Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

АРИФМЕТИКА КНИГА I

[PI н а ч е.] *). Так как три числа, начиная с 1-го, превосходят 4-е на 20, то положим 4-е число равным х; следовательно, первые три числа будут х + 20. Затем три числа, начиная со 2-го, больше первого на 30 2).

Положим, что вместе взятые 2-е и 3-е числа содержат столько единиц, сколько их будет в половине суммы двух избытков (я говорю о 20 и 30), т. е. 25. И так как три числа,

на 30, а три, начиная с 3-го, больше 2-го на 40, то вместе взятые 3-е и 4-е числа будут 35 3). Следовательно, оста­ ющееся 3-е будет 35 — х. Но 2-е и 3-е равны 25, и из них

3-го на 50; но сумма этих трех будет Зх — 15, а 3-е число равно 35 — X. Необходимо же, чтобы Зх — 15 превосхо­ дило 35 — х на 50; таким образом, 85 — х равно Зх — 15;

иX получается равным 25.

Кподстановкам. Я положил 1-е число х — 5; оно будет

20; точно так же 2-е будет 15, 3-е же 10, а 4-е 25.

20. Заданное число разложить на три таких числа, чтобы каждое из крайних, сложенное со средним, имело к оставшемуся крайнему заданное отношение.

Пусть предложено разложить 100 на три числа так, чтобы сумма 1-го и 2-го была втрое больше 3-го, а 2-е и 3-е вместе были в четыре раза больше 1-го.

Положим, что 3-е число будет х; так как 1-е и 2-е втрое больше 3-го, то положим, что оба вместе будут Зх. Следовательно, все три числа будут 4х, они же равны

(При.н. перса.)

51

ДИОФАНТ

Далее, поскольку 2-е и 3-ѳ вместе вчетверо больше 1-го, то возьмем 1-е за х , следовательно, 2-ѳ и 3-е будут 4z; значит, все три будут 5z, или 100; и х окажется рав­ ным 20.

Таким образом, 1-е будет 20; 2-е же и 3-е 80, из кото­ рых 3-е будет 25; значит остающееся 2-е будет 55. И они удовлетворяют предложенному.

21. Найти три таких числа, чтобы наибольшее пре­ вышало среднее на заданную часть наименьшего, среднее же превосходило меньшее на заданную часть большего, а наименьшее на данное число превосходило бы задан­ ную часть среднего.

Необходимо, чтобы среднее превосходило наименьшее на такую часть наибольшего, чтобы одноименное с такой же частью х) число, умноженное на разность среднего и наименьшего, содержало количество 2) [неизвестных] чи­ сел большее, чем [содержит] среднее число.

Положим, что большее превышает среднее на третью часть наименьшего, а среднее больше наименьшего на третью часть большего, наименьшее же на 10 превышает третью часть среднего.

Положим наименьшее равным z и 10, на которые оно превышает третью часть среднего; тогда среднее будет 3z, так как наименьшее равно третьей части среднего и 10. Или так: положим среднее 3z; и так как я хочу, чтобы наименьшее превосходило на 10 третью часть этого сред­ него, то оно будет X + 10.

Остается, чтобы среднее превзошло наименьшее на третью часть первого числа; но среднее больше наимень­ шего на 2z — 10, это же будет третьей частью наиболь­ шего; значит, само наибольшее будет 6z — 30.

Нужно, чтобы это наибольшее превышало среднее на третью часть наименьшего; но наибольшее превосходит среднее на 3z — 30; значит, это есть третья часть наимень­ шего; следовательно, наименьшее равно 9z — 90; но най­ дено, что оно будет z + 10; и z оказывается равным 12Ѵ2.

Таким образом, [наименьшее] число будет 22Ѵ2, сред­ нее 37Ѵ2, наибольшее же 45, и удовлетворяют предложен­ ному.

52

АРИФМЕТИКА КНИГА X

[И н а ч е.] *) Найти и т. д.

Необходимо, чтобы даваемая часть наибольшего была такой, чтобы после прибавления к наименьшему она со­ ставила бы с ним число меньшее того, которое в начале было взято от среднего.

Положим опять наименьшее ж и 10, на которое оно пре­ восходит третью часть среднего; следовательно, среднее будет Зх, чтобы наименьшее число было на 10 больше 3-й части среднего. Далее, так как я желаю, чтобы наиболь­ шее число превышало среднее на третью часть наимень­ шего, то, если я прибавлю к среднему 3-ю часть наимень­ шего, то получу наибольшее равным ЗѴ3х + З1/3. Оста­ ется чтобы среднее было равно наименьшему и 3-ей части наибольшего, но наименьшее с третьей частью наиболь­

ными друг другу, если каждое из них дает следующему за ним указанную свою часть.

Пусть 1-е число дает 2-му свою треть, 2-е же 3-му четверть, а 3-е 1-му свою пятую часть, так чтобы после взаимного обмена все числа оказались равными.

Возьмем 1-е число так, чтобы оно имело третью часть, ибо оно должно отдать треть; пусть оно будет Зх; 2-е же должно иметь четвертой частью сколько-то единиц, ибо оно должно отдать четверть. Полошим, что оно будет 4;

53

ДИОФАНТ

нется 12 — 4z. Когда же оно получит от 2-го числа чет­ верть, т. е. 1, то станет 13 — 4z. Это будет равно х + 3; тогда X окажется равным 2.

К подстановкам. 1-е будет 6, 2-е 4, а 3-е 5. И предло­ женное очевидно [выполняется].

23. Найти четыре таких числа, чтобы после того, как каждое отдало следующему указанную свою часть, от­ давшее и получившее стали бы равными.

Пусть 1-е число дает 2-му свою третью часть, 2-е же 3- му — четверть, 3-е же 4-му — свою пятую часть и, наконец, 4-е дает 1-му шестую часть и после обмена они станут равными.

Положим 1-е число нескольким х , имеющим третью часть, так как оно отдает третью часть; пусть оно будет 3z; пусть четвертая часть 2-го числа содержит целое число единиц, так как оно должно отдать четверть; пусть 2-е будет 4. Таким образом, 2-е число, дающее свою чет­ верть — единицу и получающее х — 3-ю часть от 1-го, станет х + 3.

Следовательно, 1-е число, отдающее свою треть х и получающее от 4-го его шестую часть, должно стать рав­

частью 3-го числа, и, значит, последнее будет 30z — 60. Тогда нужно, чтобы 3-е число, отдав свою 5-ю часть и получив от 2-го его 4-ю, стало бы х + 3. Но если оно

отдаст свою 5-ю часть, т. е. 6z — 12, то будет иметь в

114 23-х частей *); избавимся от дробей, тогда числа будут:

*) хх «= Зх, X* = 4 , X* ■= ЗОх — 60, х4 ■= 18 — 6х; х «= 50/23. {Прим, порей.)

54

АРИФМЕТИКА КНИГА I

1-е — 150, 2-е — 92, 3-ѳ — 120, 4-ѳ — 114. И они удов­ летворяют предложенному.

24. Найти три таких числа, которые становятся рав­ ными после того, как каждое из них получает заданную часть от суммы двух других.

Пусть 1-е число получает З-ю часть от двух остальных объединенных, 2-е от двух остальных объединенных полу­ чает 4-ю часть, а 3-е от двух остальных объединенных получает 5-ю часть и все они становятся равными.

Положим, что 1-е будет х, а два остальных — сколькото единиц, имеющих для удобства З-ю часть целой, так как они дают третью часть; пусть это будут 3 единицы. Следовательно, все три вместе будут х -f- 3, а 1-е, полу­ чившее от двух остальных З-ю часть, становится х -j- 1.

Следовательно, нужно будет, чтобы 2-е, получив от двух остальных объединенных 4-ю часть, стало бы х -f- 1. Учетверим все, тогда учетверенное 2-е вместе с двумя остальными будет равно утроенному 2-му вместе со всеми тремя -1); следовательно, утроенное 2-е вместе со всеми

равно X + Ѵз-

Тогда нужно, чтобы 3-ѳ число, получив 5-ю часть от объединенных двух остальных, стало х + 1. Так же как и выше, упятерим все, и на основании таких же рассуж­ дений получится, что 3-е будет х + 1/2.

каждое от трех остальных объединенных заданную часть, сделались равными.

Пусть 1-е получит от трех остальных объединенных третью часть, а 2-е от остальных трех объединенных чет­ вертую часть, 3-е же также от трех пятую часть, а 4-е — шестую. И они станут равными.

Положим, что 1-е будет х, а три остальных имеют сколь­ ко-то целых единиц в третьей части, так как они отдают

*) 4 [*« + Ѵі (жа + ж,)] = Зжі + (ж, + X, + X,). (Лрим. перво.)

55

ДИОФАНТ

3-ю часть; пусть это будут 3 единицы; следовательно, [все четыре вместе будут х 3, а] 1-е, получив от остальных объединенных третью часть, будет х + 1 Э-

Тогда нужно, чтобы 2-е, получив от остальных объе­ диненных четвертую часть, стало бы равным х -[- 1 2). Опять таким же образом учетверим все, получим, что 2-е

число будет X + 1/3, 3-е — х -|- Ѵг> 4-е — х + 3/ б.

Остается, чтобы сумма всех четырех оказалась равной X + 3; отсюда получается, что х = 47 90-х частей.

Тогда будут: 1-е равняться 47, 2-е 77, 3-е 92 и 4-е 101 Они удовлетворяют предложенному.

26. Для двух заданных чисел найти некоторое число, которое, будучи умножено на каждое из этих чисел, в од­ ном произведении дает квадрат, а в другом — сторону квадрата.

Пусть два данных числа будут 200 и 5, а искомое пусть будет X.

Если оно будет помножено на 200, то произведет 200ж,

ана 5 произведет 5х. Одно из них должно быть квадратом,

адругое — стороной его. Теперь, если я возведу в квадрат

5х, то получится 25а.-2, которые будут равны 200а. Разделим все на х; тогда 25а равно 200; н х = 8 и

удовлетворит предложенному.

27. Найти два таких числа, чтобы их сумма и произве­ дение равнялись заданным числам.

Нужно, чтобы квадрат полусуммы искомых отличался от их произведения па квадрат. Это необходимое условие формирования 3).

Пусть их сумма будет 20, а произведение 96. Положим, что их разность будет 2х. Так как их сумма

равна 20, то, если я разделю ее пополам, каждая из получеппых делением частей будет равна половине суммы, т. е. 10. И если половину разности, т. е. х, я прибавлю к одной полученной от деления половине и вычту из другой, то у меня опять получатся сумма 20 и разность 2х. Положим

3)У Диофанта есть Be тоито - ?аа',Латіхпѵ.

Текст не совсем ясен, по-видимому, имеется в виду формирование раци­ онального решения. (При.\і. реО.)

56