Файл: Эксплуатационная надежность сельскохозяйственных машин..pdf

fcyM= 100 + 1900 + 700 + 1300 + 1200 -f 800 +

+ 14 ■2000 = 34000 ч;

tf — определяется из уравнения е 11300 = 0,8.

Имеем tf. =2540 ч.

Как видим, гамма-процентный ресурс увеличился на

оценки существенно зависят от числа опытных данных в рассматриваемой выборке и только при бесконечном их числе выборочные характеристики совпадают с гене­ ральными.

Рис. И . Закон распреде­ ления точечной оценки.

Оценка точности выборочных характеристик произво­ дится е помощью доверительных интервалов и довери­ тельных вероятностей.

В общем случае задача о доверительных вероятно­ стях и доверительных интервалах решается следующим образом. Из теоретических соображений или из опыта определяется закон распределения точечной оценки Тср (рис. 11). Отсекая от нижней и верхней границы значе-

60

Интервал Г2. ср — Т\,ср=2Е$ называют доверительным интервалом, а вероятность р — доверительной вероят­ ностью. Можно записать иначе:

из-за случайности опытной величины Тср< В машинострое­ нии обычно принимают доверительную вероятность Р=0,9. Доверительный интервал 2Е$ по заданному значению р определяется однозначно при известном за­ коне распределения выборочной характеристики Гср> Определим интервальные оценки для принятых выше по­ казателей надежности сельскохозяйственных машин: среднего времени безотказной работы (Тср), средней на­ работки на отказ (Гср> о), среднего времени восстановле­ ния (Тср> р) вероятности безотказной работы R(t), коэф­ фициента готовности Кт.

Первые три показателя в части точности оценок однотипны, их точность определяется как точность сред­ неарифметической величины.

Из второй группы предельных теорем известно, что сумма N достаточно большого числа независимых оди­ наково распределенных случайных величин имеет рас­

выражении средних времен не изменяет нормальности закона. Следо-вательно, точечные оценки указанных выше показателей надежности распределены по нор­ мальному закону. Нормальный закон характеризуется средним значением (математическим ожиданием) слу­ чайной величины и ее дисперсией.

Воспользовавшись теоремой о том, что математиче­ ское ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий, а дисперсия суммы равна сумме дисперсий (II.12], получим

61

г N

Этот результат имеет большое практическое значе­ ние. Он показывает, что поскольку всегда N* больше единицы, то рассеивание средних характеристик сущест­ венно меньше чем исходных. Поэтому, как правило, в ка­ честве (показателей вводят средние значения величин, что позволяет повысить их стабильность.

Пользуясь полученным результатом, можно выраже­ ние для доверительной вероятности р записать в сле­ дующем виде

G'J’

ср

Полученный интеграл можно представить как раз­ ность табулированных интегралов F0(z):

Здесь N — число перемонтируемых изделий, либо число отрез­ ков времени безотказной работы N 0 числа ремонтируемых изделий.

62

упрощает вычисления. Коэффициент Ц показывает в долях сггср ширину доверительного интервала (рис. 11).

При

Р = 99,7% — Д? = 3<т(гср).

Для

Р = 80% —Ц = 1,28; Р - 9 0 % —^ = 1,64.

Таким образом найдены доверительные границы для среднего времени, то есть такие границы, в которых с вероятностью (5 лежит данная точечная оценка. В этой формуле полагалось, что теоретическая дисперсия Dt известна. Как правило, она не известна и ее вычисляют по эмпирическим данным с помощью формулы (3.30). В этом случае вместо квантилей нормального распреде­ ления пользуются таблицами распределения Стьюдента [II.6], где по доверительной вероятности р и числу степе­ ней свободы N—1 находят величину^. При N> 15+ 20 ошибка не превышает 5%. Более точные таблицы [II. 12] учитывают также и тот факт, что имеет место отклоне­ ние от нормального закона для суммы случайных вели­ чин при небольшом числе слагаемых.

Следующим показателем надежности является ве­ роятность безотказной работы. Оценим ее точность. Эта

63

задача близко примыкает к уже рассмотренной. Вероят­ ность безотказной работы может рассматриваться как среднее арифметическое значение наблюдаемой величи­ ны tii (число отказов в интервале ^-г(^ + Л0> которая в каждом опыте принимает значение 0, если отказ про­ изошел, или 1, если отказ не произошел,

бых значений R и N верхняя и нижняя граница вероят­ ности безотказной работы определяются по разработан­ ным таблицам [1.3].

Отметим, что построив RMaH{t) и RM3KC(t) можно, за­ давшись определенной вероятностью у, графически опре­ делить доверительные границы для у-процентного ресур­ са (рис. 12).

Представляет интерес сравнить точность, обеспечи-' ваемую при вычислении среднего значения и вероятности безотказной работы. Введем относительную ошибку среднего

64