Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

КОММЕНТАРИИ

Диофант берет p/q — Ѵ4, тогда

и дело сводится к представлению 13/64 суммою трех квадратов, что сделать нетрудно, так как 13 = 4 + 9 и любой из этих квадратов (Диофант выбирает 9) можно представить в виде суммы двух рацио­ нальных квадратов (см. задачу І18).

17.Задача V 21 эквивалентна системе

Тогда все уравнения системы обратятся в тождества при условии,

Диофант принимает сторону неизвестного квадрата равной произ­ ведению катетов одного пз треугольников, пусть это будет а3Ъ3, а катеты другого треугольника, пусть а2 п blt принимает равными

3 и 4, тогда 12я2& = аз^з-

Обе части равенства можно разделить на 4 — наибольший квад­ рат, содержащийся в 12 (или, если угодно, можно считать, что сто­ рона неизвестного квадрата равна не а3Ь3, а 2а3Ь3); тогда

« А = За2Ь2.

Итак, мы приходим к задаче: найти два прямоугольных треуголь­ ника, площади которых имеют отношение 3 : 1 . Диофант приводит два треугольника, обладающих нугкным свойством, а именно (9, 40, 41) и (15, 8, 17), не объясняя, как они были найдены.

Формулы для нахождения прямоугольных треугольников в ра­ циональных числах, площади которых имели бы заданное отношение,

280

АРИФМЕТИКА КНИГА V

приводит в своем замечании Ферма, одпако и он не говорит, как он нашел эти формулы.

Замечание Ферма (№ XXIX):

«Вот как я восстанавливаю и объясняю метод Диофанта, который Баше не понял.

Взяв в качестве первого треугольника (3, 4, 5), для которого произведение сторон, содержащих прямой угол, есть 12, Диофант говорит: „Придется искать два прямоуголь­ ных треугольника таких, чтобы произведение катетов одного было в 12 раз больше произведения катетов другого".

Основа этого заключается в том, что если перемножить между собой эти два произведения, то получится плоское число, подобное 12, и, значит, умножая это последнее число па 12, получим квадрат, что и требуется в задаче.

Диофант продолжает: „или чтобы площадь одного была в 12 раз больше площади другого“,— что ясно само по себе. Далее: „Но если в 12, то можно и в три"; действительно, разделив 12 на квадратное число 4, получим 3; и перемно­ жение всех оснований и высот даст квадрат, так как деление квадрата на квадрат дает квадрат.

Продолжение текста Диофанта не доставляет решения задачи, но мы восстанавливаем его так:

В данном случае образуем один из треугольников из чисел 7 и 2, а другой — из 5 и 2. Первый треугольник будет иметь площадь, в три раза большую, чем второй, и оба они удовлетворяют задаче.

Вот общее правило для нахож дения прямоугольных тре­

угольников, площ ади которых находятся в заданном отно­

') Треугольники, которые выбрал Диофант, паіідены именно этим вторым способом. Они отвечают значениям R = 3, S = 1, причем второй треуголь­ ник должен быть образован из чисел R — 2S, К + S. (Прим. ред.)

281

КОММЕНТАРИИ

И н а ч е.

Образуем первый треугольник из 67? и 27? — S,

образуем второй треугольник из 67? и 7? — 26\ Из предыдущего можно извлечь метод нахождения трех

прямоугольных треугольников, площади которых пропорцио­ нальны трем данным числам, лишь бы сумма двух из этих чисел равнялась учетверенному, оставшемуся.

Пусть даны, папрпмер, три числа 7?, S, Т, и пусть R, S вместе составляют учетверенное Т. Тогда три треугольника

образуем следующим образом:

первый из 7? + 4іУ и 27? — 4>У, второй пз 67? и 7? — 2S,

третий из AS + Т л 47? — 2Т.

Мы предполагаем здесь, что 7? больше Т.

Равным образом можно отсюда извлечь метод нахождения трех прямоугольных треугольников в числах, площади кото­ рых образуют прямоугольный треугольник.

Вопрос можно свести к нахождению треугольника, у кото­ рого основание и гипотенуза равны учетверенпой высоте. Эта задача нетрудная, и искомый треугольник будет подобен следующему: 17, 15, 8.

А эти три треугольника образуются [числами]: первый 49 и 2, второй 47 и 2, третий 48 и 1.

Равным образом можно извлечь метод нахождения трех треугольников, площади которых пропорциональны трем, данным квадратам, если только два будут равны учетверен­ ному оставшемуся',таким же путем можно найти три тре­ угольника с одинаковой площадью, мало того, можно беско­ нечным числом способов построить два прямоугольных тре­ угольника, площади которых находятся в заданном отноше­ нии, умножая один из членов отношения или оба на заданный

квадрат, и т. д.».

План решения тот же, что и в предыдущей задаче.

282

аМгФметика книга ѵ

Диофант берет три прямоугольных треугольника (%, Ь2, сх), (а2, Ь2, с2) и (я3, Ь3, с3), поскольку

Ь а _ _

Тогда псе уравнения системы удовлетворяются при условии, что

(ЬіЫ з\ 2 ^ = х.2

\ С і С 2 С з /

или

ЪіЬФ3сіргсз — р .

Диофант принимает Ьі = 4, а — 5, а сторону неизвестного квад­

рата — равной Ь3с3, тогда

20й2е2 = 53с3,

или, как и в предыдущем случае, сокращая на 4, получим

Для решения этой задачи Диофант берет сначала два треуголь­ ника, площади которых относятся, как 1 : 5 . Он выбирает треуголь­ ники (3, 4, 5) и (5, 12, 13). Исходя из них, он ищет два других тре­ угольника, в одном из которых произведение катета на гипотену­ зу равно 6, а в другом — 30. Диофант не говорит о том, как он на­ шел эти треугольники. Он мог для этого воспользоваться тем, что числа

составляют прямоугольный треугольник, где (я, Ь, с) — некоторый

прямоугольный треугольник в рациональных числах. Действительно, исходя из двух выбранных им треугольников,

(7, 24, 25) и (119, 120, 169). Эти треугольники вместе с треугольником (3, 4, 5) и дадут катеты и гипотенузы, нужные для решения задачи.

Поскольку Диофант пе изложил метода нахождения треуголь­ ников, обладающих нужным ему свойством, Ферма решил воспол­ нить этот пробел. Приводим его решение.

283

Нужно найти два прямоугольных треугольника таких, чтобы произведение катета и гипотенузы одного из них имело задан­ ное отношение к произведению катета и гипотенузы другого.

Этот вопрос долго нас мучил, и тот, кто попробует его решить, сможет убедиться, что ои действительно труден, но наконец был открыт метод общего его решения.

Пусть требуется найти два треугольника таких, что про­ изведение катета и гипотенузы одного из них вдвое больше произведения гипотенузы и катета другого.

Пусть один из треугольников образован из чисел А и В ,

Это значит, если частное от деления 2D3 — Б 3 на Б — 2D

будет квадратом, то задача будет иметь решение.

Значит, нужно найти два числа, Б и D, удовлетворяющие

условию, что удвоенный куб одного минус куб другого, разде­ ленный или умноженный (что приводит к тому же) на удво­

+~2 Л •g--'1 ■ Остальное не составит труда.

284