Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

Д И О Ф А Н Т

92581

—и 3-й 1600 X2. И если построенное на них тело при­

Положим, что образуемое ими тело будет х2, а иско­ мые три квадрата берем из прямоугольных треугольников: 1-й 16/25, 2-й 25/169 и 3-й 64/289. Полагаю их в х2; тогда

X2, из которого вычитается каждый [из этих] квадратов, остается квадратом.

Теперь нужно образованное этими тремя числами тело

квадратом, (имеющим стороной квадрат), и опять дело приводится к отысканию трех прямоугольных треуголь­ ников, у которых тело, образуемое тремя катетами и по­ множенное на тело, образуемое тремя гипотенузами, было бы квадратом. И если мы разделим [а ^а ^ с ^ с 3] на [произ­ ведение] гипотенузы и катета 1 -го треугольника, то [про­ изведение] гипотенузы и катета 1 -го треугольника должно быть кратным произведения гипотенузы и катета [2 -го треугольника], причем множителем является произведе­ ние гипотенузы и катета [3-го] прямоугольного тре­ угольника: [ахсг — a2c2 -a3cs]. Пусть [3-й] треугольник будет (3, 4, 5). Дело сводится к нахождению двух прямо­ угольных треугольников таких, чтобы [произведение] ги­ потенузы и катета в 1 -м треугольнике было в 2 0 раз боль-

144

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А V

ше [произведения] гипотенузы и катета во 2 -м треуголь­ нике: [ а ^ = 2 0 агс2].

Если же в 20 раз, то [отношение площадей можно взять равным] 5. Это нетрудно.

Больший треугольник будет 5, 12, 13, а меньший 3, 4, 5. Отправляясь от этих треугольников, нужно ис­ кать два других таких, чтобы [произведение] гипотенузы и катета в одном треугольнике было 6 , (а в другом 30>.

Тогда в большем треугольнике гипотенуза будет 6 Ѵ3, а катет 60/13. В меньшем же треугольнике гипотенуза

к первоначальной задаче: произведение трех квадратов

Остается произведение трех приравнять х2. Разделив все на X2 и взяв сторону от стороны, получаем х = 65/48

Кподстановкам.

23.Найти три таких квадрата, чтобы образуемое ими тело по вычитании из каждого из них давало квадрат.

Положим опять, что их тело равно х2, а сами они обра­ зуются из каких-нибудь трех прямоугольпых треуголь­ ников; и здесь опять дело сведется к тому, что искалось

впредыдущем предложении.

Если и в этом предложении мы воспользуемся теми же прямоугольными треугольниками и положим искомые квадраты равными

И так как я ищу произведение 1-го на 2-й, вместе с 1 дающее квадрат, то все это, умноженное на 3-й, будет

145

Д И О Ф А Н Т

те с третьим, давало квадрат, равно как и вместе с 1 -м и со 2-м. Но это мы уже показали выше [см. Ѵ21]. Таким образом, те же самые числа удовлетворяют искомому.

25. Найти три таких квадрата, чтобы произведение любых двух без единицы давало квадрат.

[Умножим] все на 3-й; тогда произведение 1-го и 2-го па 3-й, т. е. произведение трех, из которого вычтен 3-й, будет квадратом. Также и произведение трех, из которого вычтены 1-й или 2-й, будет квадратом. Но это уже показано [см. Ѵ22]. Те же три числа удовлетворяют и этому.

26. Найти три квадрата таких, чтобы произведение любых двух, отнятое от единицы, было квадратом.

Опять в поисках произведения двух чисел, которые нужно вычесть из единицы, чтобы получить квадрат, умножив все на 3-й, можно свести все дело к отысканию трех чисел таких, чтобы произведение их, вычтенное из каждого числа, давало квадрат, а это мы уже сделали

[см. Ѵ23].

27*. Для заданного числа подобрать три квадрата так, чтобы два любых из них, сложенные вместе с заданным числом, давали квадрат.

Пусть заданное число будет 15.

И пусть одно из искомых будет 9. Нужно найти еще

Итак, нужно искать такие два квадрата, чтобы каждый из них вместе с 24 давал квадрат. Возьмем какие-нибудь делители 24, которые образуют катеты прямоугольного

квадратов на пих с 24 дает квадрат.

Остается, чтобы сумма обоих квадратов с 15 давала квадрат. Получаем

^ + 25®»-9 = Q

14G

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А V

Пусть этот квадрат будет 25а;2. Тогда х = 5/6.

28*. Для данного числа подобрать три квадрата таких, чтобы сумма двух любых без заданного числа была квадратом.

Пусть заданное число 13.

Положим опять, что один из искомых квадратов будет 25. (Требуется найти два других таких), чтобы каждый

тов и некоторого числа таких, чтобы квадрат этого числа после вычитания квадратов на искомых давал некоторое (число), которое к удвоенному начальному числу имело

после вычитания квадратов на искомых дал бы в остатке

147

Д И О Ф А Н Т

три квадрата: 1-й а:2, 2-й 9, 3-й 16. И сумма квадратов

30.«Некто смешал впио в пять драхм и п восемь за конпііі. Спутникам чтобы своим в плаванье радостным быть.

Цену за псе заплатил числом каким-то квадратным. Если прибавить к нему заданный счет одппиц, То оно снопа к тебе другим позратится квадратом; Будет его стороной конгпсв сколько купил.

Сколько во псом сочти восьмидрахмовых конгиев было, Также и всех остальных, стоивших только пять драхм?»

Обозначаемое этой эпиграммой будет таким.

Некто купил вино двух сортов, 1-е стоило 8 драхм за копгий, а 2-е 5 драхм, и заплатил за все цену, выражаемую квадратным числом; это чпсло, сложенное с 60, образует квадрат, сторона которого равна количеству всех куплен­ ных конгиев. Скажи раздельно, сколько было восьми- и пятидрахмовых конгиев.

Пусть количество конгиев будет х, так что цена станет X2 — 60. Дальше нужно приравнять х2 — 60 некоторому квадрату и сторону этого квадрата взять равной х минус сколько-то единиц.

Но X2 — 60 складывается из двух чисел; цены восьми­ драхмовых конгиев и цены пятидрахмовых; <и пятая часть цены пятидрахмовых конгиев) дает количество пятидрахмовых, а восьмая часть цены восьмидрахмовых дает количество восьмидрахмовых. И так как общее ко­ личество конгиев составляет х, то приходится некоторое число, равное х2 — 60, разделить на два числа так, чтобы 1 / 8 одного и Ѵ5 другого составляли х.

148