Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

тогда произведение 2-го и 3-го чисел будет 4а:2 + 4а:, в ко­ тором 2-е есть х; следовательно, остающееся 3-е число будет 4а: + 4.

Итак, в неопределенной форме решена задача, как сделать, чтобы произведение любых двух чисел [из трех] вместе с единицей давало квадрат, и х будет таким, каким мы захотим. Искать в неопределенной форме — это зна­ чит получить такую подстановку *), чтобы условия удов­ летворялись, если подставить такое х, какое мы захотим.

20*. Найти четыре таких числа, чтобы произведения любых двух, сложенные с единицей, образовали квадрат.

Так как я хочу, чтобы произведение 1-го числа на 2-е вместе с 1 давало квадрат, то, отняв от какого-нибудь квадрата 1, я буду иметь произведение 1-го числа на 2-е.

с 1 давало квадрат; образую квадрат на 2х + 1, взяв х на 1 большее число раз, согласно доказанному в пред­ шествующем; от взятого квадрата отниму 1; произведе­ ние 1-го числа на 3-е возьму равным 4а;2 + 4ж. В этом [про­ изведении] содержится 1-е число х; остающееся 3-е число будет 4ж + 4.

Еще я хочу, чтобы произведение 1-го числа на 4-е вместе с 1 давало квадрат; этот квадрат я строю на За; + 1, [увеличивая на 1 число ранее взятых х]; взявши этот квад­ рат и отняв 1, буду иметь произведение 1-го числа на 4-е 9а:2 -г баг, в этом произведении содержится 1-е число ж; тогда останется 4-е число 9х + 6.

И так как получается, что произведение 3-го числа на 4-е вместе с 1 дает квадрат, а произведение 2-го числа на 4-е с 1 будет

9а:2 + 24а: + 13 = Q

'< , ^

ОYi и;іоота<п!. Здесь по смыслу следовало бы перевести «такую формулу». (Лргш. ред.)

103

Д И О Ф А Н Т

то я приравниваю его квадрату на стороне 3,г — 4, и по­ лучается X, равный одной (шестнадцатой).

К подстановкам. [Тогда в шестнадцатых долях] 1-е

число будет 1, 2-е 33, 3-е 68 и 4-е 105.

21. Найти такие три числа, составляющие пропорцию, чтобы разность двух любых из них была квадратом.

Положим, что меньшее равно я, среднее х + 4, чтобы их разность была квадратом, а большее число х + 13, чтобы и разность этого числа и среднего тоже была квад­ ратом.

Если бы разность наибольшего и наименьшего числа была квадратом, то получилось бы в неопределенной фор­ ме решение задачи, что разность двух любых чисел равна квадрату.

Но наибольшее число превышает меньшее на 13, а 13 есть сумма квадратов — 4 и 9; следовательно, мне нужно найти два квадрата, сумма которых была бы квадратом.

Это легко [сделать], используя прямоугольный тре­ угольник; они будут 9 и 16. Я полагаю наименьшее число равным X, среднее х + 9, а большее х -|- 25, и разность двух любых чисел будет квадратом.

Остается лишь, чтобы они были пропорциональны. Но если три чпсла пропорциональны, то произведение край­ них равно квадрату на среднем. Но произведение наи­

Пусть составленное из трех тело будет хг + 2х, а 1-е число равно 1, чтобы тело из трех после прибавления 1-го числа было квадратом.

Далее, я хочу, чтобы тело из трех вместе со 2-м было

104

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА IV

кака:2 к 2а:, так и 4х к 9. Но количество х21) представляет половину количества 2а;. Если бы и 4х были по коли­ честву половиной 9, то деление было бы возможным. Но 4х получились из разности, на которую 6а; больше 2а:; а 6а: — из удвоенного произведения 3 на х, т. е. из удво­ ения 3; а 9 есть квадрат 3; таким образом, мне нужно най­ ти некоторое число, вроде 3, которое после удвоения и уменьшения на двойку было бы половиной своего квад­ рата.

Пусть искомое число будет х; после удвоения и умень­ шения на двойку получится 2а: — 2, а квадрат искомого

будет X2. Мы желаем, чтобы 2а; — 2 было у а;2.

чтобы тело из трех с добавлением 2-го числа составляло квадрат. Таким образом, если от некоторого квадрата я

и уменьшенные на двойку, были половиной своего квад­ рата; это уже было сделано, и это число есть 2.

Я строю квадрат на х + 2; он будет х2 + 4а; + 4. Если я вычту тело из трех, т. е. х2 + 2а;, то остаток будет 2-е чис­ ло. Произведение 1-го и 2-го <2а: + 4; если тело из трех, т. е. X2 + 2а;, я разделю на произведение 1-го и 2-го), т. е. на 2а; + 4, то буду иметь 3-е число; полученное част­ ное будет х/2.

И остается, чтобы составленное из трех тело вместе с 3-м числом было квадратом. Но это тело вместе с 3-м будет X2 -\-21/гх = Q , пусть 4а;2, откуда х получается 5/6.

Кподстановкам. В шестых долях 1-е будет 6, 2-е 34

и3-е 2Ѵ2.

23. Найти такие три числа, чтобы составленное из них тело минус каждое из этих чисел давало квадрат.

М Количество то яХт]0о<;; мы сказали бы ^коэффициент». (Прим. персе.)

105

Д И О Ф А Н Т

Возьмем X как 1-е кисло, а тело из трех х2 + z; после вычитания 1-го это дает квадрат. И так как тело из трех X2 + X, а 1-е число х, то, значит, произведение 2-го и 3-го чисел будет х + 1. Пусть 2-е число 1; тогда остающееся 3-е равно х + 1.

