Файл: Чесноков, Н. И. Оптимизация решений при разработке урановых месторождений.pdf

определяющих или малозначимых по нашему мнению, должна служить ее численная оценка, представляющая собой долю оценки системы в целом, взятой за единицу.

Моделирование сложных систем в приложении к ре­ шению технико-экономических и хозяйственных задач горнорудного производства не носит абстрактного харак­ тера. Можно говорить о построении модели себестоимо­ сти единицы конечной продукции, о модели трудоемко­ сти производства по всей его технологической цепи или отдельным звеньям, о модели рентабельности строитель­ ства предприятия и т. д. Другими словами, модель всег­ да конкретна, всегда отражает реальную действитель­ ность, поэтому при решении вполне определенных задач нельзя рассуждать о моделировании вообще. Можно уве­ личивать степень абстракции модели, обобщая особен­ ности и свойства месторождений различных типов, уни­ фицировать модели, создавать их классификации и кар­ тотеки. Этим может быть облегчен труд исследователей по выбору типов моделей. Но в каждом конкретном случае решения вопросов вскрытия и разработки кон­ кретных месторождений обобщающая модель должна быть привязана к их условиям, что вызывает необходи­ мость ее доработки и конкретизации.

В этой связи можно допустить, что оценка значимо­ сти элементов исследуемых систем при построении их математических моделей зависит от типа решаемых за­ дач и надежности исходного информационного материа­ ла. При этом необходимо предварительно отнести ука­ занный элемент к числу условно переменных или услов­ но постоянных величин.

В общем случае элемент системы может рассмат­ риваться как условно постоянный при выполнении сле­ дующих требований:

1)численная оценка рассматриваемого элемента си­ стемы более чем на порядок ниже, чем оценка системы

вцелом;

2)влияние изменения численной оценки элемента

системы в пределах его логически возможных границ на абсолютное значение оценки системы в целом выра­ жается значением, которое на два порядка ниже, чем оценка системы (это условие связано с общепринятой допустимой погрешностью исходных данных и конечных результатов при технико-экономических расчетах гор­ ного производства, составляющей ±10%).

30

В случаях, когда влияние изменения численной оцен­ ки элемента системы в пределах его логически возмож­ ных границ на абсолютную величину оценки системы в целом выражается значением на один порядок ниже, его следует рассматривать как условное переменное. Когда оценка элемента системы на два порядка ниже, чем оценка системы в целом, включение его в разряд структуроопределяющих элементов или исключение из рас­ смотрения решается в каждом конкретном случае испол­ нителями в зависимости от условий постановки задачи. Когда оценка элементов на три и более порядка ниже оценки системы в целом, их следует исключить из рас­ смотрения как элементы незначащие.

Экономико-математическая модель представляет со­ бой систему уравнений и неравенств, связывающих оп­ ределенные экономические характеристики предприятия с различными факторами, вводимыми в качестве исход­ ной информации для расчетов. Математическая модель, включающая в себя рассмотрение большого числа фак­ торов, определяющих состояние конечных экономических результатов производства, может получиться очень сложной в зависимости от степени детализации, с кото­ рой намереваются провести это моделирование.

Для того чтобы составляемая экономико-математи­ ческая модель достаточно полно соответствовала реаль­ ным условиям, приходится учитывать большое число факторов, значительно ее осложняющих.

Моделирование изучаемого явления или процесса с расчленением его на комплекс взаимосвязанных струк­ туроопределяющих элементов с последующей формали­ зацией в комплекс математических выражений является сложной проблемой, пока не имеющей общепризнанной методологии.

Резюмируя изложенное, можно наметить следующие основные шаги построения описательных математиче­ ских моделей сложных систем, отражающих их иерар­ хию:

1. Строится укрупненная структурная модель систе мы на базе общих представлений о ее сущности (см. рис. 1). В результате появляется так называемое содер­ жательное описание системы, которое представляет со­ бой первую попытку четко изложить закономерности, характерные для ее функционирования. По определению Н. П. Бусленко, «содержательное описание является ис-

31

ходным материалом для последующих этапов формали­ зации: построения формализованной схемы процесса и математической модели для него» [2UJ.

2. На базе укрупненной структурной модели строит­ ся укрупненная математическая модель первого уровня иерархии в общем виде [например, вида (i.4)J. Однако такая модель, отражая величину затрат на ее формиро­ вание по подсистемам, как уже отмечалось, не может способствовать раскрытию закономерностей протекания процессов производства внутри подсистем, которые в данном случае представлены в виде агрегатных компо­ нентов в общей агрегированной системе н закрыты для рассмотрения и анализа.

3. Следующим шагом моделирования является со­ ставление перечня элементов подсистемы (системы), представляющих в своем взаимодействии их логиче­ скую сущность, а также перечня всех существенных внешних и внутренних условий, показателей и внешних факторов, влияющих на нормальное функционирование (траектории) подсистемы и системы в целом.

