делить наибольший по модулю корень многочлена (9.6.1): если Х\, Х2 , ... , хп — корни многочлена, то
Рг= x i 4“х 2-)- . •.
(9.6,9)
Ра= -л:1-\-Хг + ■■• -\-хьп\
Это свойство легко доказать, если воспользоваться известны ми формулами Виета:
—-у- = х 1 - \ - х 2- \ - . . . - \ - х п;
а0
|
ДО |
1 |
1 |
1 |
|
|
— = |
x 1x 2 - j - x 1x 3 -\- ... |
|
|
щ |
|
|
|
|
~ |
~ ~ = |
Х \Х 2Х з Л ~ Х 1Х 2Х ^~\~ |
■ • • J r X n - 2 X n - l X n> |
|
do |
|
|
|
|
( |
1) |
П 1 — Х \Х Ч- ■ |
Х 2Х Ъ- • ^ п —^ п ' |
|
|
а0 |
|
|
|
( — |
1) |
|
. .Хп. |
|
«о
При вычислении наибольшего по модулю (превалирующего) корня-многочлена могут представиться следующие случаи:
1) уравнение (9.6.2) имеет один превалирующий действитель ный корень;
2)уравнение (9.6.2) имеет два различных по знаку превали рующих корня;
3)уравнение (9.6.2) имеет пару превалирующих комплекс ных сопряженных корней;
4)уравнение (9.6.2) имеет три и больше различных между собой превалирующих корней, два из которых, очевидно, долж ны быть комплексными сопряженными.
При решении задачи оценки параметров модели движения космического объекта в условиях наличия ошибок измерений в опытных значениях координатных функций (а именно в этой за даче возникает необходимость определения наибольшего корня алгебраического уравнения) нас, очевидно, будет интересовать только первый из возможных случаев, перечисленных выше. Это обусловлено тем, что функция правдоподобия является неотри цательной функцией и все ее экстремумы имеют положительные ординаты. Поэтому рассмотрим подробно только первый случай.
Пусть для определенности
I Х 1 I > I *2 I > Гх з I > • • • > I Х п I .
т. е. корень Х\ является наибольшим по модулю. Тогда из
(9.6.9) следует:
Очевидно, что при возрастании k величины
ш ' (дгГ-- т
стремятся к нулю, поэтому
limpft=x* . (9.6.11)
k-*-oo
Формулу (9.6.10) можно записать и для числа [x^i последо вательности чисел (9.6.8). При этом получим, что
Из формул (9.6.11) и (9.6.12) легко получить приближенную формулу для определения наибольшего корня многочлена
(9.6.1):
(9.6.13)
Очевидно, что при достаточно большом k формула (9.6.13) дает сколь угодно точное приближение наибольшего корня мно гочлена (9.6.1). Для требуемой точности вычисления этого корня необходимо на каждом шаге приближения сравнивать получен
ное |
значение Х\ |
с его |
значением, полученным на предыдущем |
шаге. |
Если различие |
между значением х и полученным на k-м |
шаге |
{ х [ к)) , |
и |
значением х и полученным на (k—1)-м шаге |
( х { к~ 1)), |
не |
превосходит по абсолютной величине некото |
рой наперед заданной малой величины е>0, которая определя ется требуемой точностью вычислений, то за вычисленное значе
ние наибольшего |
действительного корня |
многочлена |
(9.6.1) |
принимают лфА>, |
полученное на последнем |
шаге, т. |
е. если |
\ х [ к~ 1) — х [ к) |< е , то х х — х [ к). |
|
|
Изложенный метод определения наибольшего корня |
много |
члена дает хорошие практические результаты и удобен для реа лизации на ЭВМ. Важным достоинством этого метода является хорошая сходимость его вычислительной процедуры, которая имеет вид сходимости геометрической прогрессии со знаменате-
Глава X. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ПО ВЫБОРКЕ ИЗМЕРЕНИЙ НАРАСТАЮЩЕГО ОБЪЕМА
Полученные в предыдущих главах уравнения правдоподобия являются основой алгоритмов, рассчитанных на получение оце нок неизвестных параметров после накопления полной выборки измерений. Однако эти уравнения можно записать с использова нием тех же самых критериев качества решения задачи в другой форме так, чтобы они позволяли последовательно улучшать оценки по мере накопления измерительной информации. Алго ритмы, соответствующие такой ф.орме вычисления оценок, полу чили название рекуррентных. Первоначально в основе рекуррент ных методов использовались те же самые критерии качества (гл. V), что и в алгоритмах оценки по полной выборке. Позднее рекуррентные методы приобрели самостоятельность тем, что не которые из них используют свои критерии оценивания, так что их можно рассматривать и независимо.
