Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

АРИФМЕТИКА КНИГА V

Задача Ѵ17 решается тем же методом.

При решении задачи Vjo Диофант полагает

Х і + Хъ + Ха = х,

тогда все три уравнения удовлетворяются при условии, что

причем

Диофант накладывает па искомые кубы еще одно условие, а именно:

—+ — + —< !• ß8 ^ Т8 ^ 68 ^

Тогда z2 > 2. Диофант выбирает z2 = 9/4 и получает

Далее, Диофант домножает числитель и знаменатель 3/4 на 54, тогда знаменатель будет 216 = 6s, а числитель 162. Он представляет его в виде 162 = 125 + 64 — 27, не объясняя, как было получено это разложение.

П. Таннери предположил, что разложение Диофанта было получено следующим образом:

216 = б3 = 53 + 43 + З3,

или

или

І1.216 = 162 = 53 + 43— З8. 4

Знал ли Диофант, что всякое целое пли рациональное число можно представить в виде суммы трех рациональных кубов?

275

КОММЕНТАРИИ

Предложение это, как видно из замечания Ферма, которое мы приводим ниже, не было известно ни ему, ни тем более Баше и Виету. О нем не знал и Эйлер. Доказано оно было только в XIX веке (см. L. Е. Dikson, History of the theory of numbers, t. II, New York, 1966, s. 726).

Диофант не ссылается на то, что оно было установлено им в ка­ ком-либо из не дошедших до нас произведений, с другой стороны, он не накладывает никаких ограничений на разлагаемые числа. Скорее всего, он нашел это предложение чисто эмпирически, но не мог обосновать его.

Далее, Диофант утверждает, что разность двух кубов всегда можно представить в виде суммы двух других кубов. При этом он ссылается на предложение, доказанное им в не дошедших до нас «Поризмах». Об этом предложении, которое с помощью методов Диофанта доказали Р. Бомбѳлли, Ф. Виѳт, Баше и П. Ферма, см. в

что и даст решение задачи.

Замечание Ферма к задаче Vie (№ XXVIII):

«Либо греческий текст испорчен, либо Диофант пе из­ ложил способа решения. Баше полагал, что Диофанту помог случай, однако мы не можем этого допустить, так как мы думаем, что метод Диофанта нетрудно отыскать.

Требуется найти квадрат, больший двух и меньший трех, такой, что по вычитании его из трех получается число, кото­ рое представляется суммой трех кубов.

Возьмем в качестве стороны искомого квадрата некоторое

которое нужно представить в виде суммы трех кубов так, чтобы получилось равенство между двумя членами, имею­ щими последующие степени.

Это можно сделать бесконечным числом способов: пусть сторона одного из кубов будет 1 — Ѵ3Х, другого же 1 -f- X

276

АРИФМЕТИКА КНИГА V

(чтобы в сумме этих двух кубов член первого порядка был бы 2Х)\ сторона третьего куба должна состоять из одного члена, содержащего X , который к тому же надо снабдить знаком минус, чтобы значение X оставалось в намеченных

пределах; нетрудно выбрать коэффициент этого члена, со­ держащего X , так, чтобы решение действительно лежало

внутри пределов, о которых шла речь.

После того, как это сделано, ясно, что наш первый куб будет меньше единицы, как это было желательно; напротив того, второй больше, а третий снабжен знаком минус; нужно найти два куба, сумма которых равнялась бы разности вто­ рого и третьего; мы придем, таким образом, как и Диофант, ко второй операции.

„Из «Поризмов» мы имеем,— говорит он,— что раз­ ность всяких двух кубов равна сумме двух кубов“.

Здесь Баше вновь находится в затруднении, и, поскольку «Поризмов» Диофанта у него нет, он считает, что задача воз­ можна только при некоторых ограничениях; он учит, как разложить на два куба разность двух кубов, но только при условии, что больший из заданных кубов превосходит уд­ военный меньший. Он откровенно признается, что не знает, как можно в общем случае разложить на два куба разность

и все четыре уравнения системы обращаются в тождества при усло­

вии, что

(ß2 + у2 + б2 — 3) а» = а2,

т. е.

ß2 + у2 + б2 - 3 = t \

277

КОММЕНТАРИИ

Замечательно, что Диофант решает эту последнюю задачу в общем виде. Он полагает ß2 — 1 равным t4 — 2t2 (для неизвестно­

одним символом для обозначения неизвестного. На самом доле,

15.Задача Ѵы эквивалентна системе

Решение этой задачи утеряно. Фрагмент, помещенный в тексте непосредственно после условия, представляет решение другой задачи. Баше предположил, что между задачами Ѵі0 и Ѵ20 были

Реконструкции решения задачи 193, основанные на дошедшем фрагменте, приведены в комментариях к «Арифметике» Г. Вертгейма, Вер-Экке и Э. Стаматиса (см. соответствующие издания «Арифме­ тики» Диофанта).

Э. Стаматис предложил также реконструкции решений задач Vie, Vie, и Vie,, из которых мы приведем здесь решение задачи Ѵі*:

2 7 8

АРИФМЕТИКА КНИГА V

«Положим опять сумму трех искомых равной ж2, а наж-

лучается, что куб суммы всех трех по вычитании каждого из них дает квадрат.

Остается приравнять сумму этих трех квадрату. Но их

371

сумма будет — аfi, приравниваем ее .г2. После разделения

144

371

на X2 получится, что ---- аг1 = 1.

144

Но 1 есть квадрат, имеющий стороной тоже квадрат;

371

следовательно,!—і ж4 тоже должно быть квадратом, имеющим

144

стороной квадрат. Если бы 371/144 было квадратом со сто­ роной квадратом, то задача была бы решена. Откуда же полу­ чилось количество х4? Опо получилось после вычитания из

3 трех квадратов, каждой из которых был меньше 4; дело приводится к отысканию трех квадратов, каждый из которых

образом, остающийся после вычитания квадрат с квадратной стороной должеп быть больше 2; пусть он будет 1296/625.

суммы трех чисел после вычитания каждого дает квадрат. Остается сумму трех приравнять ж2, сумма же трех будет

279