Обозначив
1/ = Л2 = Г Я ( 5 - ^ р - 1)Я /,) |
(9.4.5) |
заметим, что квадратные корни из элементов матрицы V равны собственным значениям для матрицы К.
Пусть первым приближением для матрицы факторных на грузок является матрица L(1). Найдем теперь второе приближе ние L(2). Сначала найдем второе приближение для первой строки матрицы /Л Для этого обозначим первую строку правой части уравнения
И1\
и |
и |
(9.4.6) |
= л г 1 |
P i s - o l p - 1) |
пи
через
|
|
«! = |
/ № |
( S - a g p - 1), |
|
|
подставив в нее первое приближение Г\г). |
|
|
Из уравнения |
(9.4.5) следует, что |
|
|
|
= Л (1)Я (S - |
^ Р - 1) P l[1)= u lP l{1). |
|
Так |
как v? |
является |
собственным значением для |
первой |
строки |
матрицы P ( S — ejy0-1), то |
из (9.4.6) находим |
|
|
ц(Р = _1_. ц Ы р ( s - |
^ p - l) = - L - |
u l |
(9.4.7) |
|
|
V Vi |
|
|
Y vx |
|
|
Далее определим второе |
приближение для |
второй |
строки |
/г2) по той же методике, учтя дополнительно требование диаго нальное™ матрицы Л. Итак, в нашем распоряжении имеются
оценки 1{1\ lY . Соответствующий им элемент 7,21 в матрице Л определяется по формуле
Xn = l l il)P l[2\
Если теперь, как и ранее, ввести строку
u ^ t l ^ P i S - a l p - 1),
то она будет не ортогональной к строке /£2), как это необходи мо для диагональное™ матрицы Л. Для выполнения требования
ортогональности введем компенсацию в формулу для ul:
‘ u l ^ l l ^ P i S - e l p - 1) - ^ ^ .
Величина v2 после этого определяется по формуле
|
|
V2 = |
u lP ll2i) |
|
|
(9.4.8) |
и оценка |
— по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
И(2)= |
- ^ |
til |
|
|
(9.4.9) |
|
|
|
|
Y v 2 |
|
|
|
|
Второе |
приближение |
для |
третьей |
строки l l (2) находим по |
той же методике. Сначала |
определяем |
два числа: |
|
|
|
|
|
X32= i r W |
22). |
|
Затем вводим строку |
|
|
|
|
|
|
|
|
u l = l l (1)P ( 5 |
- |
°1р ~1) - |
l 3il] (2) - 132Ц(2\ |
|
которая будет иметь нулевые моменты |
с /1(2) и Г12). |
Далее |
находим величину v 3 по |
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
v3= u T3P l(3l) |
|
|
(9.4.10) |
и оценку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/з(2)= |
- ^ Н з . |
|
. |
(9.4.11) |
|
|
|
|
Vщ |
|
|
|
|
Продолжая таким же образом, получим оценки всех строк матрицы Д 2>второго приближения. Последняя в свою очередь может быть использована для нахождения третьего приближе ния L<3>и т. д.
Нагрузки l j(t) (7= 1, г) содержат в себе информацию и о структуре системы и о возмущениях, действующих на систему. Для более осмысленного анализа этой информации необходимо установить физическую природу факторных нагрузок, т. е. про интерпретировать соответствующие им факторы.
Решение последней задачи во многом зависит от индивиду альных способностей экспериментатора и его опыта. Здесь, в частности, может быть полезным разбиение факторов на классы, например,
—факторы с постоянной по времени нагрузкой;
—факторы с линейной по времени нагрузкой;
—’факторы с переменной по времени однозначной нагрузкой; _—-факторы со знакопеременной по времени нагрузкой;
— факторы с периодической по времени нагрузкой и т. п. Далее можно использовать метод вращения факторов с целью
установления принадлежности их к тому или иному классу. Если физическая природа хотя бы одного из факторов извест
на заранее, т. е. известен вектор нагрузок фй=(ф/и, .... Щк) |
k-го |
9—356 |
961 |
фактора, то N x N матрица А вращения может быть найдена из уравнения преобразования для вектора нагрузок lk= \lku.. ., 1ш)
Л/* = <Р*
и условия ортогональности преобразования
ЛТ.-=Л-1.
После этого находим N x r матрицу новых нагрузок Ф путем вращения матрицы оцененных нагрузок L:
|
а 1 = ф . |
|
Нагрузки фij (/=1, |
г; t = l, |
N) более соответствуют на |
шему обычному представлению о физике возмущений и могут быть скорее проинтерпретированы.
§ 9.5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОЦЕНОК
При решении задач экспериментальной космической баллис тики нередко приходится решать системы линейных неоднород ных алгебраических уравнений. В предыдущих главах показано, что во многих случаял такими системами являются системы урав нений для определения оценок неизвестных параметров (урав нения оценок).
Задача отыскания корней линейной неоднородной алгебраи ческой системы уравнений теоретически решается достаточно просто. Однако при большой размерности этой системы реализа ция теоретического решения часто бывает весьма затруднитель ной, поскольку требует очень большого числа вычислительных операций.
Методы решения системы линейных уравнений в настоящее время достаточно хорошо разработаны. Они делятся на прямые методы и методы последовательных приближений. Прямые мето ды дают решение задачи при помощи конечного числа арифме тических операций. При этом если коэффициенты при неизвест ных и свободные члены уравнений заданы без ошибок и вычис ления выполняются тоже без ошибок, то -решение линейной алгебраической неоднородной системы уравнений с помощью конечного метода также получается точным. По этой причине прямые методы решения систем алгебраических линейных урав нений называют еще точными методами.
Итерационные методы являются средством приближенного решения системы линейных уравнений. Решение с помощью этих методов получается как предел последовательных приближений, сходящихся к точным значениям корней. При этом существенным является не только сходимость приближений, но и быстрота схо
димости. Поэтом-у каждый итерационный метод не является универсальным; давая приемлемую сходимость для одних систем уравнений, он может сходиться медленно или совсем не сходить ся для других систем.
Исторически первым точным методом решения систем линей ных алгебраических уравнений является метод, основанный на процедуре последовательного исключения неизвестных. Алго ритм этого метода в применении к решению линейной неоднород ной системы связан с именем известного немецкого математика Гаусса, поэтому указанный метод часто называют методом Гаус са. В настоящее время разработано много вычислительных схем метода Гаусса. Наиболее распространенной из них является схе ма единственного деления. Сущность этой схемы заключается в следующем.
Пусть уравнение оценок в матричной форме имеет вид
где А — квадратная матрица коэффициентов системы линейных уравнений оценок; q — вектор оценок неизвестных постоянных параметров; & — вектор, компонентами которого являются п.равые части уравнений системы. В развернутой форме система уравнений (9.5.1) может быть записана так:
anQiJr aiiQ2Jr • • ■+ а 1пЯп—
a2\<h Jr a2'Ah-f- • • • |
а2пЯп = &2’ |
(9.5.2) |
■“Ь &ПпЯп== Ьп•
Если коэффициент ап отличен от нуля, то на него могут быть поделены все коэффициенты и свободный член первого уравне ния системы. При этом коэффициентац называют ведущим эле ментом первого шага. После указанного деления получим урав нение
|
|
Я\~\~ |
••• + bXnqn— clt |
(9.5.3) |
где bir |
а, |
( / > i); |
|
|
аи |
|
|
|
|
|
|
bi
ап
Неизвестная оценка q\ с помощью уравнения (9.5.3) может быть исключена из всех уравнений системы (9.5.2), начиная со второго. Для этого вычтем из всех этих уравнений уравнение