4. Указанные перечни являются основой для четвер­ того шага моделирования. По ним составляют комму­ никационные матрицы перечисленных структурных эле­ ментов подсистем и системы в целом.

Наличие прямых связей между элементами, которые должны учитываться при математической формализа­ ции (составлении математической модели), отмечается значком «1», отсутствие связей — значком «О» (см. табл. 1). Косвенные связи, не учитываемые при модели­ ровании, но существующие и характеризующие в своей совокупности условия функционирования системы, от­ мечаются значком «1».

5. Пятый шаг моделирования заключается в форма­ лизации основных структурных элементов подсистемы с учетом их прямых взаимосвязей и комплекса влияю­ щих факторов, выявленных в коммуникационных матри­ цах. Математическое описание элементов структуры агрегатных подсистем сложной агрегированной системы представляет собой модели второго уровня иерархии, ко­ торые могут быть представлены математическими выра­ жениями более простого вида, чем развернутая матема­ тическая модель системы в целом. При необходимости в зависимости от поставленных задач структурные эле­ менты подсистем могут быть расчленены на элементы,

32

которые описываются математическими моделями третьего уровня иерархии и т. д.

Последовательное расчленение сложной агрегирован­ ной системы на структурные элементы и их математиче­ ское описание позволяют создать сложную иерархиче­ скую математическую модель системы, состоящую из моделей различных уровней иерархии, увязанных по их входам и выходам.

В качестве основного математического аппарата мо­ делирования структурных элементов подсистем произ­ водства в их взаимосвязи с учетом влияющих факторов широко используют математическую статистику, методы корреляционного и регрессионного анализов, включая множественные корреляционные модели, математиче­ ский анализ, матричную алгебру, а в некоторых слу­ чаях и методы статистических испытаний (Монте-Кар­ ло).

6. Следующим шагом математического моделирова­ ния сложных систем горного производства является ана­ лиз модели по степени значимости ее компонентов и выбраковки малозначащих элементов и условий. Это ко­ личественное упрощение структуры описательной мате­ матической модели системы не должно заметно отра­ жаться на ее качественных характеристиках, так как иначе построенная математическая модель не будет со­ ответствовать своему прообразу, нарушится принцип по­ добия. Это же условие обязательно при критическом рассмотрении внешних начальных и граничных условий функционирования системы.

Оценка существенности и несущественности отдель­ ных выделенных элементов системы осуществляется в со­ ответствии с изложенной методикой. Представляется це­ лесообразным в соответствии с предметом и целями ис­ следований ограничить круг вовлекаемых в рассмотре­ ние систем (подсистем) на уровне иерархии, не выхо­ дящем за пределы значимости рассматриваемого эле­ мента системы, хотя теоретически влияние его измене­ ний можно было бы проследить в весьма широких мас­ штабах.

7. Заключительный этап моделирования технологи­ ческой цепи производства заключается в синтезе моде­ лей процессов (элементов цепи). На этом заключитель­ ном этапе формируется функция цели, т. е. модель пере­ водится из разряда описательных в оптимизационную,

выбирается метод оптимизации, составляются блок-схе­ ма и машинный алгоритм. Задача программируется, осу­ ществляется машинный тест программы, модели и алго­ ритма. При необходимости вносится корректировка и затем выполняются расчеты. Такую модель можно ис­ пользовать для расчетов многократно, однако при необ­ ходимости изменить принятые параметры в математи­ ческую модель вносят соответствующие изменения.

Производство продукции горных предприятии можно представить как комплекс взаимосвязанных процессов. Технологическая цепь горного производства включает разведку, вскрытие, подготовку месторождения или от­ дельных его частей к очистной выемке, процесс добычи полезного ископаемого, его транспортировку, подъем, сортировку на шахтных поверхностных обогатительных комплексах, транспортировку руды па обогатительные фабрики, ее обогащение, складирование и отправку ко­ нечной продукции для дальнейшей переработки потре­ бителям. В некоторых случаях технологическая цепь ос­ новного производства может включать дополнительные элементы или не иметь каких-либо из них. К основной цепи производства тесно примыкают и переплетаются с ней процессы вспомогательного производства, вклю­ чающие энергоснабжение, вентиляцию, водоотлив, осве­ щение, снабжение материалами, разнообразные ремонт­ ные службы, складское хозяйство, отвальное хозяйство и т. д. Без четкой организации служб вспомогательного производства основное производство не может нормаль­ но функционировать или вообще не дееспособно.

Поэтому, решая вопросы повышения эффективности основного производства, нельзя забывать его тесные связи с вспомогательным производством, совершенство­ ванию которого также следует уделять внимание.

Считаем необходимым отметить, что построение обобщенных моделей оптимизации целых горнорудных предприятий с детальными экономико-математическими моделями всех элементов их структуры, включая вспо­ могательные службы и производства, а также решение задач оптимизации производства в целом с помощью таких моделей является задачей чрезвычайно сложной.

