Г л а в а V. |
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА |
|
КОМБАЙНА |
Динамическая точность поддержания кинематического режима рабочих органов комбайна и динамическая точность технологиче ского процесса, выполняемого машиной, являются в первом при ближении функцией разности Ат между заданной топт и факти ческой секундной подачей хлебной массы в каждый данный мо мент времени т (t):
Ат = топт— т (t),
Динамическая точность в системе комбайна с автоматическим регулятором постоянства подачи хлебной массы, обеспечива ющим Ат —>0, будет, очевидно, выше, чем без регулятора. Объек тивный анализ динамической точности, однако, возможен только при статистическом изучении возмущающих воздействий, явля ющихся случайными функциями времени и имеющих непрерывный спектр частот со от 0 до оо. Динамическая система комбайна должна иметь наилучшие характеристики в наиболее вероятных условиях работы, которые должны быть изучены. Применяемый в данной работе анализ динамики системы при действии на нее стационар ных случайных внешних возмущений является важным дополне нием к анализу динамики системы при действии заданных внешних возмущений. Этот анализ разработан в ряде работ [9, 32, 20, 28 ] на основе спектральной теории случайных процессов, предложен ной А. Я- Хинчиным.
Стационарный случайный (стохастический) процесс, удовлетво ряющий условиям эргодичности, может быть изучен на любой из многих одинаковых динамических систем.
Для стационарного случайного процесса х (t) математическое ожидание т 0 постоянно и равно среднему по совокупности или по
времени: |
со |
Т |
|
|
|
m0= |
J |
xw (х) dx = jx{t)dt = |
const, |
(V.l) |
|
|
— со |
— 7* |
|
|
где |
X — значение функции; |
|
пределах |
|
w (x) — вероятность нахождения величиных в |
|
хч-(х + |
dx); |
|
|
|
2Т — интервал времени, в котором изучается функция x (t). |
Для центрированной функции х (t), т. е. при т 0 — 0, авто корреляционную функцию R (т), являющуюся математическим ожиданием произведения значений случайной функции для двух моментов времени tx и t2, находим из выражения
г |
|
R{r) = - ~ j x(t)x(t ^ x ) d t, |
(V.2) |
—г |
|
где т = ii — t 2.
Вывод выражения для определения функции R (т) дан В. В. Со-
лодовниковым |
[32]: |
|
|
|
|
|
В Д |
= Я(рД) = дгЦ - |
£ лсѵ*ѵ+ц. |
(Ѵ.З) |
|
|
ІѴ |
Г |
V = 1 |
|
где N — число |
выбранных точек |
на |
кривой х (/); |
|
р = (здесь А — шаг интегрирования в сек);
V — выбранная точка; ѵ = 1, 2, . . N — р. Нормированная автокорреляционная функция
Нормированная автокорреляционная функция для изменения подачи хлебной массы Am (t) — х (/) в общем случае имеет вид
|
|
г (т) = |
£ |
1т 1cos А,гт 4 - |
£ |
1т 1, |
(V.4) |
|
Л |
|
Л |
і=і |
|
(=і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где £ Л ,- |- |
S Bt = |
1; |
|
|
|
|
t= î |
|
/—1 |
|
|
|
|
|
|
a, |
À, у — постоянные величины. |
|
|
|
|
Функции вида (V.4) получены при анализе данных лабораторно |
полевых |
испытаний |
комбайнов. |
|
|
|
функции |
Отметим |
основные свойства автокорреляционной |
R (г). |
Для |
стационарного случайного |
процесса | |
(т) (т-х» = О |
I R (т) |х->0— х2, где X 2 — дисперсия данной функции. Спектраль |
ная плотность S (со), используемая далее при |
анализе |
динамики |
комбайна, определяется как преобразование Фурье |
для |
корреля |
ционной |
функции |
R (т): |
|
|
|
|
|
|
5 («) = |
СОJ |
R (т) е~Шх dx = 2 Jсо |
R (т) cos шт dr. |
(V.5) ' |
|
|
|
— со |
О |
|
|
|
|
Косинус— преобразование для величины 5 (ю) представляет собой корреляционную функцию R (т):
со
R.(т) = — J S (со) cos то» da>,
о
при т = О |
1 |
со |
|
/ ? ( 0 ) = 4 | S (со)d(ù = X2- |
(V.6) |
о |
|
Таким образом, площадь, ограниченная кривой S (со) и осью о, |
пропорциональна дисперсии х 2 случайной величины x |
{t). |
Найдем корреляционную функцию Rx (t) и спектральную плот |
ность Sx (со) выходной координаты х (t) при действии |
возмуще |
ния т (t) для линейной динамической системы с импульсной пере ходной функцией k (f) и передаточной функцией W (р).
Для этого найдем сначала переходный процесс на выходе си
стемы согласно интегралу |
Дюамеля: |
|
|
со |
|
X (0 = |
j т (t — I) k (I) dl, |
(V.7) |
тогда
|
СО |
СО |
I |
Rx(т) = |
lim f dl |
( dr\k (ц) k (X) I~ |
|
Ьсо Jco |
J œ |
( гІ |
После |
преобразований |
|
т
J m (t -f- т — т])tri {t -—
—T
(V.8)
Rx (T ) = соJ dl соJ k (r)) k (l) Rm (T + l — t)) dï).
Если 5 (о) = J Rx (т) е~Шх dx, то
—CO |
|
S* (со) = I W (m) I2 Sm (со). |
(V.9) |
Следовательно, спектральная плотность Sx (ю) выходного сигнала х (t) равна произведению квадрата модуля функции W (ш) на спектральную плотность Sm(co) внешнего возмущения m (t).