Теперь надо, чтобы составленное из трех тело после вычитания 2-го и 3-го давало квадрат. Остатки будут: один X2 + X — 1, равный квадрату, другой х2 — 1, тоже равный квадрату.

Получилось двойное равенство; беру разность: она бу­ дет z; составляю два числа, произведение которых было бы [этим] X. Это X я разделю на 1/2; частное будет 2х, т. е. удвоенной стороной квадрата z2; это ты уже знаешь; получается х равным 17 восьмым.

К подстановкам. 1-е число будет 17 [восьмых], 2-е чис­ ло 1, 3-е 25/8.

24. Данное число разложить на два числа и сделать, чтобы их произведение было кубом без стороны.

Пусть данное число будет 6.

Положим 1-е число х; тогда остаток 6 — х будет 2-м числом. Остается, чтобы их произведение было кубом без стороны. Но их произведение будет 6z — х2; это должно равняться кубу без стороны. Образую куб на х, взятом сколько-то раз минус 1, пусть на 2z — 1. Построенный куб без стороны будет 8х3 + 4х — 12z2. Это должно рав­ няться 6z — z2.

Если бы количества z в каждой стороне равенства были равными, то остались бы для сравнения члены с х3 и z2, и X получилось бы рациональным. Но 4z получается из разности 6z и 2z, т. е. из утроенного 2z; и если из утроен­ ного 2z вычесть 2z, то получится дважды 2z. Но 6 является произвольным согласно предположению. Таким образом, я вынужден отыскивать число, как это 2z, которое, бу­ дучи взято 2 раза, давало бы 6. Это число есть 3.

Я ищу 6z — z2, равное кубу без стороны. Теперь сторону этого куба я беру 3z — 1; построенный на ней куб без своей стороны будет

27z3 + 6z — 27z2 = 6z — z2;

иz получается равным 26/27.

Кподстановкам. 1-е число будет 26, а 2-е 136 [двадцать седьмых долей].

106

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА IV

25. Данное число разложить на такие три числа, чтобы [построенное] на них тело было кубом, сторона которого равнялась сумме разностей между этими числами.

Пусть данное число 4.

Так как составленное из трех чисел тело есть куб, то пусть он будет 8а:3 и его сторона 2х. Но разность 2-го и 1-го чисел, затем 3-го и 2-го и, наконец, 3-го и 1-го чисел [в сумме] дает удвоенную разность 3-го и 1-го чисел, т. е. если три числа не равны, то сумма трех разностей будет вдвое больше разности крайних чисел.

По предположению мы имеем сторону куба, равную 2х; тогда 2х должно быть суммой всех трех разностей; следовательно, 3-е больше 1-го па х. Пусть 1-е число равно какому-нибудь количеству х-ов, положим 2х; тогда 3-е число будет Зх. А так как составленный из трех объем будет 8ж3 и произведение 1-го и 3-го равно 6х2, то остаю­ щееся 2-е будет

И если бы 2-е число было больше 1-го и меньше 3-го, то задача была бы решена. Но 2-е число получилось из де­ ления 8 на произведение 1-го и 3-го. Но 1-ѳ и 3-ѳ не будут любыми числами, но разнятся на 1; следовательно, я дол­ жен искать два числа, разнящиеся между собой па 1 и та­ кие, чтобы 8, разделенное на их произведение, давало число, большее меньшего и меньшее большего.

чтобы оно было больше х и меньше х + 1. И так как раз­ ность этих чисел есть 1, то разность между 1-м и 2-м мень­ ше 1 1), так что 2-е вместе с 1 будет больше 1-го. Но 2-е вместе с 1, взятое в долях х2 + х, будет

8 + ж3 + .г

X“ —|—X

и это больше, чем х + 1. Умножим обе части неравенства на знаменатели:

X2 + X -j- 8 больше X3 + 2я2 + х.

’) В этом месте под і-м числом Диофант понимает наибольшее, под 2-м — среднее и под 3-м — наименьшее. (Прим. реО.)

107

Д И О Ф А Н Т

После отбрасывания подобных получается: 8 больше X3 + X2.

Образую куб, который включал бы а:3 + а;2. Пусть

иX получится равным 5/3.

Кподстановкам. 1-е число будет 8/3, 2-ѳ 9/5, 3-е 5/3. Множим все три на 15. 1-е число будет 40, 2-ѳ 27 и 3-е

25.Так мы избавились от знаменателей и нашли три числа, чтобы построенный на них объем был кубом, сторона ко­ торого равнялась бы сумме их разностей.

Теперь я полагаю 1-е число равным 40а;, 2-е 21х и 3-е 25а;; образованный из них объем будет кубом, сторона которого равна сумме их разностей. Остается лишь срав­ нить сумму трех этих чисел с заданным числом; дано же было 4. Таким образом, 92а; равно 4; и а; будет одна (двад­ цать третья).

К подстановкам. 1-е число будет 40, 2-е 27 и 3-е

25[двадцать третьих].

26.Найти такие два числа, чтобы их произведение, сложенное с каждым из них, давало куб.

Составляю 1-е число из кубического количества а;-ов *); пусть оно будет 8а:; 2-е полагаю х2 — 1; одно условие удов­ летворено: их произведение, сложенное с 1-м числом, дает куб.

Остается лишь, чтобы их произведение вместе со 2-м числом давало куб. Но это произведение, сложенное со 2-м числом, будет

8а^ + а:2 — 8а: — 1,

оно должно равняться кубу. Строю этот куб на стороне

2а; — 1; и а; будет 14/13.

К подстановкам. 1-е число будет 112/13, 2-е 27/169. 27. Найти два числа, произведение которых минус

каждое дает куб.

Составляю, подобно предыдущему, 1-е число из куби­

108