Файл: Алферов, С. А. Динамика зерноуборочного комбайна.pdf

§ 13. ПОЛУЧЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ МОДЕЛИ ПРИВОДА И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНОЙ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ

Изучение динамики сложных машин (многосвязных систем), снабженных системами автоматического управления (САУ) и регулирования (САР), представляет собой важную задачу, ана­ литическое решение которой возможно пока только в линейной форме.

Аналитические методы изучения динамики сложных сельско­ хозяйственных машин позволяют наметить общие пути решения таких вопросов, как динамическая точность поддержания выход­ ных координат систем, устойчивость их движения, поведение при случайных внешних возмущениях, рациональная структура си­ стем и др. Для механических систем с неголономными (дифферен­ циальными) связями использование аналитических методов было затруднено из-за сложности получения дифференциальных урав­ нений, отражающих большие движения таких систем, и необхо­ димости, как правило, последующей линеаризации этих уравне­ ний.

Основная трудность при анализе сложных сельскохозяйствен­ ных машин с неголономными связями — это разработка идеали­ зированной модели, воспроизводящей действительную систему. Необходима предварительная аналитическая или эксперимен­ тальная оценка различных факторов и свойств системы для вы­ бора только немногих главных факторов, определяющих поведе­ ние системы в заданных условиях. Движение сельскохозяйствен­ ной машины при этом можно представить как движение модели с ограниченным числом степеней свободы и, следовательно, обоб­ щенных выходных координат.

Таким образом, независимо от метода получения и вида перво­ начальных дифференциальных уравнений приходим к необхо­ димости создания линейной модели сложной машины, имеющей г выходов и, как правило, г входов. При этом динамика модели описывается г дифференциальными линейными уравнениями. Си­ стема дифференциальных уравнений позволяет найти передаточ­

ную матрицу модели, на основании которой находят динамические характеристики машины, оценивают устойчивость процессов и качество работы в данных условиях. Имея передаточную матрицу, можно оценить реакции зерноуборочного комбайна на воздействия в виде регулирующих сигналов и внешних возмущений.

Как было указано раньше, системы из 2г и г уравнений типа (III.81) и (III.82) описывают большие движения роторных орга­ нов сложных сельскохозяйственных машин, в частности, зерно­ уборочных комбайнов. Величины а уи Zj (/ = 1, 2, . . ., г) являются обобщенными координатами или выходами динамической системы. При анализе переходных процессов в приводах комбайнов пред­ ставляют интерес в основном изменения рабочих скоростей zjt определяющих качество технологического процесса машины. Поэтому, если считать для моделей приводов комбайна приведен­

Для аналитического исследования переходных процессов в ме­ ханической системе, описываемой уравнениями (III.82), эти урав­ нения необходимо линеаризовать, исходя из условия, что выход­ ные координаты zu z2, ■■-, zr получают малые приращения Azlt Az2, . . ., Azr, вызванные действующими на машину внешними возмущениями и регулирующими факторами со стороны органов управления. Для получения линеаризованных уравнений раз­ ложим все функции fj (/ = 1 , 2 , . . . , г) уравнений (III.82) в ряды по малым приращениям и учтем только линейные элементы при­ ращений. Таким образом, получим

тогда система линеаризованных уравнений (IV. 1) будет

dx1

Переходя к изображениям по Лапласу при нулевых началь­ ных условиях, получим в матричной форме следующую систему

р— комплексная переменная преобра- - зования.

Передаточная матрица Л с рангом г согласно системе уравне­ ний (ІѴ.З) имеет вид

Некоторые из коэффициентов п матрицы А могут быть равны нулю.

Обозначая матрицы-столбцы изображений выходных коорди­

На основании выражения (IV.6) изображения выходных ко­ ординат по Лапласу при известных изображениях внешних воз­ мущений будут

X = A~1-F, (IV.7)

где А~г — матрица обратного преобразования для динамической модели машины.

Для определения изображения какой-либо переменной, на­

где М 1г(р) — минор определителя D (р) передаточной матрицы А, получающийся при вычеркивании первого столбца и первой строки.

На основании принципа суперпозиции, применимого для вся­ кой линейной системы, найдем изображение функции х г (р) при действии на динамическую систему всех внешних возмуще­

Из выражения (IV.9) можно определить передаточные функ­

Передаточные функции W (р) зависят от параметров системы и действительны только при внешних возмущениях (р), огра­ ниченных по модулю. При этом условии данные передаточные функции характеризуют динамические свойства механической системы. Для динамических систем комбайнов, находящихся под действием периодических внешних возмущений, особое значение имеют частотные характеристики, определяющие характер коле­ баний выходных координат при задании на вход периодической функции.

Амплитудно-частотная характеристика А (со), показывающая изменение модуля одной из выходных координат в зависимости

фазо-частотная характеристика ср (со), определяющая фазу вы­

U (со) и V (і'со) — действительная и мнимая частотные харак­ теристики.

Теоретическое и экспериментальное определение амплитудночастотных и фазо-частотных характеристик динамических систем сельскохозяйственных машин позволяет разработать принци­ пиально новые методы выбора их рациональных параметров, оце­ нить качество работы в тех или иных условиях, обоснованно по­ дойти к расчетам на прочность и долговечность машин.

Общепринятыми динамическими характеристиками в области действительного переменного t являются реакции системы на еди­ ничную импульсную функцию (дельта-функцию или функцию

Соответствующие изображения для выходных координат будут

L \ Xl{t)\ = W{p)±- и L I kj (t)\= W {р)\,

где Xj- (t) — переходный процесс при единичном ступенчатом воз­ действии или переходная функция;

kj (t) — импульсная переходная функция,