Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

Ди о Фа й Ф

КНИГА II

1. Найти два Гтаких числа, чтобы их сумма имела заданное отношение к сумме их квадратов.

Предположим, что их сумма является 10-й частью суммы их квадратов. Пусть меньшее будет х, а большее 2х; их сумма получается равной За;, а сумма их квадратов 5аг; следовательно, За; должны быть 10-й частью от 5а;2.

Следовательно, 30а; должно равняться 5а;2; и х ока­ зывается равным 6.

Таким образом, меньшее будет 0, а большее 12, и задача сделана.

2.Найти два таких числа, чтобы их разность имела заданное отношение к разности их квадратов.

Предположим, что их разность составляет 6-ю часть разности их квадратов.

Примем меньшее за х, а большее за 2х\ разность их оказывается равной х , разность же их квадратов За;2. Таким образом, х должен быть 6-й частью За;2.

Значит, 6х равно За;2; и х оказывается равным 2. Меньшее число будет 2, а большее 4, и задача сделана.

3.Найти два таких числа, чтобы их произведение имело заданное отношение к сумме или разности.

Предположим сначала, что произведение будет в 6 раз больше суммы.

Пусть искомые будут х и 2а;, которые могут иметь заданное отношение.

Тогда число, полученное их перемножением, будет 2а:2, а их сумма За;; значит, нужно, чтобы 2а;2 было в 6 раз больше За;.

Тогда 18а; равно 2а;2; сократим все на х. Значит, 18 равно 2а:; н х получается равным 9.

Первое число будет 9, а второе 18, и задача сделана. Если предположить, что произведение равно шести­ кратной разности, то произведение будет снова 2а;2, а раз­

ность X.

Снова 6а; будут равняться 2а;2; и х окажется равным 3.

62

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА II

Первое число будет 3, а второе 6, и задача опять сде­ лана.

4.Найти два таких числа, чтобы сумма их квадратов имела заданное отношение к их разности.

Полошим, что сумма их квадратов равна удесятерен­ ной разности. Пусть опять одно будет х, а другое 2х.

Следовательно, сумма их квадратов будет 5х2, а раз­ ность X . Тогда нужно, чтобы 5а;2 было в 10 раз больше х.

Значит, 5а;2 равно 10а;; и х оказывается равным 2. 1-е число будет 2, а 2-е 4; и они решают задачу.

5.Найти два таких числа, чтобы разность их квадра­ тов имела заданное отношение к их сумме.

Пусть разность их квадратов будет в 6 раз больше суммы.

Опять возьмем искомые числа: одно х, другое 2а:; раз­ ность их квадратов будет За;2, а сумма За;; значит, нужно, чтобы За:2 было в 6 раз больше За:.

Таким образом, За;2 равно 18а;; и х оказывается рав­ ным 6.

Идоказательство очевидно.

6.Найти два числа с данной разностью и таких, что­ бы разность их квадратов превосходила разность этих чисел на заданное число.

Нужно, чтобы квадрат их разности был меньше этой разности, сложенной с заданной разностью между раз­ ностями квадратов чисел и самих чисел.

Положим, что разность этих чисел будет 2, а разность их квадратов превосходит их разность на 20.

Меньшее будет 41/2, а большее 6Ѵ2, и они удовлетво­ ряют предложенному.

7. Найти два таких числа, чтобы разность их квадра­ тов была на заданное число больше, чем их разность, взятая в некотором отношении.

Пусть разность их квадратов будет превышать на 10 утроенную их разность.

Нужно, чтобы квадрат их разности был меньше суммы утроенной разности и заданных 10.

63

Меньшее число будет 3, а большее 5, и задача решена х). 8*. Заданный квадрат разложить на два квадрата. Пусть надо разложить 16 на два квадрата. Положим,

что 1-й равен ж2; тогда 2-й будет 16 — ж2; следовательно, 16 — ж2 тоже равно кадрату.

Составляю квадрат из некоторого количества х минус столько единиц, сколько их найдется в стороне 16-ти;

Прибавим к обеим сторонам недостающее и вычтем подобные из подобных. Тогда 5ж2 равно 16ж; и х окажется равным 16 пятым.

Один квадрат 256/25, а другой 144/25; оба сложенных дают 400/25, или 16, и каждый будет квадратом.

И н а ч е . Пусть опять нужно квадрат 16 разложить на два квадрата.

Возьмем опять за х сторону 1-го квадрата, а сторону 2-го за сколько-нибудь х-ов минус столько единиц, сколь­ ко их будет в стороне разделяемого квадрата; пусть это будет 2ж — 4.

Таким образом, будут два квадрата — один ж2, а дру­ гой 4х2 + 16 — 16ж. Я хочу, чтобы два этих квадрата после сложения дали 16.

Следовательно, 5ж2 + 1 6 — 16ж равно 16; и х окажется

16/5.

