Файл: Алферов, С. А. Динамика зерноуборочного комбайна.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 79

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Согласно

первому

уравнению

системы (IV. 103) выражение

*

 

I дХ у

равно

kAB

а согласно вто­

в скобках в

уравнении для 1-^-1

 

рому уравнению системы (IV. 103) выражение

в первых скобках

в уравнении

для

равно (Т3— ВкйTJ)

После замены

и подстановки уравнений (IV. 115) в выражение (IV. 114), а также

после преобразования

получим

 

 

 

 

 

 

 

kJ 1 - й 2 А

[ -

2(7’з — BkAx\)\

 

 

 

 

 

 

 

 

TjQ2

 

 

 

 

 

~Ь 2клВ%\

 

 

 

дАdB > 0 .

(IV. 116)

 

Выражение

 

> 0

согласно зависимости (IV. 109),

а

выражение

(Т 3 — BkAt j ) > 0

и з

условия

положительности

коэффициентов

в уравнении

(IV. 102). Таким

образом, первое

слагаемое

выражения

(IV. 116)

отрицательное.

Выражение

/

т2й 2

\

 

 

 

 

 

 

 

I — 1 Н----g— I <

0 согласно зависимости (IV. 109), следовательно,

и второе слагаемое

выражения

(IV. 116)

меньше

нуля.

 

Для

обеспечения

критерия

(IV. 114)

необходимо

соблюдение

условия

 

 

0. Согласно

рис. 55, в это условие

будет

соблю-

даться

при'

оо

— > 1 ,4 1 .

На рис. 57, а и б

ветви

кривых

А

(Т3)

 

А

1,41 со сходящимися стрелками соответ­

— = /

при —

ствуют

 

устойчивым

периодическим решениям, т. е. автоколеба-

ниям,

а

ветви при

А

 

 

 

 

стрелками

1 sg — << 1,41 с расходящимися

соответствуют неустойчивым режимам. При значениях параметра Т 3 > 2,05 сек и Т 3 > 3,33 сек (см. рис. 57, б) соответственно для зон нечувствительности а = 0,25 (0,5 кгісек) и а = 0,15 (0,3 кгісек) нелинейная САР будет всегда находиться в области устойчивости. Следовательно, предельным значениям параметра Т 3, находя­ щимся на границе области устойчивости, соответствуют периоди­ ческие решения данной нелинейной САР с амплитудой А = 1,41а.

Из графика изменения коэффициента гармонической линеари­ зации (см. рис. 55, в) для данной нелинейности видно, что при А = 1,41а кривая В (А) имеет максимум. На основании этого можно рекомендовать следующий метод для построения областей устойчивости в плоскости действительных параметров нелиней­ ной САР.

1. Для вычисления области устойчивости в плоскости двух действительных параметров, например кл и Т 2, необходимо при

заданных неизменных значениях Т4 и т х найти последовательным приближением из выражений (IV. 106) и (IV. 108) величину

 

 

Q2 =

Й2 (Г2).

 

 

2.

Из выражения

(IV. 110)

находим

предельное

значение па-

 

д

1,41:

 

 

 

 

раметра kA при — =

 

 

 

 

 

 

кл =

 

 

,

(IV.117)

 

 

“ • К

1 _ w

 

 

где

С (Г2) — функция Т 2 при

данном

значении

Q2.— й 2 (Т2)

 

 

С(Г2) ^

-

(- 2±Qтт-У .

(IV. 118)

Аналогично можно построить область устойчивости в пло­ скости двух действительных параметров тх и Т 3 при неизменных Т 2, Т4, кл. Функция Т 3 = Т3 (T J ), и с х о д я и з выражения (IV. ПО), будет

4kjth0 ”|/" l — -]Д)2

 

C(TJ) ал -1,41

(IV. 119)

 

 

где

С (тх) — функция параметра тх,

вычисляемая по формуле

 

(IV. 118).

