Файл: Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики.pdf

измерений, но в этом случае не существует оценки. Поэтому для со примем следующий закон:

10= 0)! UU>2 U • • • U«>лг-

Рассмотрим множество оц, т. е. множество единичных изме­ рений. Легко видеть, что

min | b (^) |-1 = \ b{tx) \ - \

где оптимальный момент измерения определяется из условия

\b{tx)\ = max | bk\.

{*}

Рассмотрим множество юг, т. е. множество парных измерений. Так как для любых k и I

в силу определения момента времени t\.

Такой же вывод можно получить по индукции и для множеств соз, ..., соn- Таким образом, расширение множества со сверх одно­

для расчета оптимальных моментов времени измерений при по­ лете космического объекта от Земли к Марсу.

Мы рассмотрели оптимальное планирование измерений с точ­ ки зрения получения наиболее точных оценок. К плану измере­ ния, кроме этого, могут предъявляться требования простоты и экономичности процесса обработки измерительной информации. В частности, шаг дискретизации времени измерения часто на­ значается из условия некоррелированности ошибок измерений с целью использования для обработки измерений наиболее просто­ го статистического метода — метода Наименьших квадратов.

§ 11.5. ВЫБОР СПОСОБА ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Под способом обработки измерений будем понимать приме­ няемый статистический метод и вычислительную процедуру его

313

реализации на ЭВМ. Способ обработки выбирается с учетом конкретных особенностей задачи. По классификации, предло­ женной в первых главах книги, видно, что возможно более сотни различных постановок задач определения и анализа' движения. Для их решения в соответствии с гл. V, VII, IX и X может быть предложено около 30 основных способов. Выбор одного из спо­ собов для решения конкретной задачи составляет содержание данного параграфа.

11.5.1.Выбор критерия качества решения

Взадачах определения и анализа движения космических объектов критерий качества решения не имеет того ясного фи­ зического смысла, как в задачах выбора оптимальных космиче­ ских траекторий (минимум топлива, максимум расстояния, ми­ нимум времени и т. д.), а представляет собой, меру отклонения получаемого решения от истинного. Существует множество таких

или иной статистический метод обработки результатов измере­ ний. Кроме того, существуют всевозможные методы или способы обработки результатов измерений в условиях-неполной информа­ ции об ошибках измерений, которые не имеют ясного критерия не только с физической, но и с математической точки зрения.

Вместе с тем в теории оценивания существуют достаточно наглядные свойства оптимальности оценок, например, такие, как:

агМ [(д^.эф — q) [q*N,эф — <?)r] a ^ a TM[(q*v — q){q*N— <?)т] а. (11.5.3)

Условия (11.5.1)—(11.5.3), которым желательно удовлетво­ рить при получении оценок, можно назвать вторичными крите­ риями оптимальности решения в отличие от первичных (функций потерь), которые непосредственно связаны с методами решения.

Связь между первичными и вторичными критериями сложная и недостаточно изученная. Известно, например, что оценка по методу максимального правдоподобия, если она единственная, является состоятельной. При некоторых,более жестких требова­ ниях на функцию правдоподобия оценка является несмещенной. Оценка по методу условного математического ожидания являет­ ся эффективной, но может быть смещенной и даже несостоятель-

314

пой. Примером несостоятельных оценок являются оценки пара­ метров в задачах гл. VIII, получаемые по методу наименьших квадратов.

Таким образом, существует проблема выбора критерия каче­ ства решения. Эта проблема обычно не рассматривается в теории решений, в частности, такое положение существует в теории ста­ тистических решений. Задача выбора критерия качества вклю­ чается в сферу приложений. Успех ее решения в приложениях зависит от того, насколько удачно исследователь сформулирует цель решения, насколько полно учтет эту цель в критерии реше­ ния, стремясь одновременно к получению более простого вычис­ лительного алгоритма.

Следуя книге А. М. Летова [36], сформулируем данную проб­ лему более строго.

