Файл: Чесноков, Н. И. Оптимизация решений при разработке урановых месторождений.pdf

Обратной матрицей по отношению к данной называется матри­ ца, которая, будучи умноженной как справа, так и слева на дан­ ную матрицу, дает единичную матрицу.

Для матрицы А обозначим обратную ей матрицу через А Тогда в соответствии с определением

то определитель ее запишется следующим образом:

или в общем виде определитель равен сумме произведений элемен­ тов любого столбца пли строки на их алгебраические дополнения

(А/і):

Приведенные выше выражения называются разложением опре­ делителя по элементам /-й строки /-го столбца.

Определитель равен нулю, если элементы какой-нибудь строки или столбца умножить на алгебраические дополнения элементов другой строки или другого столбца. Это свойство используется при вычислении обратных матриц.

Квадратная матрица называется неособенной или невырожден­ ной, если ее определитель |А | не равен нулю. Матрица называется особенной или вырожденной, если ее определитель равен нулю (осо­ бенная или вырожденная матрица называется также сингулярной).

93

Присоединенной матрицей к квадратной матрице называется матрица, элементы которой являются алгебраическими дополнения­

МдтрицаА* и есть искомая обратная матрица (А *=А _1). Про­ верим это. Как уже было сказано, сумма произведений элементов некоторого ряда (строки или столбца) определителя на алгебраиче­ ские дополнения этих элементов равна определителю, а сумма про­ изведений элементов некоторого ряда определителя па алгебраиче­ ские дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю, т. е.

[О при і Ф 1 J

94

Н а о с н о в а н и и э т и х с в о й с т в д л я п р о и з в е д е н и я А - А * п о л у ч и м

Итак, ДА * = Е , т. е. А * является обратной матрицей ,4.

Для любой (неособенной) квадратной матрицы А обратная

матрица А -1 единственная, Более того, всякая правая обратная (левая обратная) матрица матрицы А совпадает с ее обратной мат­

рицей Л -1. Особенная квадратная матрица обратной не имеет.

На практике вычисление матрицы, обратной матрице Д, осуще­ ствляется следующим образом:

1) выписывают матрицу Д , транспонированную по отношению

кД;

2)заменяют каждый элемент матрицы Д определителем, полу­ ченным в результате вычеркивания строки и столбца, на которых

расположен данный элемент (т. е, на минор), иначе говоря, состав­

вычислить обратную матрицу. Так как определитель

95

Разделив все элементы А на Л=1, Получим

Для матриц малого размера определение обратных им рассмот­ ренным методом не представляет труда. Однако применение дан­ ного метода для вычисления матриц большого размера приводит к значительным трудностям, и в этих случаях пользуются прибли­ женными методами вычисления обратной матрицы. К. этим методам относятся:

3)метод с применением треугольных матриц;

4)метод разделения матриц на блоки (подматрицы) и как

частный случай метод окаймленных матриц; 5) методы последовательных приближении и др.

Для знакомства с этими методами следует обратиться к спе­ циальной литературе [36, 38, 48].

Рассмотрим пример, когда необходимо использовать обратную матрицу.

На руднике можно применять три различные систе­ мы разработки, каждая из которых имеет свои показа­ тели извлечения и себестоимость. Тогда

9 6

где йі — объем горной массы (тыс. м3/год), добываемый с помощью первой системы разработки; Ь; — то же для

ветствующее определенной комбинации систем разра­ ботки и их показателям извлечения, направляемое на

ты (в рублях) на добычу и переработку руды для по­ лучения ] тыс. тметалла в концентрате.

Предположим, что Л,-=10,0 млн. руб. п для любых комбинации систем разработки одинаковы. Определим себестоимость 1 м3 горной массы для каждой системы и

Таким образом, мы получили систему линейных уравне­ ний, решение которой и даст нам искомый результат. Для того чтобы решить эту систему, перепишем ее в матричном виде:

С = — = А В ~ \

В

Таким образом, для определения С необходимо снача­ ла найти матрицу В~\ обратную матрице В, а затем,

умножив матрицу А на В~1, можно определить матри­ цу С, элементы которой и будут искомыми значениями