Основным достоинством рекуррентных методов является по следовательная форма оценки, что очень важно в задачах уп равления, ’корректирования движения.
В смысле точности решения рекуррентные алгоритмы не пре восходят алгоритмов оценивания по полной выборке измерений.
Реализация рекуррентных алгоритмов требует значительно меньшего объема памяти ввиду их простоты, но большего вре мени на обработку того же самого объема информации, чем ал горитмы решения по полной выборке. Правда, здесь практически не требуется время на накопление информации, за счет чего по лучается выигрыш и по времени получения оценок.
Недостатком рекуррентных методов является их меньшая универсальность, не всегда можно построить хорошую рекуррент ную процедуру. Однако для линейных систем этот недостаток не имеет места.
§ 10.1. РЕКУРРЕНТНЫЙ АЛГОРИТМ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Как и ранее, рассмотрение начнем с одномерного случая
x{t) = ^{t)q,
когда параметр x(t) измеряется в дискретные моменты времени
zi= X i + ht
в присутствии некоррелированной аддитивной помехи
9о,У й ) .
Наилучшей оценкой параметра q в данных условиях является оценка метода наименьших квадратов
|
|
N |
|
|
|
|
2 |
Мг*г |
|
|
|
|
-------- • |
( 10. 1. 1) |
|
|
|
2 м ? |
|
|
|
|
г-i |
|
Запишем теперь алгоритм |
(10.1.1) в рекуррентной форме. |
Для этого представим числитель в виде двух слагаемых:. |
|
N — 1 |
|
|
|
2 |
Мг*г |
|
1N' |
г=I |
|
PjV^Nz!V |
|
N |
м? |
N |
|
|
2 |
2 м? |
|
|
г-i |
г-1 |
|
В первом слагаемом выделим сомножитель, зависящий толь ко от (N—1) измерения:
JV—1 |
W-l |
|
2 М г*< |
2 |
М ? |
N - 1 |
JV |
^ лг |
м? |
2 |
м? |
2 М ; |
|
/ = |
1 |
г - i |
|
N — 1 |
|
|
2 |
Р $1г 1 |
|
9jv- i |
___ г - i |
|
> |
J V - 1 |
после чего вы раж ен и е для qу зап и ш ется в виде
N — 1
|
2 |
|
м ? |
I |
Pn'^n zn |
^ДГ— |
г-i |
|
N |
|
, |
N |
|
2 |
|
р&\ |
|
2 м ? |
|
1=г |
|
/■=1 |
Так как |
|
|
|
|
|
N |
- \ |
N |
|
|
|
11 |
i-i |
м ? - ^ 'л г . |
/-1 |
|
|
то окончательно имеем |
|
|
|
9лг— |
Рд г У д г |
^ |
“ |
|
(ZJV Флг^лг—!.)• |
2 м?
г-1
По этой же схеме запишем рекуррентный алгоритм наименьших квадратов для многомерной зависимости
Г
•*(*)= 2
7 = 1
Оценка вектора q в этом случае находится по формуле (см.
§ 6 .1)
где
C = WTPW.
Разобьем вектор измерений г на подвекторы
Z = \ \ Z n Z i \
число компонент в каждом из которых будет соответственно k и I, причем k + l = N.
В соответствии с этим разобьем матрицы Т и Р так, что они будут иметь следующую клеточную структуру:
^ х г |
Л |
! |
0 |
w = |
, р = |
|
|
'Р/ХГ |
0 |
! |
P i |
