Файл: Эксплуатационная надежность сельскохозяйственных машин..pdf

где N l — число изделий исправных к моменту

Можно по эмпирическим данным, заменив интегралы (3.3) и (3.5) суммами, определить такие показатели, как среднее время безотказной работы изделия:

N

Показатели, специфичные для ремонтируемых изде­ лий, определяются по эмпирическим данным с помощью следующих очевидных зависимостей.

Параметр потока отказов

At — ti+i — tt.

Отметим, что для ремонтируемых изделий число отка­ зов nt может быть больше числа изделий N0.

Среднее значение параметра потока отказов равно

АсР = > (3-32)

г=1

где п0 — суммарное число отказов по всем изделиям;

П0

2 ti — суммарная наработка всех изделий. i=i

* В математической статистике [11.12] доказывается, что при ма­ лом N более точная оценка дисперсии имеет место при делении на N—1, а не на N.

48

Средняя наработка на отказ равна

«о 2*i

Т’сР . о = ^ г - . (3.33) "О

По аналогии среднее значение параметра потока вос­ становлений и среднее время ремонта будут равны

В практических задачах теории надежности зачастую требуется не только определить показатели надежности, но и установить вид теоретического закона распределе­ ния, поскольку он, как было выше показано, характери­ зует определенную модель отказа. Кроме того, опреде­ ление теоретического закона распределения позволяет «выравнять» эмпирическое распределение, построенное по ограниченному числу экспериментальных данных. Другими словами, «выравнивание» позволяет получить генеральные характеристики без увеличения объема экспериментальных исследований и, тем самым, более точно определить показатели надежности (гамма-про­ центный ресурс, вероятность безотказной работы и т. д.).

Рассмотрим методы определения параметров теоре­ тической плотности распределения по эмпирическим дан­ ным. Существует ряд методов [11.12]. Наиболее простой состоит в следующем. По внешнему виду графика эмпи­ рической плотности распределения в соответствии с графическим изображением тёоретической зависимости, приведенной в табл. 3.6, задаются определенным зако­ ном*.

* Пригодность того или иного теоретического распределения мо­ жет быть также проверена с помощью ииже описанной вероятност­ ной бумаги.

49

Для экспоненциального однопараметрического рас­ пределения необходимо определить один параметр X. Как следует из табл. 3.6,

ментальным данным значения 7 ср и a—VD* принима­

ются равными соответствующим параметрам Г и о тео­ ретической плотности распределения времени безотказ­ ной работы.

Для определения параметров закона Вейбулла нахо­ дится коэффициент вариации по эмпирическим данным и приравнивается теоретическому значению

(3.37)

Отсюда подбором определяется один параметр зако­ на Вейбулла Ь, а второй параметр t0 теперь определяет­ ся легко из соотношения

r(i + ‘)

Имея параметры теоретического распределения, рас­ считывают вероятность отказа по формуле

F(t) = 1- R(t),

где R(t) берется из табл. 3.6 для соответствующего за­ кона, и наносят ее значения на графики, полученные эмпирическим путем, а затем оценивают близость зако­

50

нов, тем самым проверяют принятый сперва без доказа­ тельства теоретический закон распределения.

Близость законов определяется величиной Хм (кри­ терий Колмогорова), равной максимальной, по абсолют­ ной величине, разности

умноженной на ] / N, где N — число изделий (или общий объем выборки).

Если Ля^1,0, то говорят о хорошем согласии между эмпирическим и теоретическим законом распределения.

Более точно оценка выполняется по функции вероят­ ности Р(ХN).

При P(XN) >0,3—0,4 —согласие хорошее.

До сих пор рассматривалась полная выборка. Часто при испытаниях приходится встречаться с так называе­ мыми усеченными выборками. Усеченную выборку полу­ чают например в такой ситуации: поставлены на испы­ тания N неремонтируемых изделий; из них за время ia отказало т изделий при наработках tu t% ...tm; для остальных N—т объектов наработки неизвестны, извест­ но лишь, что все они больше чем t а. Усеченные выборки могут быть и при оценке ремонтируемых изделий.

■ Если испытывается No изделий в течение времени ta и отказало из них то, при этом общее число отказов было По, то рассматривая время между отказами как время безотказной работы, можно условно считать, что испытывалось n0+No—т0 элементов, из которых N0—т0

не отказало, и их наработка не менее чем / ta• То есть, как видим, задача аналогична предыдущей. Для усечен­ ной выборки нельзя определить параметры распределе­ ния Гср и ot по формулам (3.3) и (3.5). В этом случае поступают следующим образом. Вычисляют вероятности

где ka — число интервалов At на отрезке времени 0—t а-

Затем находят преобразование, которое переводит вы­ ражение предполагаемого теоретического распределения в уравнение прямой. С помощью этого преобразования пересчитывают эмпирические значения F(ti) в новые координаты. Если пересчитанные точки F(tг) хорошо укладываются на прямую, то следовательно вид теоре­ тического распределения принят правильно. После этого определяют параметры найденной прямой. Их два: угол наклона и отрезок на оси ординат, отсекаемый прямой. По значениям этих параметров определяют два парамет­ ра теоретического распределения.

Покажем метод на примере трех законов, приведен­ ных в табл. 3.6.

Экспоненциальное распределение

у= k-t.

Спомощью выполненного преобразования удалось получить уравнение прямой, которая проходит через на­ чало координат, так как экспоненциальное распределе­ ние однопараметрическое. Тангенс угла наклона прямой, проведенной по эмпирическим точкам через начало ко­

ординат так, чтобы под линией и над ней находилось примерно одинаковое число точек, определяет параметр закона X.

Для удобства расчетов используют так называемую вероятностную бумагу (рис. 8). В этом случае пара­ метр X определяется по формуле

Пример 1. Дан ряд'распределений случайной .величины, характеризующий наработку до отказа гусеничного трактора. Проверить на экспоненциальный закон и оп­ ределить параметр распределения.

52