Файл: Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики.pdf

(9.5.3), умноженное соответственно на коэффициенты а2ь «зь

..., ап1. В результате такого вычитания получим

(9.5.4)

где a (^ = a i} — a nb4 (В У> 2 );

b\l)= bi — anbv

Если коэффициент а!$ первого из преобразованных урав­ нений (9.5.4) не равен нулю, то его принимают за ведущий эле­ мент второго шага и делят на него все коэффициенты и свобод­ ный член этого уравнения. При этом получают уравнение

b{P = b\l) — а\УЬ2.

Процесс исключения неизвестных по указанной схеме продол­ жается п раз. Объединив далее все первые уравнения каждого шага, получим систему

^1+ ^12<72_Ь ^13^34" • • ■-{-blnqn—Ci,

Решение системы уравнений (9.5.7) не представляет труднос­ тей. Значения для неизвестных находятся последовательно от qn к q{ по очевидным формулам

264

Яп=С»

вычислений. Однако для ее применимости нужно, чтобы все ве­ дущие элементы отличались от нуля, что не может быть предска­ зано заранее, без вычислений. Этот недостаток отсутствует в схеме единственного деления по главным элементам. В соответ­ ствии с этой схемой на каждом шаге исключается та неизвестная, коэффициент при которой на предыдущем шаге был наибольшим по абсолютной величине.

Последовательные исключения неизвестных можно проводить и по другим вычислительным схемам метода Гаусса. Общим для всех этих схем является то, что все они основаны на приведении системы линейных уравнений к системе с правой треугольной матрицей, а это равносильно умножению матрицы системы и столбца свободных членов слева на некоторые вспомогательные матрицы. Особенно хорошей стабильностью отличаются вычис­ лительные схемы метода исключений, использующие в качестве матриц, с помощью которых производятся линейные преобразо­ вания систем, элементарные матрицы преобразований вращения и другие ортогональные матрицы.

Кроме метода исключений, для решения систем линейных не­ однородных алгебраических уравнений используются и другие методы. К ним относятся, например, метод квадратных корней для случая, когда матрица системы симметрическая, метод Халецкого, метод Перселла, метод ортогонализации и ряд других [26]. Большой класс методов решения систем линейных неодно­ родных алгебраических уравнений основан на использовании различных методов обращения матрицы коэффициентов системы, поскольку решение системы уравнений (9.5.1) может быть запи­ сано в виде

где А~х—’Матрица, обратная матрице А.

Итерационные процедуры для решения линейных систем

265

сведениям о векторе оцениваемых параметров, либо путем при­ ближенной оценки корней уравнения (9.5.1), либо вообще берет­ ся произвольно. Различный выбор матриц НМ приводит к раз­ личным итерационным процедурам.

Итерационные процессы, проводимые по формуле (9.5.10), обладают тем свойством, что для каждого из них точное реше­ ние является неподвижной точкой. Это означает, что если за

начальное приближение <7(0) взят вектор q , т. е. точное решение системы, то все последующие приближения будут также рав­

ны q.

Если матрицы H w — H не зависят от номера шага k про­ цесса итерации, то такие процессы итерации называются стацио­ нарными. В частности, если Н — единичная матрица, то процесс итерации является классическим процессом последовательных приближений.

В циклических итерационных процессах матрицы НМ перио­ дически повторяются через некоторое число шагов.

Выбор матриц НМ можно осуществлять различными способа­ ми. При этом возможны два основных принципа построения этих матриц. Матрицы НМ можно выбирать так, чтобы итерационный процесс сходился к решению для возможно более широкого класса систем уравнений. Но они могут выбираться и с макси­ мальным использованием частных особенностей конкретной, ре­ шаемой в данной задаче системы так, чтобы для этой системы интерационный процесс обладал быстрейшей сходимостью.

Основным принципом выбора матрицы НМ является метод релаксации. Он заключается в том, что на каждом шаге итера­ ции матрицы НМ выбираются так, чтобы в результате этого вы­ бора уменьшалась какая-либо величина, характеризующая точность решения системы. Среди релаксационных методов наи­ более полно разработаны координатные и градиентные.

