Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А V

И это я могу только сделать, если возьму х большим,

5z и некоторому числу, большему 60, так что х необходимо будет не меньше 1 1 .

Затем, так как х2 — 60 меньше 8 z, то придадим к обоим 60; тогда х2 равняется 8 z и некоторому числу, меньшему 60; поэтому следует искать z не большим 1 2 , но показано,

и увеличенного на 60, а потом разделенного на себя удво­ енного. И дело сводится к отысканию некоторого числа такого, чтобы его квадрат, увеличенный на 60 и разделенный

давало частное, меньше 1 2 , так что х2 + 60 должно быть меньше 24z; тогда 24z будет равно х2 и некоторому числу, большему 60. Значит, х должно быть меньше 21. Но оно больше 19, пусть оно будет 20.

Таким образом, приравнивая х2 — 60 квадрату, мы должны взять сторону последнего х — 2 0 ; отсюда полу­ чается, что X = ІНД, а х2 = ІЗЗ1/^

Отнимаю 60; останется 721/4. Итак, нужно разделить 72Ѵ4 на два числа так, чтобы пятая часть 1-го и восьмая

!) Здесь Диофант вводит новое неизвестное, которое обозначает тем же сим­ волом, что и первоначальное. (Прим, рев.)

149

Д И О Ф А Н Т

но, сами они будут: одно 5а;, а другое 92 — 8а;. Оба вместе равны 72Ѵ4; значит, х = 79/12.

Таким образом, пятидрахмового вина взято 6 конгиев 7 гемин *), а восьмидрахмового — 4 конгия 11 гемин. Остальное очевидно.

КНИГА VI

1. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы гипотенуза минус каждая сторона, прилежащая к прямому углу, давала куб.

Пусть искомый треугольник будет образован двумя числами2), и пусть одно будет х, а другое 3.

Тогда гипотенуза будет х2 + 9, катет 6z, а основание ж2 - 9.

Если из гипотенузы вычесть одну из сторон при пря­ мом угле, т. е. х2 — 9, то получится 18, что не является кубом.

Откуда же 18? Это дважды взятый квадрат 3. Поэтому нужно найти некоторое число такое, чтобы дважды взя­ тый квадрат его был кубом. Пусть искомое число будет ж, и приравняем 2х2 кубу. Пусть он будет х3; тогда х равняется 2.

Опять построим треугольник на х, но уже не на 3, а на 2. И гипотенуза получится равной ж2 + 4, катет 4х, а основание х2 — 4. Тогда ясно, что гипотенуза по вычете

Но это будет квадрат на стороне х — 2. Поэтому, если при-

<) і копгий равняется 12 геминам. (Прим, реЭ.)

') Если эти числа суть р и ѵ, то должно иметь место тождество (р1 -f ѵ’)’ — = (2рѵ)’ + (р1 .— V*)*. (Прим, ред.)

150

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А Ѵ І

равняем х — 2 кубу, то и решим задачу. Приравняем 8, и получится X = 10.

Так образуется треугольник на 10 и 2; гипотенуза будет 104, катет 40 и основание 96, и все ясно.

2. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы гипотенуза, сложенная с каждой стороной при прямом угле, образовала куб.

Если образуем искомый [треугольник] на двух числах, как в предыдущей задаче, то нужно искать, какой квад­ рат при удвоении будет кубом; это квадрат на стороне 2.

Образуем искомый [треугольник] на а; и 2; тогда точно

подстановкам, находим, что х2 меньше 4 и, следовательно, X меньше 2. Приходится искать куб, который был бы меньше 4 и больше 2; таким кубом является 27/8. Тогда

X + 2 = 27/8; и х получается 11/8.

Итак, гипотенуза будет 377/64, а стороны при прямом угле — одна 135/64, а другая 5Ѵ2. Обратим в 64-е доли; треугольник будет 377, 135, 352, и все ясно.

3*. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы его площадь, сложенная с данным числом, была квадратом.

Пусть данное число 5.

Возьмем треугольник заданного вида За:, 4а:, 5а:; его площадь плюс 5 будет

6а;2 + 5 =

Пусть этот квадрат будет 9а;2; отняв подобные от подоб­ ных, получим в остатке За;2 = 5. Нужно, чтобы один вид относился к другому, как квадратное число к квадратному числу. Все приводится к отысканию прямоугольного тре­ угольника и квадратного числа таких, чтобы квадратное число без площади треугольника было 5- й частью квадрата, так как заданное число 5.

Образуем (треугольник) на х <и Ѵа;), его площадь X? — -^5 ; пусть сторона квадрата равна сумме х и г/х, взятой в количестве, равном удвоенному заданному числу 10/а;,

151

Д И О Ф А Н Т

иостальное станет очевидным.

4.Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы его площадь минус заданное число была квадратом.

Пусть заданное число будет 6.

Возьмем треугольник данного вида (За:, 4а:, 5а:), и согласно предложению 6а;2 — 6 = Q .

Пусть квадрат 4а:2; опять задача сведется к нахождению прямоугольного треугольника и квадратного числа та­ ких, чтобы по вычитании этого квадратного числа из площади ушестеренный остаток был квадратом. Опять образуем треугольник на а: и 1/х, а сторона квадрата пусть будет X минус 1/а;, взятое в количестве, равном по­

ловине заданного числа, т. е. 3/х; тогда

6 — 10

[Умножив] на 6 [и на х2], получим 36а:2 — 60 = Q . Пусть этот квадрат будет на стороне 6а: — 2, откуда получается

[стороны] его в х-ах и, следуя предложенному, найду х

- ( — + іг) = Ы ) ■{Пѵим-™т,еа-)

152

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А V I

И если мы сделаем его х2, взятым квадратное число раз, то опять все сведется к нахождению прямоугольного тре­ угольника и квадратного числа таких, чтобы квадрат, сложенный с площадью, равнялся 10-й части квадрата.

Построим треугольник на х и 1/х, сторона квадрата

пусть будет — + 5x11 сумма с площадью 26х2 + 10. Уве­

предшествующем предложении.

6*. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы площадь, увеличенная на одну из сторон при прямом угле, давала заданное число.

Пусть это число 7.

Возьмем опять треугольник, данного вида Зх, 4х, 5х; тогда 6х2 + Зх = 7. И нужно, чтобы половина количества X, умноженная на себя и приложенная к произведению количества х2 <на количество единиц), образовывала квадрат. Но он не получается; так что надо найти такой прямоугольный треугольник, чтобы квадрат на половине одной стороны при прямом угле вместе с семикратной

Разность будет х2 — 14х; делители х и х — 14; поло­ вина их разности, умноженная на себя, даст 49. Прирав­ нивая это меньшему квадрату, получим х = 24/7.

') Имеем 14зс + 1 = □, х2+ 1 ■=сумма квадратов катетов= □. Полу­ чается двойное равенство. (Цргш. пере’.)

153