Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА IV

и их произведение минус < 1-е будет кубом. Затем это про­ изведение минус) 2-е дает 8а:3 -)- 8а; — х2 — 1. Это должно равняться кубу, что невозможно 1).

Опять положу одно число равным кубическому коли­

Так как произведение чисел вместе с суммой образует куб, то пусть этот куб будет 64. Затем, так как их про­ изведение без суммы образует <куб, то пусть этот куб бу­ дет) 8. Следовательно, удвоенная сумма [этих чисел], равная разности [этих кубов], будет 56, т. е. сумма равна 28. Но произведение этих чисел вместе с их суммой равно 64; следовательно, их произведение будет остатком, рав­ ным 36. Теперь мне приходится найти два числа таких, что

решена. Но 160 представляет разность между 196 и 36. А 196 есть квадрат 14, и 14 представляет половину 28. Та­

а 36 — это половина суммы этих кубов. Таким образом, я пришел к тому, чтобы найти два куба, четверть разности которых, будучи умножена на самое себя, без половины

Я . Татіери.)

109

Д и о ф а н т

1Ѵ2 а:2 -f- Ѵ2. Умножение ее на самое себя дает

г 1 / * * 4 + I V , * а + Ѵ 4 .

Если из этого я вычту полусумму кубов, равную а:3 + За:, то в остатке получится

Прибавим к обеим частям недостающие и отбросим подоб­ ные члены, остается

32а3 = 36а2,

иа получается равным 9/8.

Кподстановкам. Я построил кубы на сторонах: один на а + 1, а другой на а — 1, и стороны будут 17, а дру­ гая 1 [восьмых долей], а сами кубы — один 4913/512, а другой 1/512.

Явозвращаюсь к начальной задаче и ищу, чтобы про­ изведение этих чисел вместе с суммой давало куб 4913/512, а без суммы куб 1/512. Так как произведение вместе с суммой дает куб 4913/512, а произведение минус сумма дает куб 1/512, то удвоенная сумма будет равна разности того и другого 4912/512, так что сумма будет 2456/512. Но произведение их вместе с суммой равно 4913/512, где сумма 2456/512, значит, произведение равно 2457/512. Это уже было показано в первой книге, а теперь будет показано ради самой задачи.

Положим 1-е число равным х плюс полусумма обоих, т. е. 1228/512; тогда 2-е число будет 1228/512 — х, и сумма равна 2456/512; произведение же равно

1507984 2 2457

262144 Х" ~~ 512 '

110

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА IV

Умножим все на знаменатель, т. е. 262144, и из подобных вычтем подобные; получится 262144а:2 = 250000; и х равен 500/512.

Кподстановкам. 1-е число будет 1728/512, а 2-е 728/512,

идоказательство очевидно.

И н а ч е . Найти два числа таких, чтобы их произве­ дение после прибавления или вычитания их суммы было кубом.

В подобных задачах всякое квадратное число, разло­ женное на сторону и остаток, образует [два числа], про­ изведение которых, сложенное с суммой, будет кубом. Действительно, возьмем квадрат z3 и разложим его на [две части]: сторону и остаток. Они будут z и z2 — х, и их произведение, сложенное с суммой, будет кубом.

Остается [сделать], чтобы их произведение минус сум­ ма давало куб. Но их произведение без суммы будет х3 — —2z2; это будет равняться кубу, меньшему, чем z3. Я обра-

1 в

зую -gZ3 и множу все на 8. Получится

8z3 — 16z2 - z3;

иz получается равным 16/7.

Кподстановкам. 1-е число будет 16/7, 2-е 144/49.

29*. Найти четыре (квадратных) числа, сумма которых, сложенная с суммой из сторон, давала бы заданное число.

Пусть это число будет 12.

Всякий квадрат, сложенный с собственной стороной и одной четвертью, дает квадрат, сторона которого минус Ѵ2 образует некоторое число, являющееся стороной пер­ воначального квадрата; следовательно, четыре [искомых] числа, сложенные с собственными сторонами, равняются 12, а с прибавлением четырех четвертей образуют четыре квадрата. Но 12, сложенное с четырьмя четвертями (т. е. 1), дают 13. Это 13 надо разделить на четыре квадрата: если из стороны каждого я вычту Ѵ2, то получу стороны искомых четырех квадратов.