Другим важным методом выбора матриц НМ является по­ следовательное подавление компонент. Этот метод использует в качестве критерия точности решения линейной системы разло­ жение вектора ошибки по собственным векторам матрицы коэф­ фициентов системы.

Перечисленные выше методы решения линейных систем неод­ нородных алгебраических уравнений далеко не исчерпывают всего их многообразия. Этим методам посвящена обширная ли­ тература, идет непрерывный процесс их развития и обновления.

При решении задач экспериментальной космической баллис­ тики выбор метода решения линейных систем неоднородных ал­ гебраических уравнений оценок должен производиться в соответ­ ствии с требованиями точности, быстродействия и возможностей используемых вычислительных средств.

266

§ 9.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО КОРНЯ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО МНОГОЧЛЕНА

В предыдущей главе было показано, что при решении задачи оценки параметров линейной модели движения космического объекта в условиях наличия ошибок измерений в опытных зна­ чениях координатных функций при независимых в совокупности и равноточных по каналам измерениях возникает необходимость определения наибольшего действительного корня алгебраическо­

определены с помощью известных конечных методов. Если сте­ пень многочлена выше четвертой, конечных формул для опреде­ ления его корней в общем случае нет, поэтому возникает необ­ ходимость использования численных методов отыскания корней.

В вычислительной математике разработаны различные мето­ ды определения корней многочленов и их дальнейшего уточнения. Для определения наибольшего действительного корня пригоден практически каждый из этих методов. Однако наибольшего вни­ мания заслуживают те из них, которые позволяют решать по­ ставленную задачу с минимальным количеством побочных ре­ зультатов.

Для получения наибольшего действительного корня много­ члена может быть использован метод, известный в литературе по вычислительной математике как метод И. Бернулли. Целесо­ образность применения этого метода для решения указанной за­ дачи определяется тем, что он позволяет осуществить последо­ вательное определение корней многочлена от наибольшего по модулю к наименьшему.

Сущность метода Бернулли заключается в следующем. Пусть

где а0, а{, ..., ап — постоянные коэффициенты многочлена, а х — его переменная. Корни многочлена (9.6.1) должны удовлетворять алгебраическому уравнению

Для отыскания наибольшего по модулю корня уравнения (9.6.2) выразим хп через остальные члены этого уравнения:

Нетрудно видеть, что коэффициенты pi равенства (9.6.3) свя­ заны с коэффициентами а* уравнения (9.6.2) следующими прос­

267

тыми соотношениями;

Для вычисления наибольшего по модулю корня многочлена (9.6.1) методом Бернулли необходимо вычислить сначала неко­ торую последовательность чисел {р}:

Числа этой последовательности вычисляются с помощью рекур­ рентной формулы, имеющей вид

Очевидно, что для использования этой формулы на первых п этапах расчета необходимо знание некоторой «пусковой» после­ довательности из п чисел:

Эта последовательность задается произвольно. Например, мож­ но принять

В модификации метода Бернулли, предложенной Хильдебран­ дом, члены последовательности (9.6.4) вычисляются также по формуле (9.6.5), но полагается, что ро, если оно входит в форму­ лу, равно номеру вычисляемого члена в последовательности (9.6.4), т. е. к, а рь р2 и т. д. равны нулям:

Назначение «пусковой» последовательности чисел- в виде (9.6.7) предпочтительнее, чем в виде'(9.6.6), поскольку в этом случае метод определения наибольшего корня алгебраического многочлена имеет лучшую сходимость.

Вычисления по формуле (9.6.5) приведут в случае (9.6.7) к следующим результатам:

!ч = а ;

P-2 = /7iPi + 2/72;

Следует отметить, что переменное число \iQ-k участвует в вычислении лишь первых п значений последовательности чисел

(9.6.4).

" Можно показать, что числа последовательности (9.6.8) обла­ дают следующим важным свойством, позволяющим легко опре­

268