Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

Скачать файл (10,04Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 18.10.2024

Просмотров: 120

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

	Й О М М Ё Н Т А Р Й Й
X-i, Х 2, Y i ,	У2 выражаются как рациональные функции от двух
параметров	а и ß.
Легко	видеть, что при выбранных значениях параметров

о20

У2 = 2. — 2 = — _ , т. е. имеет отрицательное значение. Диофан

та это не смущает, так как окончательно в задаче фигурирует	У2,
т. е. положительная величина. Аналогично решается задача	ІІ21.

Здесь Диофант	делает подстановки
Х г = х +	а, Х 2 = 2ах + а2 (а = 1), Ух = г.

Применяемые преобразования бирациональны.

18.Задачи П22 и П23 эквивалентны системам

каждая из которых определяет А 2 в Q1. В задаче ІІ22 Диофант полагает Х х = х , Х 2 = х + 1, тогда Y t = х + 1. Первое уравне

ние тождественно удовлетворяется, а второе принимает вид

			X2 + 4* +	2 = У2.
Для	его рационализации Диофант			применяет метод В, полагая
У2 =	х — 2.
Заметим, что подстановки Диофанта можно несколько обобщить,
если	взять
	Х г	X ,	Х 2 = (2а — 1)х + а 2;
тогда Yj = X + а .		Из второго уравнения, положив
получим		Y 2	= (2а — 1)х — ß,
получим
	X	=	ß2 — а2 —
	X	=
		2 (а2 + ß) (2а — 1) + 2а "

При выбранных Диофантом значениях параметров У2 получается отрицательным: У2 = — 7/4.

Все примененные здесь преобразования бирациональны. Легко

видеть,	что и тут применяется метод образующих, о котором мы
говорили выше		(см. комментарии к задачам ІІ14, ІІ15 и ІІ20, Н21.)
19.	Задачи	ІІ24 и ІІ26	эквивалентны системам
		( * і +	Х	2 ) 2 ± Х 1 =	У 2 ,
		(At +	Х	2 ) 2 ± * 2 =	У2,

202

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А I I

каждая из которых определяет поверхность в четырехмерном

пространстве.			Диофант в задаче 1І24		полагает
* 1		=	(ß2 ~	l)*2, х 2 = (у2 -	I)2, х г + x 2 = ,
где ß2 =	4,	Y2 = 9.		Тогда оба уравнения тождественно удовлѳтво.
ряются,	если		л: определяется из условия
	Z i - f			или (ß2 — 1)я2	+ (V2 — 1)г2 =

т. ѳ. поверхность рациональна. Все примененные подстановки бира-

циональны.
Задача ІІ26 решается аналогично.
20. Задачи ІІ2о и I Іа? эквивалентны системам
Х хХ 2 ± Х г =	У2,
X LX 2 ± Х 2 =	У2.
Y 1 + Y 2 = а,

где (для задачи Иге) а = 6. Каждая из систем определяет простран

ственную кривую четвертого порядка. Диофант здесь снова при меняет метод образующих, а именно для обращения второго уравне

ния в тождество он делает

линейные

подстановки

Jfi =

ßaa: — 1,

Х 2 = х,

y2=ßx

(ß = 2).

При этом

первое уравнение принимает вид

ß2z2 + (ß2 _

1)2 _

1 =

У2.

Полагая

У2 =

о — ßx, он

находит

а2 +

ß2+

2aß — 1

•

Задача ІЬл решается аналогично.

21.

Задачи

ІІ28 и Иге сводятся

соответственно

к системам

Х \ Х \

± X \ =

Y\,

у2у2 _і_

_ Ѵ2

л іл а —

—

*2’

каждая

из

которых определяет А 2

в Q4.

Поскольку

(в задаче Иге) X 2 (X | +

= У2,

то Х \ +

1 = р .

Диофант полагает сторону этого квадрата

равной

х — ß

(ß — 2),

Х 2 =

X ,

т. е.

применяет

метод

В.

Тогда

Хъ = !ß2— 1

= т].

значит,

2ß

Уі = (*_Р).Гі.

ß2- H

z -

[

- T

A ]

2ß

203

К О М М Е Н Т А Р И И

Второе уравнение дает

Для его решения Диофант вновь применяет метод В.
Задача ІІ20 решается				аналогично.			Все	преобразования	бира-
циональны.
22.	Задача 1І30	эквивалентна				системе
		р А		+	( Х 3+	Х 2) = У 2 ,
		1* А		-	( А \ +	Х 2) =		У 2,
которая	определяет	А 2	в	Q4.
Для	решентш Диофант пользуется						тождеством
	а- +		Ь~ +		2ab =	(а + Ь)2.
Он полагает
=	(ß2 + Т 5) * * .	Х а	+	Х 2= 2ßyx2,			Х х = .г, X , = (Р* +		у2)х;

тогда оба уравнения тождественно удовлетворяются и х получается
из условия	Х х +	Х 2= 2ßyx2,				т. е.
	(ß2 +	у2 +		1)х = 2ßyx2			(ß =	2,	у = 3).
Окончательно получаем
Х і =	ß2 +		y2+ l			=	(ß2 +	у2)	,
	X =		2ßT		'

Обратно,	Уі =		(ß +		Y)z,	Y 2 = (y -			ß)x.