Пусть имеется множество первичных критериев качества и множество вторичных критериев.

Необходимо:

— среди множества вторичных критериев выделить один или несколько таких критериев, с помощью которых множество пер­ вичных критериев может быть разбито в каждой конкретной за­ даче на два множества, в одно из которых входят критерии, удо­ влетворяющие выбранным вторичным критериям, в другое — не­ удовлетворяющие;

— среди множества первичных критериев, согласованных с выбранными вторичными критериями, выделить те, для которых существует эффективная вычислительная процедура решения данной задачи.

Остановимся сначала на первой части этой проблемы. Оче­ видно, надо так выбрать системы вторичных критериев, чтобы множество первичных критериев, удовлетворяющих им, было не пусто для большинства решаемых задач. Идеальным вторичным критерием является условие наибольшей концентрации .идеаль­

ной оценки ^лмщ по сравнению с любой другой qN-

тивность также являются довольно жесткими ограничениями для первичных критериев. Наименее ограничительным условием яв­ ляется состоятельность оценок.

Состоятельность является желательным свойством всякой процедуры оценивания. Однако условие (11.5.1) обеспечивает слабую сходимость или сходимость по вероятности, что обычно не является достаточной гарантией получения желательной оцен­ ки в практических задачах. Существует еще два типа сходимости для последовательности'случайных элементов:

315

Как та, так и другая сходимость влечет за собой слабую схо­ димость (11.5.1). Из сильной сходимости (11.5.5) следует обыч­ ная сходимость в детерминированном смысле. Из сходимости (11.5.6) обычно следует асимптотическая несмещенность оценок, кроме того, сходимость (11.5.6) проверить легче, чем другие ти­ пы сходимости.

Эти два вида сходимости можно выбрать в качестве вторич­

критерий в одной задаче может быть состоятельным, в другой — нет. Достаточно эффективных критериев проверки состоятель­ ности в сложных задачах пока нет. Вопрос состоятельности критерия (метода) решения каждый раз требует специального исследования. Для проверки состоятельности можно использо­ вать обычные признаки сходимости рядов.

11.5. 2. Выбор алгоритма решения

Пусть имеется n-мерное множество {W} способов обработки измерительной информации, удовлетворяющих для рассматрива­ емой задачи условию состоятельности. Необходимо выбрать наиболее эффективный способ.

Эффективность каждого способа может быть охарактеризо­ вана:

—сходимостью вычислительного процесса;

—устойчивостью решения;

—точностью решения;

—необходимым объемом памяти ЭВМ;

—универсальностью алгоритма и некоторыми другими пока­ зателями.

Обозначим затраты на обеспечение требуемых характеристик 1Ка-го способа обработки измерений через аи , ..., ата, а суммар­ ный эффект — через са. В качестве суммарного эффекта могут выступать экономичность и надежность получаемых оценок. По

316

каждому виду затрат могут иметься какие-то ограничения. На­ пример, объем памяти ЭВМ ограничен количеством ячеек памя­ ти; точность решения ограничена разрядностью ЭВМ и т. д. Обо­ значим эти ограничения или ресурсы через ги гт. Таким обра­ зом, имеем следующую таблицу.

Введем индикатор того, что данный способ используется для решения задачи:

( 1, если Wa используется; Ун —|

( 0, если W a не используется.

Тогда набор индикаторов

Y = ( Y i , • • Yn),

принадлежащих множеству Г вида

1 0 . . 0 г = . 0 1 . . 0

+

0 0 . . 1

определяет множество планов. Если способ вычислений подраз­ делить на ряд элементарных операций и отразить это в табли­ це, то элементы множества Г будут определять факт использо­ вания и порядок операций. В данном случае элементы множе­ ства Г определяют только факт использования того или иного способа.

В-се множество возможных планов разобьем на два подмно­ жества:

— множество допустимых планов, удовлетворяющих условию

317