Математическая модель сложной производственной системы характеризуется множеством фиксированных статических состояний. Последовательный переход си­ стемы из одного состояния в другое за счет изменения

34

состояний структуроопределяющих элементов в опреде­ ленных фиксированных границах их изменения отражает динамику системы. Для моделирования бесконечно боль­ шого числа возможных состояний сложных производст­ венных систем обычно применяют современную быстро­ действующую вычислительную технику. При этом пере­ менным структуроопределяющим элементам системы за­ дают вполне определенные границы возможного изме­ нения и устанавливают определенный шаг изменения, что позволяет последовательным перебором конечного числа фиксированных вариантов состояния системы про­ следить динамику ее изменения в пределах установлен­ ных границ. Порядок и ход расчета математических мо­ делей, представленный на математическом или какомлибо алгоритмическом языке, называется алгоритмом модели.

С точки зрения теории алгоритмов, являющейся ветвью математической логики и играющей важную роль в кибернетике, под алгоритмом понимается предписание о точном порядке некоторой системы операций для ре­ шения всех задач одного типа. (Уместно отметить, что в математике тот или иной класс задач считается решен­ ным, если для него найден алгоритм.)

При решении задач оптимизации горного производ­ ства руководителей предприятий интересует прежде все­ го численное решение, доведенное до конкретных циф­ ровых выражений.

«Всякую формулу алгебры или математического ана­ лиза,— пишет академик В. М. Глушков, — можно трак­ товать как сжатое символическое обозначение соответ­ ствующего вычислительного алгоритма. Формула есть представление этого алгоритма в виде последовательно­ сти элементарных алгоритмических актов — алгебраиче­ ских операций, операций дифференцирования, интегри­ рования и др. Общее аналитическое решение задачи, вы­ раженное в формуле, называется формальным алгорит­ мом».

Формальный алгоритм в сокращенной форме содер­ жит вычислительный алгоритм, так как в нем полностью выражен состав и порядок выполнения действий. Так, например, система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными

агх + Ьуу = Сі,

+ Ь%у —с3

3* 35

имеет решение в виде алгоритма, заданного формулами

Этот формальный алгоритм можно детализировать пу­ тем последовательных предписаний вычислительного характера: 1) перемножить с, п 62; 2) перемножить с2

иЬ\\ 3) произвести вычитание С \Ь 2—с2Ьі и т. д.

Дальнейшая детализация превращает формальный

алгоритм в численный. Алгоритмы, в которых основ­ ную роль играют четыре арифметических действия, при­ нято называть численными [54].

Моделирующий алгоритм имитирует поведение и вза­ имодействие элементов сложной системы с учетом слу­ чайных возмущающих факторов. Он позволяет при за­ данных начальных условиях и при заданных числовых параметрах моделируемой системы охарактеризовать любые возможные состояния ее структуроопределяющих элементов н системы в целом с учетом случайных фак­ торов, возмущающих их поведение, получить любые ха­ рактеристики системы, предусмотренные программой ис­ следования.

Аналогичные действия, только без учета случайного характера протекания изучаемых явлений могут быть выполнены построением системы многомерных номо­ грамм. Номографический метод позволяет за относи­ тельно короткий срок определить множество вариантов состояний сложной системы производства и ее динамику в зависимости от состояний структуроопределяющих элементов с точностью, достаточной для принятия обос­ нованных производственных решений. К сожалению, возможности номографического метода оптимизации сложных систем ограничены.

По характеру описываемых процессов математиче­ ские модели могут быть детерминированными, стохасти­ ческими.

Формализуемые процессы горного производства мо­ гут рассматриваться в статике или в динамике (напри­ мер, с учетом изменения фазовых состояний системы во времени и т. и.); в зависимости от этого модели могут быть статическими или динамическими.

Детерминированные модели выражают вполне опре­ деленные связи между зависимыми переменными и ар­ гументами, причем каждому значению аргумента соот­

36

ветствует одно вполне определенное значение функции. Соответствие детерминированных моделей реальным ус­ ловиям может быть проверено экспериментально. Важ­ ным свойством детерминированных моделей является то, что они хорошо согласуются с реальными условиями только в некоторой ограниченной области. При расши­ рении этой области за пределы теоретических ограниче­ ний и представлений использование модели может при­ вести к значительным искажениям результатов и серь­ езным погрешностям. При использовании моделей в строго ограниченных для них областях погрешности решений могут быть незначительными.

Рассмотрим простой пример составления условно детерминированной модели затрат на добычу 1 т угля ураионосного пласта с широко развитыми разрывными нарушениями, изменчивой мощностью и сложной гипсо­ метрией почвы, что не позволяет применять комбайно­ вую выемку.

Приведем перечень основных факторов, определяю­ щих стоимость добычи (в общем виде): h — мощность

«32 — число занятых рабочих; /г3з — число добычных смен

перечисленных элементов приведена в табл. 1.

Эти взаимоотношения выражены в следующей ма­

тематической форме:

з

( 1.6)

37