Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

Д И О Ф А Н Т

трех разностей равна удвоенной разности между наиболь­ шим и наименьшим числами, то удвоенная разность меж­ ду наибольшим и наименьшим числами будет равна [сумме] трех [квадратов].

Возьмем наименьший квадрат равным единице, а наи­ больший X2 + 2х 4-1, тогда удвоенная разность наи­ большего и наименьшего чисел равна 2ж2 + 4х; она же

чается равным 9/5.

К подстановкам. Наибольший квадрат будет 196/25, средний 121/25, а наименьший 1.

Умножим все на 25; наибольший будет 196, средний 121 и наименьший 25.

15. Найти три таких числа, чтобы сумма любых дву умноженная на третье, равнялась заданному числу.

Предположим, что сумма 1-го и 2-го чисел, умножен­ ная на 3-е, дает 35. Затем сумма 2-го и 3-го, умноженная на 1-е, дает 27. И, наконец, сумма 1-го и 3-го, умноженная на 2-е, дает 32.

Пусть 3-е число будет х; тогда сумма остающихся 1-го и 2-го будет 35/х. Положим 1-е равным 10/х; тогда 2-е будет 251X.

Остаются еще два условия: сумма 2-го и 3-го, умножен­ ная на 1-е, дает 27, <а сумма 1-го и 3-го, умноженная на 2-е, дает 32>. Но сумма 2-го и 3-го, помноженная на 1-е,

Теперь мы хотим, чтобы разность этих чисел тоже равня­ лась 5. Но 1-е и 2-е не являются произвольными числами: их сумма должна равняться 35. Итак, мне пришлось раз­ ложить 35 на два числа так, чтобы разность этих чисел равнялась 5 [IJ; они будут: одно 15, а другое 20.

98

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА IV

Теперь я полагаю 1-е равным 15/ж, а 2-е 20/ж. Сумма

К подстановкам. 1-е число будет 3, 2-е 4, а 3-е 5.

16*. Найти <трн> числа, равных в сумме квадрату, та­ кие, чтобы квадрат на каждом из них, сложенный со сле­ дующим числом, давал квадрат.

Положим, что среднее число равняется скольким-то х; пусть оно будет 4х. Так как я желаю, чтобы квадрат на 1-м после прибавления 2-го числа давал квадрат, то мне надо отыскать какой-то квадрат, который после прибав­ ления к 4х будет тоже квадратом.

Прежде всего я буду отыскивать два числа, произве­ дение которых было бы 4х) пусть это будут 2х и' 2; если

ный со 2-м числом, будет квадратом х).

Теперь нужно, чтобы квадрат 2-го числа, сложенный с 3-м числом, был тоже квадратом, т. е. 16ж2 3-е давало квадрат.

Значит, если от некоторого квадрата я отниму Ібж2, то буду иметь 3-ѳ число; искомый квадрат я построю из сто­

Далее, так как я хочу, чтобы сумма всех трех равня­ лась квадрату, а эта сумма будет 13ж, то она должна быть квадратом. Пусть этот квадрат будет ІбЭх2 2), и х полу­ чится равным ІЗж2.

К подстановкам. 1-е число будет ІЗж2 — 1, 2-е 52Ж2, а 3- е 104х2 -)-1. И у меня в неопределенной форме удовлет­ ворены три заданных условия.

Остается, чтобы и квадрат на 3-м числе, т. е. 10816ж* +

’) Здесь Диофапт вводит новое неизвестное, которое обозначает тем же сим­ волом, что в старое. {Прим, рев.)

Д И О Ф А Н Т

17*. Найти три числа, сумма которых равна квадрату, такие, чтобы квадрат на каждом из них минус следующее число был тоже квадратом.

Опять возьмем среднее число 4а;; так как я хочу, чтобы квадрат 1-го числа после вычитания 2-го, т. е. 4х, был квад­ ратом, то я пришел к отысканию квадрата, который без 4а; был бы тоже квадратом.

Прежде всего я ищу два числа, произведение которых было бы 4.Т. Но 4а; имеют множителями 2 и 2а;. Беру поло­ вину их суммы и полагаю первое число х + 1; одно из условий у меня удовлетворено. Затем я хочу, чтобы квад­ рат 2-го числа, т. е. 16а;2, после вычитания 3-го был квад­ ратом; следовательно, если из 16а? отнимем некоторый квадрат (пусть он будет на стороне 4а; — 1, т. е. 16а;2 + + 1—8а;, что я и вычитаю из 16а?), то остаток 8а; — 1; я и беру 3-е число равным 8а; — 1, и второе условие вы­ полнено.

Затем я хочу, чтобы эти три числа давали в сумме квадрат, т. е. чтобы 13а; равнялось квадрату; пусть пос­ ледний будет равен 169а?, а х равен 13ж2 4).

К подстановкам. 1-е число будет 13а? + 1 , 2-е 52а? и 3-е 104а? — 1. И снова у меня выполнены в неопределен­ ной форме три заданпых условия.