 

 

 

 

На рис. 56, в и г даны области устойчивости в плоскостях па­

раметров соответственно kA;

Т г и тх;

Т 3 для

нелинейной САР.

kj,\

Сравнивая область устойчивости на

рис. 56, в в координатах

Т 2 с подобной областью в

координатах k0\

Т г для линейной

САР (см. рис. 52, б), отмечаем их полную аналогию. Из рис. 56, в видно, что в отличие от линейной рассматриваемая нелинейная САР при Г 2 = 0 может быть вполне устойчива. С уменьшением зоны нечувствительности а, как видно из рис. 56, в, уменьшается область устойчивости нелинейной САР по параметру kA. Рост ве­ личины запаздывания т х в САР (рис. 56, г) приводит к резкому увеличению параметра Т 3 и, следовательно, к снижению общего коэффициента усиления системы и точности регулирования. Уменьшение параметра Т3 возможно за счет увеличения зоны нечувствительности а, т. е. снижения точности регулирования.

Такие области устойчивости можно построить в плоскостях других действительных параметров САР. Данный анализ имеет большое значение для проверки выбора рациональных пара­ метров подобных нелинейных САР.

Оценка качества симметричных колебательных переходных процессов в нелинейной САР. Рассмотрим колебательный пере­ ходный процесс для области устойчивого равновесия нелинейной САР, т. е. для области, где комплексные сопряженные корни харак­

теристического уравнения р Ь2 = е ± і со. Так как при затухании колебаний меняется коэффициент гармонической линеаризации В , зависящий от амплитуды А, и, следовательно, общий коэффициент усиления САР, а также и значения корней р ь 2,'то эти колебания имеют плавно переменные частоту w и коэффициент затухания е, зависящие функционально от А.

Считаем, что в нелинейной САР переходный процесс х (t) на конечном отрезке времени приблизительно описывается вы­ ражением

X (t) = А sin (ф + ф0),

(IV. 120)

где А = A (t) — функция времени, определяемая из дифферен­ циального уравнения

dA = Ае (А) dt,

(IV. 121)

ф = ф (t) — функция времени t, определяемая из дифферен­ циального уравнения

гіф = со (А) dt.

(IV. 122)

Учитывая, что « (А) при подстановке А — А (t) из выраже­ ния (IV. 121) становится ш = w (t), получаем

йф = со (t) dt или ф = j со (t) dt.

Для определения переменных значений е = е (А) и со = со (А) пары комплексных корней р 12 подставим в левую часть характе­ ристического уравнения (IV. 102) для нелинейной САР значение р = е + iw, тогда получим

X (В, е, со) + iY {В, е, со) = 0.

(IV. 123)

Система из двух уравнений при известных параметрах САР позволяет найти величины 8 (А) и а> (А), если зависимость В = В (А) задана на основании вида нелинейности:

X (В, 8, со) = 0;

(IV. 124)

Y (В, г, w) = 0.

Уравнения (IV. 124) для данной нелинейной САР следующие:

X = M s3 A- Ne2 + L e — 3w2eM — w%N +

клВ = 0;

(IV. 125)

Y = w (3Me2 + 2Ne + L) — w3M =

0,

 

kßx?

 

kßx\

 

где M = T 2T^.,Ti4 -----З Г -;

N = T3(T2 + Ti) + ^ I 1 ; L = Г , —

— kABxv

 

 

 

Из второго уравнения

системы (IV. 125)

получим

 

<о2 =

382 + 2 е 4 + 1

'

(IV. 126)

 

м

 

Из первого уравнения системы (IV. 125) в развернутом виде имеем

В

Т2Т3ТІ (е3 — Зеоэ2) Т3 (Т2+ Tt) (е2 - « 2) +

Т3е

(IVЛ27)

А3! (е3- Зеш2) — — (е2 — <и2) — ( 1 — ет)

 

 

 

 

Полагая в формулах (IV. 126) и (IV. 127) е = 0, получаем вы­ веденные ранее уравнения (IV. 104) и (IV. 105) для определения частоты fi и амплитуды А автоколебаний. Построим на плоскости

— ; кл линии е = const и © = const, пользуясь выражениями

(IV. 126) и (IV. 127). Для ускорения построения этого графика, т. е. для выбора соответствующих значений е и со, на основании характе­ ристического уравнения (IV. 101) построим корневой годограф, являющийся траекторией, описываемой корнями уравнения (IV. 101) на комплексной плоскости при плавном изменении, напри­ мер, общего коэффициента усиления k0 от 0 до оо. Из уравнения

(IV. 101) видно,

что

k0 =

Для

каждого значения

k0 при

данном

тх корни

уравнения

(IV. 101)

вычисляем,

например, ме­

тодом

итераций

[9].

