Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

АРИФМЕТИКА КНИГА V

Чтобы распространить этот метод на случай произволь­ ного отношения, достаточно взять в качестве одного из иско­ мых чпсел X плюс избыток большого члена отношения над

меньшим, а в качестве второго числа — сам этот избыток, что мы и сделали для отношения 2 к 1. Действительно, при этом свободный член в окончательном произведении будет квадратом, и уравнение будет решаться без труда. Этим спо­ собом придем к двум числам, которые мы обозначили В и D,

а затем вернемся к первоначальному вопросу. Просматривая еще раз то, что было написано по поводу

задачи 25 Диофанта, я хотел было все стереть, так как на самом деле эта задача не сводится к вопросу, решение кото­ рого мы дали. Однако, если мы и ошиблись в сведении од­ ного вопроса к другому, тем не менее этот последний был ре­ шен правильно; наш труд был скорее не потерян, а неудачно помещен, поэтому мы его оставляем таким, каким мы его написали на полях.

Сам же вопрос Диофанта мы подвергли новому исследо­ ванию, и, тщательно применив наш метод, получили наконец общее решение; однако мы приведем только один пример,

сами числа которого покажут, что они были найдены не слу­ чайно, но с помощью регулярного метода.

В предложении Диофанта ищутся два прямоугольных треугольника при условии, что произведение гипотенузы и катета одного имеет к произведению гипотенузы и катета

19.Задачи Ѵ23, Ѵ24 сводятся соответственно к задачам Ѵ22, Ѵ21. Задачи Ѵо5 и Vjo — к задачам Ѵ22 и Ѵ23.

20.Задачи Ѵа? и Ѵаа эквивалентны системам

28 5

КОММЕНТАРИИ

В первом случае Диофант берет а ~ 15, во втором а ~ 13. Мы

приведем здесь ход решения для первого случая. Диофант закреп­ ляет одно из неизвестных, полагая = у (у = 3), тогда первое и третье уравнения примут вид

левой части последнего уравнения будут полными квадратами.

После этого неизвестные определяются как рациональные функции параметров у, р, q, причем последние два параметра связаны соот­ ношением р 2 + д2 = г2.

Заметим, что при выбранных Диофантом значениях параметров неизвестные Х г и Х 3 получаются отрицательными (—1/10 и

— 23/15), однако Диофант принимает эти решения, так как он ищет квадраты неизвестных, которые, разумеется, получаются положи-

2S6

АРИФМЕТИКА КНИГА V

тельными. Таким образом, его нисколько не смущает, что проме­ жуточные значения отрицательны.

Ферма сделал замечания к обеим этим задачам. Замечание к задаче V», (№ XXXI):

«Благодаря этой задаче мы получаем решение воироса, который без этого казался очень трудным:

Дано число, найти четыре числа, сумма любых двух из которых при прибавлении данного числа образует квадрат.

Пусть даио число 15; сначала найдем по методу этой за­ дачи три числа, сумма любых двух из которых вместе с заданиьш чпслом образует квадрат. Пусть эти три квадрата будут

как если взять сумму первого числа и какого-нибудь из оставшихся и если прибавить 15, то будет квадрат.

Нужно еще, чтобы получились квадраты, если прибавить 15 либо к сумме второго и третьего, либо к сумме третьего и четвертого, либо к сумме второго и четвертого. Получится тройное равенство, решение которого очевидно, так как конструкцией, метод которой мы заимствуем из данной зада­ чи, можно в каждом из выражений, которые мы приравниваем квадратам, сделать свободный член квадратом. Смотри но

Замечание Ферма к задаче V2s (№ XXXII):

«Способом, аналогичным примененному к предыдущему вопросу о нахождении четырех чисел, сумма любых двух из которых, увеличенная на данное число, образует квадрат, можно решить и этот вопрос о нахозіедении четырех чисел, сумма любых двух из которых, уменьшенная на данное число, образует квадрат.

А именно положим: первое число равным X2 + данное число, второе число — сумме первого квадрата, найденного

вэтой задаче, и удвоенной его стороны, умноженной на X ,

ит. д. Остальное очевидно».

28 7

КОММЕНТАРИИ

21. Задача Ѵао эквивалентна уравнению

X4 + У'1 + Z* = Р2.

Схема решения Диофанта такова. Чтобы уничтожить члены четвер­ той степени, он делает подстановку

V = X й — (У3 + Z2),

причем первое число он выбирает в качество основного неизвест­ ного, а двум другим придает произвольные числовые зиачеиия.

Тогда

Y2 = Y-Z-

У - + Z '- •

Поскольку последняя дробь должна быть квадратом, Диофант тре­ бует, чтобы

У2 + Z2 = □ ,

т. е. У и Z должны быть катетами прямоугольного треугольника

врациональных числах; значит,

Таким образом, неизвестные выражаются как рациональные функ­ ции двух параметров. Решение Диофанта отвечает значениям а = 1,

Р = 2-

Замечание Ферма (№ XXXIII):

«Почему же он не ищет двух биквадратов, сумма которых была бы квадратомі Конечно, потому, что эта задача невоз­

можна, как это с несомненностью показывает наш метод доказательства».

22. Задача Ѵзо, завершающая книгу, формулируется в виде эпиграммы. Текст ее испорчен. Над его восстановлением работали историки науки и филологи, начиная от Баше и кончая Таннери. Отметим, что все остальные задачи Диофанта формулируются аб­ страктно, задача Ѵ30 — единственная, условию которой придана псевдопрактическая формулировка.

С алгебраической точки зрения задача сводится к системе

№ + 5 Х 2 = У2,

|(Х , + х 2у = У2 + я-

288