Разложим 13 на два квадрата 4 и 9, а затем каждый из них разложим на два квадрата: один на 64/25 и 36/25, а другой на 144/25 и 81/25. Взяв теперь стороны каждого 8/5, <6/5; 12/5), 9/5, вычту из каждой по 1/2; это и будут

111

Д И О Ф А Н Т

30. Найти четыре квадрата, сумма которых минус сумма их сторон давала бы заданное число.

Пусть это число будет 4.

Так как нужно, чтобы 1-й [квадрат] без своей стороны и 2-й без своей стороны и 3-й и 4-й также без своих сторон, [сложенные вместеі, давали 4, а всякий квадрат без своей стороны, но с добавлением Ѵ4 дает квадрат, сторона кото­ рого с прибавкой 1/2 представляет сторону первоначаль­ ного квадрата, то все четыре искомых квадрата без своих сторон, но с добавлением четырех четвертей, т. е. 1, об­ разуют сумму четырех квадратов. Но и сумма четырех [искомых квадратов] без своих сторон равна 4, а если при­ бавить 1, то она обратится в 5. Итак, мне нужно разделить 5 на четыре квадрата. [Если к каждой стороне я прибав­ лю Ѵ2, то найду стороны искомых квадратов.] *)

Итак, 5 разделяется на четыре квадрата: 9/25, 16/25, 64/25 и 36/25. Беру стороны этих квадратов: они будут 3/5, 4/5, 8/5 и 6/5. Прибавляю к каждой 1/2 и нахожу стороны: 11/10, 13/10, 21/10, 17/10. Следовательно, искомые квад­ раты будут: 121/100, 169/100, 441/100 и 289/100.

31. Единицу разложить на два числа и прибавить к каждому по такому заданному числу, чтобы произведение [сумм] было квадратом.

Пусть будет нужно разложить 1 на два числа и приба­ вить к одному 3, а к другому 5 и сделать произведение квадратом.

Положим 1-е число х, а 2-е 1 — х\ если к 1-му приба­ вить 3, то оно станет х + 3; если же ко 2-му прибавить 5, то оно будет 6 — х; их произведение Зх + 18 — х2 = Q . Пусть это будет 4z2. Придадим к обеим частям недостаю­ щее, получим Зх + 18 = 5х2, и равенство не рационально.

Но 5 есть квадрат, сложенный с 1; надо, чтобы это ко­ личество, умноженное на 18 и сложенное с половиной от

112

вить к каждому по заданному числу, так чтобы произве­ дение сумм было квадратом.

Нужно 1 разложить на два числа; к одному прибавить 3, а к другому 5, и произведение сделать квадратом.

Полагаю 1-е z минус 3, т. е. то число, которое надо при­ бавить. Тогда оставшееся 2-ѳ число будет 4 — х.

Если к 1-му прибавляется 3, то получается z, а если ко 2-му 5, то будет 9 — х. Их произведение будет 9z — z2, что нужно приравнять к квадрату; пусть он будет 4z2:

9z — z2 = 4z2,

иz получается 9/5.

Кподстановкам. Не могу отнять 3 от х.

Значит, нужно, чтобы z был больше 3, но меньше 4. Но X найден делением 9 на 5, которое будет квадратом плюс 1. Если же 9 после деления на некоторый квадрат плюс 1 дает 3; то, следовательно, число, на которое мы делим, будет 3; но частное от деления 9 на квадрат плюс 1 должно быть больше 3, так что квадрат с 1 (будет мень­ ше 3>, и если отнять 1, то квадрат будет (меньше) 2.

Далее, мы хотим разделить 9 на квадрат с і и получить 4. Тогда на что мы делим (будет 21/4. На что же делится) 9 будет квадрат с 1, так что если частное должно быть меньше 4, то квадрат с 1 будет больше, чем 274. Отнимем 1; квадрат будет больше 1Ѵ4.

Но показано, что квадрат меньше 2; и мне приходится искать некоторый квадрат, который больше 1Ѵ4, но мень­ ше 2.

Разложу это на квадратичные доли, именно на 64-е; они обратятся в 80 и в 128; теперь уже будет легко: квад­ рат будет 100/64, т. е. 25/16.

113