	V _ 1 Yi + У2						І У 1 - У 1
	'	2		Xi	’	P	2	X i
T. e. преобразования бирациональны.
23. Задача II31			эквивалентна системе
						Хх +	Х2 =	У2,
			■х а + А + Х2) = у J,
			Х А - (Хх + Х2) = У2,
которая определяет А -				в Q5. При ее решении Диофант пользуется

методом предыдущей задачи,			только полагает в используемом
тождестве Ъ =	2а. Это он делает для			того, чтобы сумма	Хх + Х2
была полным	квадратом.
24. Задачи	ІТ32 и ІІ33 приводятся соответственно к				системам
	X 2	±	Х2 =	У2,
	X 2	± Х 3 =		У2,
	X I	±	Хг -	У*,

204

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А I I

каждая из которых определяет Л 3 в Q°. Эти задачи являются соответ ственно обобщениями задач ІІ20 п ІІ21 этой же книги со случая двух неизвестных на случай трех.

Здесь также применяется метод образующих. Подстановки

Диофанта для задачи ІІ32 таковы:
Х 2 =	х, Х 2 — 2ах + а 2,		= х - f	а	(а =		1),
Х 3 =	2ßX2 + ß2 = 2ß(2ai +		а 2) +	ß2,	Y 2 =		2ax +	а 2 + ß
(ß =	l).
'Тогда два первых уравнения		обращаются			в	тождества,		а третье
уравнение дает
	[2ß(2az + а 2) +		ß2]2 +	х =		Y%.
Полагая	У3 = 4<xßx — б (б =	4),	получаем
	б2 — 4a4ß2 — ß1 — 4asß3
	16a8ß2 +	8ctß3 + 1 + 8aßö *

Легко проверить, что преобразования Диофанта бирациояальны.

25. Задачи П 34 и П 36	сводятся к	системам
Х \ ± ( Х 2 + Х2 +	Х3) = У?	( і = 1 ,2 ,3 ),

каждая из которых определяет А 3 в Qe.

Эти задачи являются обобщением на случай трех неизвестных задач ІІ22 и ІІ23, однако метод решения здесь иной. Для того чтобы удовлетворить всем трем уравнениям. Диофант пользуется тож деством

Далее, он выбирает число N , которое можно разложить на множи

тели тремя различными способами (очевидно, здесь речь идет о целых'числах):

	N =	а 2а 2 =	ßißj =	ѴіУг
(у Диофанта N =	12),. и полагает		(в случае задачи Над)
X, = aJ	- .aaі ,	x ^ P l-JL2*,		Х з = I l = lL2 X,

Тогда все три уравнения тождественно удовлетворяются при усло

вии, что Хі + Х2+ Х 3 =	Nx-, т. е. ^ -	~—2 + ’3' -	у - +	* =
= Nx* и х = Ді 4~ ßi + ''	^	, Таким	образом,	неиз-

205

К О М М Е Н Т А Р И И

вестныѳ выражаются как рациональные функции семи параметров, которые связаны тремя соотношениями, т. е. получаем четыре сво

бодных параметра. Но Диофант полагает а 2 = 1. И действительно,

как нетрудно проверить, функции, через которые выражаются не известные, зависят от отношения параметров к одному из них, на пример к а 2, т. е. эти функции, по существу, зависят от трех пара метров.

Нетрудно также проверить, что параметры в свою очередь вы ражаются рационально через Х \, Х 2, Х 3, Уі, У2, У3, т. е. преобра

зования бирациональны. Так, например,

® і = А Т

У х , а 2= У і — Х і .

Задача ІІ35 решается аналогично, только тут Диофант пола

гает

КОММЕНТАРИИ К КНИГЕ III

По своему содержанию и методам книга Ш тесно примыкает к книге II, являясь ее непосредственным продолжением. Это особен но относится к задачам IIIj_4: первая из них дополняет1) задачи Из« и Ц 35, а вторая и третья представляют распространение задач ІІ24 и ІІ25 на случай большего числа неизвестных, задача же 1114 дополняет задачи ІІІ2 и ІІГ3 в том же смысле, в каком ІІД допол няет задачи ІІ34 и ІІ35. Это дало повод П. Таннери считать, что

первые четыре задачи попали в третью книгу из старинного ком ментария. Мы полагаем, что нет достаточных оснований для такого мнения. Скорее всего, эти задачи либо включались первоначально

в книгу II, либо книга Ш начиналась с задач Им и ІІ35,							которые
') Задачи'] II«/ и II,5 вквивалептпы	системам	х \	+ (X ,	+	1	rf	X,)	■=	y f
( i'”= 1,'2, 3), а вадача Ш , сводится	к системе	X ,	+ X ,	+	X	—	х \	«=	У*

(і -= 1, 2, 3),

206

Смотрите также файлы

Конспект лекций по дисциплине для студентов направления подготовки.pdf

Дипломды жоба 5В030100 ытану.docx

Йцуйывмао двшатйжцвть цвт длшитжз Йцуйывмао двшатйжцвть цвт длшитжз.docx

0, так как оплаты не было.docx

Инструкция по требованиям безопасности при пользованиями бытовыми электроприемниками.docx

Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно