Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА I

Остается, чтобы произведение их было 96. Но их произведение будет 100 — х2; это же равно 96; и

X = 2 .

Следовательно, большее будет 12, а меньшее 8. И заданное выполнено.

28. Найти два таких числа, чтобы их сумма, а также сумма их квадратов, равнялась заданным числам.

Нужно, чтобы удвоенная сумма их квадратов была больше квадрата их суммы на некоторый квадрат. Это необходимое условие формирования х).

Пусть сумма этих чисел равна 20, а сумма их квадра­ тов 208. Положим, что их разность равна 2х. И пусть большее будет х + 10 (эта опять сумма их половин), а меньшее 10 — х. И опять их сумма остается 20, а раз­ ность 2х.

Кроме того, сумма их квадратов дает 208; но сложение их квадратов дает 2а;2 -(- 200. Это будет равно 208; и х оказывается равным 2.

К подстановкам. Большее будет 12, а меньшее 8. И заданное выполнено.

29. Найти два таких числа, чтобы их сумма и разность их квадратов равнялись заданным числам.

Пусть их сумма составляет 20, а разность их квадра­ тов 80.

Положим их разность равной 2х. Тогда точно так же большее число будет х + 10, а меньшее 10 — х, и опять их сумма остается равной 20, а разность 2х.

Кроме того, разность их квадратов равна 80; но раз­ ность их квадратов будет іОх; это же равно 80.

Иопять получается, что большее число 12, а меньшее

8.И опять задача выполнена.

30. Найти два таких числа, чтобы их разность и про­ изведение представляли заданные числа.

Нужно, чтобы их учетверенное произведение вместе с квадратом их разности давало квадрат. И это также условие формирования.

Пусть их разность будет 4, а произведение 96. Положим, что их сумма 2х\ имеем также и их разность

4. Тогда подобным же образом большее будет х + 2, а меньшее х — 2, и сумма их остается 2х, а разность 4.)•

•) См. споску3) па стр. 5(і. {Прим, ред.)

57

И опять большее получается 12, а меньшее 8. И задача выполнена.

31. Найти два числа, имеющие между собой заданное отношение и такие, чтобы сумма их квадратов находилась в заданном отношении к их сумме.

Пусть большее будет втрое больше меньшего, а сумма их квадратов в 5 раз больше их суммы.

Полоишм, что меньшее х, тогда большее будет За;. Кроме того, сумма их квадратов в 5 раз больше их вместе взятых; ио сумма их квадратов составляет 10а;2, а сумма

к разности их самих.

Пусть большее будет в 3 раза больше меньшего, а сумма нх квадратов в 10 раз больше разности их самих.

Положим меньшее х, тогда большее будет Зх. Кроме того, я хочу, чтобы сумма их квадратов была в 10 раз больше разности их самих; но сумма квадратов их со­ ставляет 10а;2, а разность их самих 2а;. Следовательно, 10а;2 равно 10, умноженному на 2а;.

Разделим все на х. Следовательно, І0х будет равно 20;

иX оказывается равным 2.

Иопять меньшее число будет 2, а большее 6. И они удовлетворяют предложенному.

33.Найти два числа в даниом отношении и такие, чтобы разность их квадратов имела заданное отношение к сумме обоих чисел.

Пусть большее будет втрое больше меньшего, а раз­ ность их квадратов в 6 раз больше суммы их самих.

Примем меньшее за х, тогда большее будет За;. Кроме того, разность их квадратов равна 6 раз взятой их сумме, но разность их квадратов будет 8а;2, а сумма чисел 4а;. Следовательно, 8а;2 в 6 раз больше 4а;; значит, 24а; равно 8а;2; и х получается равпым 3.

58

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА І

И меньшее число будет 3, а большее 9; и они удовлет­

Пусть большее число будет втрое больше меньшего, разность же их квадратов в 12 раз больше разности их самих.

Возьмем опять мепыпее за z; тогда большее будет Зх. Кроме того, разность их квадратов будет в 12 раз больше разности их самих; но разность их квадратов будет 8z2;

имеющие между собой данное отношение, такие, что их про­ изведение имеет заданное отношение к их сумме;

и еще два числа, имеющие между собой заданное от­ ношение, такие, что их произведение имеет заданное от­ ношение к их разности.

35. Найти два числа в данном отношении и такие, чтобы квадрат меньшего имел к большему заданное от­ ношение.

Положим, что большее будет втрое больше меньшего, а квадрат меньшего равен ушестеренному большему.

Возьмем опять меньшее за z, тогда большее будет 3z. Кроме того, квадрат меньшего равен ушестеренному боль­ шему; но квадрат меньшего будет z2. Следовательно, z2 будет ушестеренным 3z.

Таким образом, 18z равно z2; и х получается рав­ ным 18.

Меньшее число будет 18, а большее 54. И они удовлет­ воряют задаче.

36. Найти два числа в данном отношении и такие, чтобы квадрат меньшего имел заданное отношение к мень­ шему.

Пусть большее число будет втрое больше меньшего, а квадрат меньшего будет в 6 раз больше меньшего.

Возьмем точно так же большее за 3z, а меньшее z, и большее остается утроенным меньшим. Кроме того, квадрат меньшего составляет 6 раз взятое меньшее. Следовательно, z2 будет в 6 раз больше х.

59

Д И О Ф А Н Т

Таким образом, 6а; равно а;2; ы а; получается равным 6. Меньшее будет 6, а большее 18. И они удовлетворяют

задаче.

37. Найти два числа в данном отношении и такие, чтобы квадрат меньшего имел бы заданное отношение к вместе взятым числам.

Пусть большее будет втрое больше меньшего, а квадрат меньшего вдвое больше суммы обоих.

Точно так же возьмем большее за За;, а меньшее х. Кроме того, квадрат меньшего будет вдвое больше суммы обоих чисел; но квадрат меньшего будет а;2, а вместе взя­ тые Ах. Значит, X2 равно удвоенным Ах.

Следовательно, 8а; равно а;2; и х равно 8.

И меньшее число будет 8, а большее 24. И они удовлет­ воряют предложенному.

38. Найти два числа в данном отношении и такие, чтобы квадрат меньшего имел заданное отношение к их разности.

Пусть большее равно утроенному меньшему, а квадрат меньшего в 6 раз больше разности; значит, хг будет в 6 раз

большего имел заданное отношение к меньшему;

итакже два числа в данном отношении такие, чтобы квадрат большего имел заданное отношение к этому боль­ шему;

иподобно этому два числа в данном отношении такие, чтобы квадрат большего имел заданное отношение к обоим вместе взятым;

иеще два числа в данном отношении такие, чтобы квадрат большего имел заданное отношение к их раз­ ности.

39.Для двух данных чисел подобрать еще одно число такое, чтобы из этих трех, складывая по два и умножая на третье, получились три числа с одинаковыми разно­ стями.

Пусть два заданных числа будут одно 3, а другое 5,

ипусть будет нужно подобрать еще одно число так, чтобы,

60

АРИФ М ЕТИКА К Н И ГА I

складывая по два и умножая на оставшееся, можно было получить три числа с одинаковыми разностями.

Пусть искомое будет х. Если мы сложим его с 5, то, получится X + 5; если же мы помножим это на оставшееся, то получится За; + 15. Затем, если мы х сложим с 3, то получится X + 3, умножив это на 5, получим 5а; + 15. И еще, если мы сложим 5 и 3 и полученное 8 умножим на х,

большим, или средним, но 8а; может оказаться и наиболь­ шим, и средним, и наименьшим, так как значение х остается неизвестным.

Предположим сначала, что наибольшим будет 5а: + + 15, наименьшим За; + 15, а средним, конечно, 8а;.

Если имеются три числа с одинаковой разностью, то сложенные наибольшее и наименьшее будут равны удво­ енному среднему; и наибольшее сложенное с наименьшим дает 8а; + 30, это будет равно 16а;. И х окажется равным

15/4.

Таким будет искомое число, удовлетворяющее пред­ ложенному.

Но пусть наибольшим будет 5а; + 15, средним За: + 15, а наименьшим 8а;.

Если имеются три числа с одинаковыми разностями, то на сколько большее превышает среднее, на столько же

исреднее будет превышать наименьшее; но наибольшее превышает среднее на 2х, а среднее большее наименьшего па 15 — 5а;.

Таким образом, 15 — 5а; равно 2х\ и х окажется равным 15/7. Таковым будет искомое число, и оно удовлетворяет задаче.

Но пусть теперь наибольшим будет 8а;, средним 5а: + 15

инаименьшим За; + 15.

Так как теперь опять наибольшее и наименьшее равны удвоенному среднему и наибольшее вместе с наименьшим дает 11а: + 15, то это вдвое больше среднего; среднее же будет 5а; + 15.

Следовательно, 10а; + 30 равно 11а; + 15; значит, искомое число будет 15, и оно удовлетворяет предложен­ ному.

61