Файл: Чесноков, Н. И. Оптимизация решений при разработке урановых месторождений.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 155
Скачиваний: 0
При некоторых условиях две матрицы могут быть перемноже ны, в результате чего получается некоторая новая матрица. Пусть, например, Л — (2X3) -матрица и В — (3X2)-матрица. Тогда произ ведение А В равно
|
до _ |
( аи а10 öi.,\ |
|
Ьп |
|
|
|
* |
ь,1 |
|
|
||
|
в |
\а»і а*г а23) |
|
|
||
|
|
|
|
&31 |
|
|
( а п - Ь ц + |
0 1 2 ' ^ 2 і |
+ я 1 3 - &31 |
а ц ' 6 |
12 + О і г ' Ь г і |
+ |
0 - \ з 'Ьъг\ |
\ Ö 2 1 'b l l - Ь |
a 2 2 ' ^ l l |
+ 0 2 3 ' b 31 |
Ö21 ‘ ^ l 2 “ I“ Ct22 *^22 |
—р ^ 2 3 * ^ 3 2 ■ |
||
Полученное произведение является |
(2X2)-матрицей, |
причем каждый |
||||
элемент новой матрицы равен произведению одной из строк матри цы Л на один из столбцов матрицы В .
Правило умножения матриц определяется следующим образом.
Пусть Л — ( m X k )-матрица |
и В — (АХя)-матрица, |
тогда матрица- |
|||||
произведение |
С = А В |
есть |
(тХн)-матрица, |
компоненты |
которой |
||
равны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
&2/ |
|
|
|
|
|
СЦ — (.а і1аІЗ • |
аік) |
X |
a i i ' b i j + |
+ |
. . |
. -)ra iii'bkj- |
|
|
|
\bkjJ |
|
|
|
|
|
В этом определении важно обратить внимание |
на |
следующее: |
|||||
во-первых, умножение матрицы Л на матрицу |
В возможно |
только |
|||||
в случае, если число столбцов матрицы Л равно числу строк матри
цы В; зо-вторых, матрица-произведение |
С — A B имеет то же число |
||
строк, что и Л . и то |
же число столбцов, |
что и В; |
наконец, элемент |
матрицы Л 5, стоящий |
в і-іі строке и у-м столбце, |
получается умно |
|
жением г-н строки Л на у-й столбец В . Заметим, |
что произведение |
||
вектора на матрицу является, частным случаем умножения матриц. Примеры умножения матриц:
|
3 |
1 4\ X |
1 3 |
0 |
0\ |
|
||
|
1 |
1 |
о |
о i s |
|
|||
|
(2 |
0 |
5/ |
0 |
0 |
11/ |
|
|
. /3-1 + 1-1+4-0 |
3-3+1-1 + 4-0 |
3-0-Н-0+4-1 |
3-0+1 -0+4-1 \ . |
|||||
V2 - ]+0-1+5 - 0 |
2■3+0■ 1+5-0 |
- |
-0+0- - 0-+- 5--1 |
2 • 0+ 0- 0+5 • 1/ |
||||
_/4 10 4 4 ». \ 2 6 5 ЪГ
( S - J W - S _ §) - ( - '§ - 4 )
Если для рассмотренного выше примера задать несколько ва риантов себестоимости, например.
/ |
5 |
10 |
5 \ |
. . . |
р = |
7 |
10 |
5 |
, |
\ |
10 |
20 |
10/ . |
|
89
то суммарные затраты на добычу н переработку будут выглядеть следующим образом:
/'5 |
10 |
5 \ |
X |
( 500 |
390 |
280 |
170 |
60 |
0 |
= 7 |
10 |
5 |
0 |
100 |
200 |
300 |
400 |
450 |
|
\J 0 |
20 |
10/ |
|
V юоо |
960 |
920 |
880 |
840 |
800 |
7 500 |
7 750 |
8 000 |
8 250 |
8 500 |
8 500 \\ |
. |
8 500 |
8 530 |
8 560 |
8 590 |
8 620 |
8 500 |
|
15 000 |
15 500 |
16 000 |
16 500 |
17 000 |
17 000 ) |
|
Как видно из примера, для разных значении себестоимости суммарные затраты изменяются существенно. Во втором варианте (вторая строка) минимальные затраты соответствуют двум крайним вариантам комбинации систем в отличие от первого и третьего ва риантов. Здесь рассмотрено 18 различных вариантов, в то время как при проектировании обычно рассматривают 3—4 варианта. Та ким образом, применение матриц позволяет рассмотреть значитель
но большее число вариантов |
и |
выбрать |
|
из |
них |
наиболее |
рацио |
|||
нальный. |
|
|
|
|
более чем двух матриц. |
|||||
Рассмотрим вопрос о перемножении |
|
|||||||||
Пусть А — (тХ/г)-матрица, |
В — (ЙХ&)-матрица |
и С — (&Хя)-мат- |
||||||||
рнца. Тогда можно, конечно, |
определить |
и |
произведения ( А В ) С |
и |
||||||
А ( В С ) . Оказывается, что эти |
два |
произведения равны, т. е. |
|
|
||||||
А В С = А ( В С ) — { A B ) С. |
|
|
|
|
||||||
Правило, выраженное этим равенством, |
называется |
ассоциативным |
||||||||
законом умножения матриц. |
|
|
|
|
получили матрицу-произ |
|||||
Пусть при умножении матриц |
А на |
В |
||||||||
ведение С. Получается ли матрица-произведение |
равной |
С, если |
||||||||
умножить В на А ? |
|
|
(число столбцов |
первой |
матри |
|||||
Если В можно умножить на А |
||||||||||
цы-множителя равно числу строк |
второй |
матрицы-множителя), |
то |
|||||||
обычно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В А |
= A B , |
|
|
|
|
|
|
|
||
в чем можно убедиться на примере:
|
5 |
6) |
|
|
|
7 |
8) ’ |
|
|
тогда |
|
|
|
|
А В = |
В А |
23 |
34) |
|
31 |
4б]‘ |
|||
|
|
Это значит, что произведение матриц не обладает переместительным свойством.
Возможен другой случай: пусть
|
|
3 |
2 |
1 |
А |
В = 2 |
1 |
3 |
|
|
|
4 |
3 |
0 |
тогда |
|
|
|
|
/19 |
13 |
7 ) |
|
|
Л 0 - І 4 6 |
31 |
19)’ |
|
|
90
но произведение В А |
не существует, |
так как эти |
матрицы не отве |
||
чают условиям умножения матриц. |
матрицы А |
и В |
называются |
||
В тех случаях, |
когда A B — В А |
||||
перестановочными (коммутативными). Так, например, |
единичная |
||||
матрица (ее обозначают Е или /) |
перестановочна |
с любой квадрат |
|||
ной матрицей А того же порядка, |
причем |
|
|
||
|
А Е = Е А |
= А . |
|
|
|
Таким образом, единичная матрица играет роль единицы при пере множении матриц. Единичная матрица — это квадратная диагональ ная матрица
/ |
а ц |
|
0 |
0 |
0 . . . О |
|
А = / 0 о;! 0 0 . . . О |
||||||
V |
0 |
|
0 |
0 |
0 . . . аШ1 |
|
все диагональные элементы |
которой a i j = l ( i = l , 2, 3, ...): |
|||||
( 1 |
0 0 0 . . . Оѵ |
|||||
|
О |
1 |
0 |
0 |
. . . |
О \ |
|
О О |
I |
0 |
. . . |
О . |
|
О 6 о ’о ’. ’. '. І /
Матрица, все элементы которой равны 0, называется нулевой и обозначается цифрой 0 . Если хотят указать число строк и столбцов нулевой матрицы, то используют обозначение От,,. Нулевая матри ца играет роль нуля при перемножении матриц. При любой матри це Л ш„ и соответствующей ей матрице О т „
|
О - А = О, |
di 2 |
А - 0 — 0 . |
||||
|
Яц |
|
• |
■ ■ ■аі п |
|||
Заменив в матрице |
а21 |
|
а22 |
• |
• |
а2П |
|
|
апа |
ат і |
• |
• |
• |
атп |
|
типа |
т Х п строки |
соответственно |
столбцами, |
получим |
так |
называе |
||
мую |
транспонированную |
матрицу |
(обозначается она |
А |
или А ' ) |
|||
типа |
п х т : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а ц |
а и . |
Ят і |
|
|
|
А = |
А ' = |
А т = |
d\2 |
022 ■ |
ат2 |
|
|
'Ящ я%п •
Вчастности, для вектора-строки
А= (аі, Й2, , • . , ап)
транспонированной матрицей является вектор-столбец
А' =
\Яп/
91
Транспонированная матрица обладает следующими свойствами: 1) дважды транспонированная матрица совпадает с исходной
А " = (Л ')' = А \
2) транспонированная матрица суммы равна сумме транспони рованных матриц-слагаемых
( А + В ) ' = А ' + В ’\
3) транспонированная матрица произведения равна произведе нию транспонированных матриц-сомножителей в обратном порядке
{ A B ) ' = В ’А ’ .
Действительно, элемент ыі строки /-го столбца матрицы ( A B ) ’ равен элементу /-й строки (-го столбца матрицы А В:
а і\Ь\і |
а \Ф и + • • . + Ojnbn{. |
Это выражение, очевидно, представляет собой сумму произведений элементов г-н строки матрицы В ' на соответствующие элементы /-го столбца матрицы А ', т. е. равно общему элементу матрицы
В’ - А ' \
4)матрица А = (я,-;) называется симметрической, если она сов падает со своей транспонированной матрицей, т. е. если
А = А ' . |
|
Из этого вытекает, что симметрическая матрица |
квадратная (m = n) |
и что ее элементы, симметричные относительно |
главной диагонали, |
равны между собой, т. е. |
|
о,-/ — a ji- |
|
Произведение |
|
С = А А
очевидно, представляет собой симметрическую матрицу, так как
С = {А А ' ) ' = (Л У А ' = А А ’ = С .
например,
|
а I і)х(і |)=аі id - |
ко |
При решении задач математического программирования неред |
встречаются случаи, когда необходимо разделить одну матрицу |
|
на |
другую. Поскольку специальных правил деления матриц не су |
ществует, деление заменяют умножением делимого на обратную величину делителя, т. е.
А ’. В = А В - i ,
,Е
где В ~ — —— — матрица, обратная матрице В .
В
Процесс вычисления обратных матриц называют обращением матриц.
Так как обратные матрицы имеют большое значение в матема тическом программировании, коротко остановимся на вопросе обра щения матриц.
92