируемая функция, для исследования которой может быть использован данный метод.

£2(<7), такое, что в некоторой окрестности этой точки (q—е, q + s) первая производная a'(q) при возрастании аргумента меняет

знак минус на плюс. Следовательно, в самой точке q справедли­ во равенство

Аналогично можно определить функцию, имеющую максимум. Поиск экстремумов функции a(q) в интервале Q(<?) заключает­

случае уравнение (9.3.1) является нелинейным и не всегда ана­ литически разрешимым. Поэтому для нахождения корней урав­ нения (9.3.1) приходится использовать градиентные процедуры. Если функция a{q) унимодальна, то можно надеяться, что про­

цедура сходится к истинному решению q. Поиск ведется следую­ щим образом. Вначале каким-либо способом выбирается первое

256 '

приближение фб и относительно него производится линеариза­ ция уравнения (9.3.1):

Из уравнения (9.3.2) определяются поправка

------_ E ^ L a"(9(1))

и второе приближение к решению

<7(2)= 9(1)_)_Д9(1)_

Процесс сближения можно заканчивать после того, как вы­ полнится условие

где е-— малое положительное число.

Если функция a(q) достаточно гладкая в интервале Q(q) и имеет выраженный экстремум, то процесс сближения сходится достаточно быстро. В этом случае интервал неопределенности сокращается до одного процента первоначальной длины через 5—7 сближений, так что по эффективности метод Ньютона пре­ восходит метод Фибоначчи.

Рассмотрим теперь ту же процедуру для многомерного слу­ чая. Многомерная функция a(q) в области задания Q(<?) имеет

минимум, если существует значение q, принадлежащее 0(<7), такое, что в некоторой окрестности этой точки градиент функции Va(y) при возрастании любой из компонент qj (/=1, ..., г) век­ торного аргумента меняет знак с минуса на плюс. В самой точке

Я справедливо равенство

где

дд

V =

dg1 dqr

оператор дифференцирования.

Из приведенного определения минимума следует, что поверх­ ности типа оврагов, седловин, плато из рассмотрения исключа­ ются.

Как и в одномерном случае, поиск минимума функции a(q ) в области Q ( q ) заключается в отыскании корней уравнения

V а ( # ) = ( ) ,

принадлежащих области задания &(<?).

В'общем случае уравнения (9.35) представляют собой систе­ му нелинейных уравнений. Для решения этой системы можно ис­ пользовать градиентную процедуру, основанную на подборе многомерного параболоида, соприкасающегося с исследуемой поверхностью.

Пусть имеется точка первого приближения q (1>. Запишем систему линеаризованных соотношений в этой точке:

Г

Приравнивая левые части этих уравнений к нулю, как этого требует соотношение (9.3.5), находим вектор поправок А ^ 1);

изводных.

Поправки, определяемые по формуле (9.3.7), соответствуют тому, что исследуемая поверхность заменяется поверхностью па­ раболоида

Второе приближение оценки определяется по формуле д(а)= 0(1) + Д0(1)

и так далее, пока не будет выполнено условие

1 / Л ( Д < } ( * ) ) т ( Д < 7 ( 5 >) < в .

Если исследуемая функция является квадратичной формой, то, выбирая в качестве первого приближения нулевой вектор,

258

сразу находим оценку по формуле

d2<x (0) —1 да (0) dqndqi dQk

так как в этом случае поверхность является точным параболои­ дом.

Метод Ньютона в изложенном варианте обладает улучшенной сходимостью по сравнению с обычным методом обобщенных касательных Ньютона [13]. Из сравнения алгоритма метода Нью­ тона с алгоритмом метода Фибоначчи видно, что количество опе­ раций, приходящихся на каждый шаг приближения, в методе Ньютона больше, поэтому для его реализации обычно требуется больший объем памяти машины.

§9.4. МЕТОД ПИКАРА

Впредыдущих параграфах этой главы рассматривались раз­ личные методы решения алгебраических уравнений. Однако уравнения правдоподобия могут быть и интегрального типа, как, например, уравнение для оценивания факторных нагрузок неоп­ ределенной модели, полученные в конце гл. VI:

Можно показать, что матричному уравнению (9.4.4) для не­ прерывного времени соответствует интегральное уравнение Фредгольма [44]

17PL = A~ll7P (S - ogp-1) PL.

259