Остается, чтобы квадрат 3-го числа минус 1-е был квад­ ратом. Но квадрат 3-го числа минус 1-е число будет

10816а;4 - 221а? = Q

[Сокращаем] все на а?:

10816а;2 — 221 = Q

Пусть [этот квадрат будет] на стороне 104а; — 1; тогда х получается равным 111/104.

К подстановкам. 1-е число будет 170989/10816, 2-е 640692/10816, 3-е 1270568/10816.

') Здесь Диофант, как и в ГѴ'і6, вводит новое неизвестное которое обозна­ чает тем же символом, что и первоначальное. {Прим, ред.)

100

Положим, что 1-е число будет ж, а 2-е будет кубическое число [минус ж8], пусть 8 — ж*. И получится, что куб 1-го числа, сложенный со 2-м числом, дает куб.

Остается сделать, чтобы квадрат 2-го числа, сложенный

с1-м, давал квадрат. Но квадрат 2-го числа, сложенный

с1-м, будет хв + X + 64 — 16ж3; (пусть это равно квад­

рату на стороне ж3 -)- 8, т. е. ж® + 16ж3 + 6 4 ). Прибавив к обеим частям недостающие члены и отбрасывая одина­ ковые, получаем в остатке

ж= 32ж3,

апосле сокращения на ж

32Ж2 = 1 .

Но 1 есть квадрат; если бы 32ж2 было тоже квадратом, то равенство дало бы решение. Но 32ж3 полупилось из дважды 16ж3, а 16ж3 есть дважды 8, помноженное на ж3. Таким образом, 32ж2 получилось из четырежды 8. Мне нуж­ но найти куб, который, четырежды взятый, давал бы квадрат.

Пусть искомый куб будет ж3; он, четырежды взятый, 4ж3, должен равняться квадрату. Пусть этот квадрат будет 16ж2; тогда ж получится равным 4.

К подстановкам. Куб будет 64.

Итак, кладу 2-е число равным 64 — ж3. Теперь остается сделать, чтобы квадрат 2-го, сложенный с 1-м, давал квад­ рат. Но квадрат 2-го, сложенный с 1-м, дает

ж° + 4096 -f- ж — 128Ж 3 = Q .

Пусть этот квадрат будет на стороне ж3 + 64; тогда квад­ рат равен

ж6 + 4096 + 128ж3.

Получается, что ж = 256ж3. И, следовательно, ж равен од­ ной (шестнадцатой).

К подстановкам. 1-е число будет 1/16, а 2-е [число] 262143/4096.

19*. Найти три числа в неопределенной форме такие, чтобы произведение любых двух вместе с единицей дава­ ло квадрат.

101

Д И О Ф А Н Т

Так как я хочу, чтобы произведение 1-го и 2-го вместе

с1 давало квадрат, то, если отнять 1 от любого квадрата,

яполучу произведение 1-го и 2-го чисел. Строю квадрат из взятого какое-нибудь число раз ж и 1; пусть это будет

зом. отняв 1 от какого-нибудь квадрата, я получу произ­ ведение 2-го и 3-го чисел. Построим квадрат на Зж + 1: он будет 9а:2 + 6ж + 1. Значит, если я отниму 1, то полу­ чится 9а:2 + баг, произведением 2-го и 3-го чисел должно быть 9а;2 + ба:; в него входит 2-е число х. Таким образом, остающееся 3-е число будет 9а: + б.

Далее, я хочу, чтобы произведение 1-го и 3-го чисел вместе с единицей было квадратом. Но произведение 1-го и 3-го чисел вместе с единицей будет 9а;2 + 24а; + 1 3 = 0 . Я имею а:2 взятым квадратное число раз; (если бы я имел и квадратное число единиц), то удвоенное произведение чи­ сел при а:2 и 1 было бы равно числу при ж, и три заданных условия были бы выполнены в неопределенной форме.

Но 13 получилось из произведения 2 и 6 вместе с при­ бавленной 1; далее, 2 получилось из [1-го] удвоенного про­ изведения X и 1, а 6 — из 2-го удвоенного произведения За; и 1. Я хочу получить квадрат из [1-го] удвоенного числа при X, помноженного на [2-е] удвоенное число при а:, и с [прибавленной] 1 [(2-1)-(2-3) + 1]. Но [1-е] удвоенное число при X, умноженное па [2-е] удвоенное число при х, равняется учетверенному произведению обоих чисел при X. Я хочу получить квадрат из учетверенного произведе­ ния этих чисел и единицы. Для всякой пары чисел учет­ веренное их произведение, сложенное с квадратом их раз­ ности, будет квадратом; поэтому, если мы построим квад­ рат их разности, то учетверенное произведение этих чи­ сел вместе с единицей будет квадратом.

Если квадрат разности равен 1, то и сама разность бу­ дет 1. Тогда нужно строить [квадраты] на ж, взятых после­ довательное число раз, вместе с прибавляемой единицей (пусть это будут на х + 1 и 2ж + 1). И квадрат на х + 1 будет ж2 + 2х + 1.

102