§ 18. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДИНАМИКИ КОМБАЙНА С ЛИНЕЙНОЙ САР ПОСТОЯНСТВА ПОДАЧИ ХЛЕБНОЙ МАССЫ
В общем случае динамическая система комбайна находится под действием нескольких стационарных случайных воздействий fx, fu, fy и т. д. (см. рис. 60, а и б).
Рассмотрим изменения выходной координаты х (t) — угловой скорости молотильного барабана под действием величин fx и На основании интегральной свертки (интеграла Дюамеля) имеем
00 |
со |
X (і) = J kxm (t — l ) k (l) dl + |
j kum (t — l) l (l) dl, (V.10) |
где k (X) и / (Л) — импульсные переходные функции для коорди наты X, соответствующие воздействиям 'fx и fu,
со
|
|
|
|
*(Ь) = - ^ |
J Wxx(m )e ^d t- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J Wxu(гео) еШ (ко. |
|
|
|
При |
этом |
воздействие |
на |
молотильный |
барабан |
fx (t) = |
= т (i) |
kx, а воздействие на вал |
контрпривода fu (t) = |
т (t) ku. |
Найдем автокорреляционную |
функцию |
Rx (т) |
для |
процесса |
X (t), |
пользуясь выражением |
(Ѵ.2) [32]. Подставляя в выраже |
ние |
(Ѵ.2) |
значение х |
(t) из формулы (V.10), |
получаем |
|
Rx (г) = |
|
|
I |
UL? |
|
|
|
UJ |
|
|
lim |
j |
dt J kxm (t + |
т — ц) k (т]) dr] |
j |
kxm (t — À) X |
|
|
Т-+ со 2Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
CO |
|
|
CO |
|
|
|
|
X k(k)dX |
J |
dt J |
kum (t + |
T — г]) l (T]) dr\ j |
kum (t — X) l (X) dX |
|
|
|
—T |
— CO |
|
|
— CO |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
CO |
|
|
|
|
|
+ |
f |
dt f |
kxm (t -]- T — rj) k (r)) dr] f kum (t — X) l (À) dX -j- |
(V.ll)
Отсюда с учетом зависимостей (V.7) и (V.8) имеем
Rx (т) = |
j |
dX j [k {X) klRm (T + X— T)) k (r|) + |
|
— со |
— CO |
|
-f kl l (Я) Rm (т + |
X— T]) / (rj) + / (X) Rm(т + X — t]) k (TJ) kukx -f |
■f k {X) Rm(T + к — л)1(л) kuK] dr], |
(V. 12) |
Умножая обе части выражения (V. 12) иа-е~Шх и интегрируя по т от —оо до оо, получаем выражение для спектральной плот ности Sx (ю) выходного сигнала:
|
Sx (“ ) = I WX X (tco) I2 Sm (м) kl + I |
Wxu (ко) |2 S,n (Oj) kl -f |
+ |
w xx’ (/0)> Sm(®) Wxu (m) kxku + WX X (ko) Sm(со)W*xu (tco) kxku, (V. 13) |
где |
S m (со) — преобразование Фурье для корреляционной функ |
|
ции Rm (т), выполняемое по формуле (V.5); |
|
W (со) — передаточные функции |
[см. выражение (IV.21)]. |
Аналогичным образом получаем выражение для спектральной плотности S u (со) выходной координаты и — угловой скорости вала контрпривода:
Su (со) - I Wuu (ICO) I2 Sm(со) kl + I Wux(ICO) j2Sm(со) kl +
+ W*uu(ico) Sm (со) Wux (tco) kukx + Wàu (tco) Sm(со)W*ux (too) kukx. (V. 14)#
Рассмотрим |
в |
выражении |
для |
Sx (со) |
функции |
W*xx (tco), |
Wxx (ico), |
Wxu (tco) |
и |
*W*XU(с®). |
При |
|
Wxx (tco) |
== a + iß |
W*xx (ico) = a — iß; |
|
при |
Wxa (ico) = |
y + |
iô |
(tco) = y — iô. |
Рассмотрим выражения (см. рис. 65, ô): |
|
|
|
Wxl (ico) = |
W*xx (ico) Wxu(ico) + Wxx (tco) W*xu (tco), |
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ 1 |
(ico) = |
(a — tß) (y + |
iô) + |
(a + |
iß) (y — iô) = |
|
|
|
|
|
|
= 2 (ay + |
ßö). |
|
|
|
|
Аналогично |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wut (ico) = wlu (ico) |
(ico) + |
Wuu (ico) ÏF L (ico) = 2 (ay* + ß ö'). |
При |
Wuu (ico) = |
|
a* + |
iß |
(ico) =ce |
— iß ; |
|
при Wux (ico) |
= |
y' + |
iô |
(ico) = |
y |
— iô • |
|
После преобразований спектральные плотности Sx (со) и S u (со) |
выходных координат х и и будут |
|
|
|
|
|
Sx (со) = |
Sm(со) |
[| Wхх (ico) I kx -j- ] Wхи (ico) I |
ku |
2kxku(ccy -j- ßö)], |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(V.15) |
Su (CO) = Sm (со) [| Wuu (ico) I2kl + i Wux (ico) I2 kl + 2kxku (aV + ß'ö')].
(V. 16)
При работе комбайна СК-4 с автоматическим регулятором постоянства подачи хлебной массы в молотилку (см. рис. 60, б) спектральная плотность
Sm (со) = SM(со) \ Ф (ico) I2, |
(V. 17) |
где SM(со) — спектральная плотность входного сигнала, дей ствующего на вход САР постоянства подачи, определяемая неравномерностью урожайности на поле и подачи хлебной массы в молотилку;
] Ф (tco) I — амплитудно-частотная характеристика замкнутой системы автоматического регулирования постоян ства подачи хлебной массы для координаты Атх.