Сторона 1-го квадрата будет 16/5, а сам он 256/25. Сторона же 2-го 12/5, а сам он 144/25; и доказатель­

ство очевидно.

9*. Данное число, которое складывается из двух квадра­ тов, подразделить на два другие квадрата.

Пусть число 13, составленное из квадратов 4 и 9, надо подразделить на два другие квадрата.

Возьмем стороны 2 и 3 упомянутых квадратов и по­ ложим стороны искомых квадратов: одну равной х + 2,

•) Тавнери считает эти семь предложений нсподлиннымп; в теист пторой книги они попали из древнего комментария к 1-й кпиге. (Hptui. ре0.)

64

Д И О Ф А Н Т

Следовательно, прибавляемое число будет 97/64, и предложенное очевидно.

Чтобы избежать решения двойного равенства, нужно вести доказательство так: для 2 и 3 надо подыскать неко­ торое число, которое, будучи прибавлено к 2 икЗ, образо­ вало бы квадрат. Сначала ищу некоторое число, которое вместе с 2 образует квадрат, или некоторое число, которое вместе с 3 образует квадрат. От какого-нибудь из этих квадратов отнимают заданные единицы; остаток и будет искомым. Пусть это будет 2 единицы; вычтем их из х2; остаток будет х2 — 2, и ясно, что если добавим 2, то полу­ чим квадрат. Теперь остается получить квадрат при­ бавлением 3 единиц; но если к х2 — 2 прибавить 3, то получится X2 + 1; это должно равняться некоторому квадрату. Образую квадрат на.сминус такое число единиц, чтобы значение х2превзошло бы те единицы, которые были ранее взяты вычитаемыми, как в рассматриваемом случае 2; тогда опять в каждой из частей останется по одному виду. Пусть это квадрат на а; — 4; он будет х2 + 16 — 8х; это должно равняться х2 + 1. Придадим к обеим частям недостающее и отнимем подобные от подобных; останутся

Пусть задано отнять одно и то же число от 9 и 21 и сделать каждый из остатков квадратом. От каждого из этих чисел отниму какой-нибудь квадрат и возьму остаток; он, будучи отнят, составит квадрат. Пусть х2 будет квадрат, отнимаемый от 9; остаток будет 9 — х2.

Нужно теперь отнять 9 — х2 от 21 и получить квадрат. Но если я от 21 отниму 9 — х2, то останется х2 + 12; это будет равно некоторому квадрату.

Образую квадрат на х минус столько единиц, чтобы их квадрат был больше 12; так опять с каждой из сторон [равенства] останется по одному виду. Пусть этих еди­ ниц будет 4; тогда сам квадрат получится как х2 + 16 — 8х; это равно X2 + 12; подобные от подобных; останется 8х, равные 4; и X равен 4/8.

Но 9 единиц сводятся к 72/8, или 576/64, а вычитание из них недостающего х2, или 16/64, удовлетворяет зада­ нию.

66

а р и ф м е т и к а К н и г а i t

13. От одного и того же числа отнять два заданных числа и сделать квадратом каждый из остатков.

Пусть задано от одного и того же числа отнять 6 и 7 и сделать каждый из остатков квадратом.

Возьмем за искомое х\ если мы отнимем от него 6, то остаток X — 6 = 0 , а если 7, то остаток х — 7 = 0 ; и для них мы опять имеем двойное равенство.

Так как разность [7—6] является единицей и записы­ вается, как произведение 2 на х/2, то заключаем, что X = 121/16, что и решает задачу.

Чтобы не заниматься двойным равенством, нужно решать так. Сначала я ищу, от какого числа следует от­ нять 6, чтобы получить квадрат. К этому квадрату я, ко­ нечно, прикладываю 6, это и будет искомое. Пусть [ква­ драт] будет х2\ тогда искомое получится как о? + 6; и ясно, что если от этого я отниму 6, то отстаток будет квадратом. Следовательно, нужно будет отнять 7 от x2jr

Искомое будет 121/16, что и решает задачу.

14. Данное число разложить на два числа и найти квадрат, который, будучи приложен к каждой из частей, образует квадрат.

Пусть 20 требуется разложить на два числа. Возьмем два числа таких, чтобы сумма их квадратов

была меньше 20; пусть они будут 2 и 3; если прибавить

получим искомые, которые, естественно, после приба­ вления квадратов образуют квадраты. Но если я отниму X 2 , то остатки будут Ах + 4 и 6ж + 9. Тогда нужно будет, чтобы их сумма, т. е. 10а: + 13, равнялась 20; и х полу­ чается 7/10; 1-е будет 68/10, а 2-е 132/10, и они удовлет­ воряют задаче.

15. Данное число разложить на два числа и найти квадрат, который без каждого [из этих чисел] становится квадратом.

Пусть опять будет задано разложить 20 на два числа. Возьмем искомый квадрат на стороне х плюс столько единиц, чтобы их квадрат не превосходил 20. Пусть это