Основные черты

характера

или

качества

переходных процессов при анализе корневых годографов видны

без

дополнительных

расчетов.

 

 

годограф для харектеристи-

 

На рис. 58, а приведен корневой

ческого уравнения

(IV. 101),

построенный

согласно

методике

Э. Г. Удермана [33] при тх =

0,

а также

по значениям корней,

полученных

методом

итераций,

при

т х =

0,5

сек и

т — 1

сек.

Из

корневых

годографов на

рис. 58, а

видно

следующее:

ли­

 

1. Корни

характеристического уравнения

гармонически

неаризованной системы с запаздыванием тх Ф 0 являются непре­ рывными функциями (в области в <j 0) параметров системы, в ча­

стности

коэффициента

усиления

k0.

сек с увеличением коэффи­

 

2. В нелинейной САР при тх = 1

циента

k0 до

предельного значения

k0 — 1,0 появляются

два

чисто

мнимых

корня

©1; г =

±/0,86

Нсек,

соответствующих

ча­

стоте

автоколебаний fi, так как при этом е — 0.

1 сек су­

 

3.

Значения

величины

е в

области е < 0 для т х =

ществуют при

 

0 s ^ £ o <C.l.

для устойчивых систем в области

г <

4.

Значения величин е й ©

0 ,

 

необходимые при анализе качества переходных процессов

в диапазоне 0 ^

k0 ^

1,

хорошо видны

из

корневого

годографа

на

рис. 58, а.

Изменения

величин

е и

© в

области

е > 0

для

k0> 1,0 при исследовании устойчивых систем практически не

нужны.

 

корневого годографа для

тх = 1 сек получены

На основании

значения

корней

при различном k 0 (табл.

6).

Из выражения

(IV. 126) видно, что при постоянных параметрах

CAP Т 2,

Т 3, Tit

т х величина ©2 = const при условии е = const

и клВ — const

или k0= 13 = const.

Таким

образом,

для каж-

дого значения

k0 = const величины

е и ш

будут

постоянные

при неизменных основных параметрах САР. Для построения кривых — = / (£Л) воспользуемся выражениями (IV.89) и

ß(A) = ^ - .

(IV. 128)

Кл

ІЬ)

Рис. 58. Корневой годограф САР постоянства подачи на плос­ кости р и график переходного процесса в нелинейной САР

График В (А), построенный на рис. 59, б, позволяет, опреде­

лив для варьируемого значения kAвеличину В (А) по уравнению

д

(IV. 128), найти значения — , соответствующее вычисленному зна­

чению В (А). Эти вычисления повторяют для заданных значений k0 = 1; 0,8; 0,65, которым соответствуют определенные значения в = 0; —0,344; —0,5 Мсек и и = 0,86; 0,446; 0 Мсек (соответ-

208

ственно кривые 1, 2 и 3 на рис. 59, а). При изменении амплитуд,

например,

по линии

RS

(рис. 59, а) можно построить теперь за­

висимости

е =

е (Л)

и

со

= со (Л)

(рис. 59, б). Пусть согласно

графику

на рис. 59, в е =

е0 +

 

 

 

Т а б л и ц а 6

+ Ь — , где Ь <

0. Тогда, при­

Значения корней при различном

нимая — = Ь0 и пользуясь вы­

 

коэффициенте усиления

сГ

 

Коэффициент kQ

ражением

(IV. 121), получим

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о.

 

 

 

 

 

ИЛ

 

 

 

 

 

о

0

0,8

 

1.0

 

 

dt.

(IV. 129)

х

 

■4 (ео +

М

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п 1 -0 ,3 4 4 +

 

 

Интегрируя

 

зависимость

Рі

 

+(0,86

 

и

1 -+ (0,446

 

 

 

 

(IV. 129),

имеем

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рг

—2,13

—0,344—

' —(0,86

 

 

 

 

 

 

 

 

—Ю,446

 

или

 

 

 

 

■г0і + С,

 

 

 

 

—N

In Л—In (е„ + Ь0А)

Рі

—2,88

—7,35

 

при 1N 1>

где при

 

t = 0

С

In Л о —

 

 

 

 

> 7,35

■— In (е0 +

ЬйА 0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\ и

I

и

V/

изменение амплитуды во

времени

 

будет

Окончательно

 

Рис. 59. Диаграмма качества затухания нелинейного переходного процесса

Смотрите также файлы