Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

Д И О Ф А Н Т

К подстановкам. Полагаю одну сторону при прямом угле треугольника равной 24/7, а другую 1. Умножая

то все сведется к нахождению прямоугольного треуголь­ ника такого, чтобы половина одной перпендикулярной стороны, умноженной на себя и увеличенной семикратной площадью, равнялась квадрату. И стороны искомого треугольника будут 7, 24, 25. Беру все в х-ах, и площадь после вычитания одной из перпендикулярных сторон будет

Пусть заданное число будет 6.

Возьмем опять треугольник данного вида. Все сведет­ ся к нахождению прямоугольного треугольника, у ко­ торого квадрат полусуммы перпендикулярных сторон, сложенный с ушестеренной площадью, давал бы квадрат. Положим, что одна сторона будет х, а другая 1; надо, чтобы

1Л** + з 1/»® + 1/4 = П

[Умножив] на 4, получаем

X2 + 14х + 1 = О-

[Кроме того, сумма квадратов катетов тоже равна квад­ рату]:

я2 + 1 =

*) —.7 *» 84. (Прим, перво.) 2

154

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А V I

[Имеем двойное равенство, в котором] разность 14z, де­ лители 2z и 7; половину их разности в квадрате [прирав­

чтобы полусумма гипотенузы и одной из перпендикуляр­ ных сторон, умноженная на себя <и увеличенная на учет­ веренную площадь, давала квадрат.

Образуем треугольник на 1 и z + 1; и произведение полусуммы гипотенузы и одной из перпендикулярных

155

Д И О Ф А Н Т

а учетверенная площадь 4л;3 -)- 12а;2 + 8х. Таким образом, придется искать [х такой, что]

а;4 + 8а;3 + 18а;2 + 12а; + 1 = Q

пусть он будет на стороне 6а' + 1 — а2; и а получается равным 4/5.

Итак, образуется треугольник на <1 и) 9/5. Множим

получаю 28а, 45а, 53а, а площадь, увеличенная на сум­ му гипотенузы с одной из перпендикулярных сторон;

630а2 + 81а = 4,

откуда а = 4/105.

пендикулярных сторон, равнялась заданному числу. Пусть заданное число 4.

И опять положим [треугольник] заданпого вида. Все сведется к отысканию прямоугольного треугольника та­ кого, чтобы его учетверенная площадь, увеличенная по­ множенной на себя полусуммой гипотенузы и одной из перпендикулярных сторон, давала квадрат. Можно пока­

ти прямоугольный треугольник такой, чтобы (разность катетов была квадратом), а также и больший из катетов был квадратом и, наконец, площадь, сложенная с мень­ шим катетом, образовывала квадрат.

Образуем треугольник из двух чисел и предположим, что наименьший катет получается из удвоенного произ­ ведения этих [чисел]. Теперь нужно найти два числа таких, чтобы их удвоенное произведение было квадратом, а также разность, на которую удвоенное произведение превышает разность их квадратов, тоже была квадратом.

156

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А V I

Это же бывает и с двумя любыми числами, когда большее число вдвое больше меньшего.

Остается сделать так, чтобы площадь треугольника, сложенная с наименьшим катетом, образовывала квадрат. Площадь треугольника в 6 раз больше биквадрата (мень­ шего) числа, и меньший катет равен утроенному квадрату того же числа. Делим все на квадрат меньшего числа; следовательно, будем искать такое число, чтобы его ше­ стикратный квадрат плюс 3 составлял квадрат.

Таковы единица и бесконечное множество других чисел; поэтому искомый прямоугольный треугольник строится на числа 1 и 2 ').

Д р у г а я [ л е м м а ], и у ж н а я д л я т о й же з а д а ч и . Для двух данных чисел, сумма которых со­ ставляет квадрат, можно найти бесконечное число квадра­ тов, каждый из которых, умноженный на одно из данных (и сложенный с другим числом), образует квадрат.

Пусть даны два числа 3 и 6.

Нужно найти квадрат, произведение которого иа 3, сложенное с 6, образует квадрат.

Пусть искомый квадрат х~ + 2х + 1 ; получаем За;2 -|- 6т -}- 9 = [Д;

и это возможно сделать бесконечным числом способов вследствие того, что число единиц является квадратным.

Пусть квадрат построен на стороне 3 — Зх и х равня­ ется 4; таким образом, сторона этого квадрата будет 5.

Можно найти и бесконечно много других квадратов. 12*. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы его площадь, сложенная с любой стороной при прямом

угле, составляла квадрат.

Возьмем треугольник данного вида 5х, 12х, 13а;; по­

157

Д И О Ф А Н Т

30 раз, после прибавления упятеренного найденного числа образовывал квадратное число.

Пусть искомый квадрат будет х2; (если я вычту 30

и на остаток разделю 12, то получится) число ^4гзо ’ кваД"

60а;2 + 2520 было квадратом. Но х есть сторона некоторого квадрата; (следовательно, нужно его найти); взяв х2 шестьдесят раз и прибавив к 2520, мы должны получить квадрат. Таким образом, если, изменив треугольник, построим числа 60 п 2520 так, чтобы они в сумме давали квадрат, то задача будет решена. Но 60 [получилось] из произведения сторон, прилежащих к прямому углу, а 2520 — из произведения большего катета, разности ка­ тетов и площади. [Задача] сводится к нахождению такого прямоугольного треугольника, чтобы произведение сто­ рон при прямом угле, сложенное с произведением большего катета, разности этих катетов и площади, давало квадрат. И если мы положим, что больший катет есть квадрат, и разделим все на него, то нужно, чтобы меньший катет вместе с произведением площади на разность катетов образовывал квадрат.

Все сводится к нахождению двух чисел: (произведения) площади на разность катетов (и меньшего катета) — и к поискам некоторого квадрата, который, помноженный на одно из данных и (сложенный с другим), давал бы квадрат. Но имеются вышедоказанные леммы, и пусть треуголь­ ник будет 3, 4, 5. Полагаю его в z-ax; нужно сделать,

158