Файл: Чесноков, Н. И. Оптимизация решений при разработке урановых месторождений.pdf

процесса являются входными величинами следующего случайного процесса и т. д. Вопросы построения эконо­ мико-математических моделей случайных процессов рас­ смотрены в разд. 4 гл. 3 и разд. 1 гл. 4.

Данные о количестве руды, отбитой за 100 суток, представлены ранжированным столбцом цифр в порядке

где АГмако и л:мип — соответственно верхняя и нижняя гра­ ницы значений суточной отбойки руды в рассматривае­ мый период времени; N — число наблюдений в совокуп­ ности.

В рассматриваемом примере

Обращение с таким интервалом затруднительно, поэто­

значений частости равна 100. При этом частости отно­ сятся не к отдельным значениям количества отбойки руды в сутки, а к соответствующим интервалам значе­ ний. Представим данные табл. 2 в графическом виде (рис. 6): для этого на оси абсцисс отложим интервалы, равные 20 вагонетка/сутки, а по осп ординат — частости интервалов в долях единицы. На отрезках оси абсцисс, равных значению интервала, строгим прямоугольники вы­ сотой, равной частости данного интервала. Соединив середины верхних сторон прямоугольников отрезками прямой, получим полигон распределения частостей вы­ деленных интервалов.

Представив, что длина каждого интервала (см. рис. 6) равна единице, площадь прямоугольника можно рассматривать приближенно как вероятность добычи определенного количества руды. Если так интерпрети­ ровать все данные рассматриваемого примера, то пло­ щадь всех прямоугольников (поскольку сумма относи-

4* 51

тельных частостей интервалов равна единице) равна единице. Таким образом, каждый интервал, характери­ зующий отклонение от среднего значения, как аргумент определяет значение вероятности. Иными словами, на рис. 6 изображена эмпирическая зависимость вероятно-

сти от отклонения от среднего значения. Такая зависи­ мость называется распределением случайных величин, если понятие распределение относится к самой кривой распределения, или плотностью распределения вероятно­ стен, если это понятие относится к площади, ограничен­ ной кривой, осью абсцисс и двумя ординатами, находя­ щимися на определенном расстоянии друг от друга.

Увеличивая число случайных наблюдений до беско­ нечности и выбрав бесконечно малый интервал между двумя любыми соседними отклонениями от среднего зна­ чения, можно построить кривую распределения взамен столбчатой диаграммы, т. е. эмпирическую кривую рас­ пределения (см. рис. 6), где Р = /(х), а площадь прямо­ угольника, построенного на интервале сіх, равна Pdx= —f{x)dx. Тогда суммарная площадь под кривой распре­ деления

— СО

определяет интегральную плотность вероятности Р.

52

Хотя существует большое разнообразие форм кривых распределения, среди них преобладают кривые симмет­ ричной или умеренно асимметричной формы, относя­ щиеся к типу кривых нормального распределения. Достаточно широко встречаются кривые логнормального распределения, в которых с нормальным распределе­ нием хорошо согласуются логарифмы исследуемого при­

знака.

При построении кривой распределения признака можно качественно определить, насколько она близка к симметричному виду. В сомнительных случаях опреде­ ляют асимметрию А и эксцесс Е распределения: асим­ метрия является численной характеристикой, выражаю­ щей меру скошенности кривой, т. е. отклонения от нор­ мального вида вправо и влево, а эксцесс характеризует подъем и понижение кривой распределения. Порядок определения величин А и Е изложен ниже.

После построения кривой распределения оценивают основные параметры распределения значений выборки.

Для выборок с нормальным распределением в каче­ стве обобщающих характеристик изучаемых совокупно­ стей по определенным признакам используют средние значения, определяемые по формуле

где Хі — единичное значение выборки; п — число наблю­ дений в совокупности. При наличии ряда распределения средневзвешенное значение вычисляют по формуле

Для характеристики структуры изучаемых совокуп­ ностей, степени однородности выборок по данному при­ знаку изучается их вариация. При этом определяют среднеквадратическое отклонение (стандарт)

При числе членов выборки п>50 знаменатель под­ коренного выражения принимается равным п.

53

Если отдельные значения признака повторяются, то их взвешивают по частям:

где Аі=Хі—.Ti есть отклонения единичных значений при­ знака от средней. Дисперсия признака х равна

При наличии ряда распределения применяют форму­ лу взвешенной дисперсии

Все перечисленные выше показатели вариации име­ нованные, т. е. выражаются в единицах варьирующего признака.

Для сравнения интенсивности вариации показателей в разных совокупностях, а также вариации различных показателей в одной совокупности используют относи­ тельный показатель вариации — коэффициент вариа­ ции /:

Поскольку средние значения изучаемых показателей определяются по ограниченному числу единичных зна­ чений выборки, производится оценка точности вычисле­ ния средних по формуле

где ±Х — погрешность среднего арифметического, опре­ деленного с заданной вероятностью; t — аргумент нор­ мированной функции Лапласа (нормированное откло­ нение), изменяющийся в зависимости от заданной веро­ ятности, с которой определяют погрешность.

Значение нормированного отклонения t (критерий Стыодента) определяется в зависимости от заданной вероятности отклонений случайных значений от средних по таблицам интегральной функции Лапласа [формула

54

(2.11)], имеющимся во всех учебниках математической статистики и теории вероятностей. Для практических расчетов статистических выборок по вопросам горного дела достаточно данных табл. 3.

Для вычисления вероятностей пределов отклонений случайных значении от средней используют интеграл вероятностей

Вероятность Р(х) нормального закона распределе­ ния (распределение Гаусса) подсчитывается по формуле

Эмпирическая кривая, изображенная на рис. 6, мо­ жет быть охарактеризована нормальным законом рас­ пределения.

При выполнении статистических расчетов важно пра­ вильно определить необходимый и достаточный объем выборки п случайных значений изучаемого признака. Если исследование выполняется впервые и невозможно предварительно оценить основные статистические харак­ теристики выборки, необходимый объем выборки опре­ деляют по формуле

где p 1 и pi — соответственно вероятность погрешности и

вероятность надежности выводов.

Число единичных значений выборки «МІШ, необходи­ мых и достаточных для обеспечения заданной степени

55

надежности вычисленной средней, может быть опреде­ лено также по формуле

При решении конкретных задач математической ста­ тистики приходится решать также вопрос о допустимом размахе единичных значении исследуемого признака от средней. Минимальное и максимальное допустимые зна­ чения отклонения признака от средней с заданной веро­ ятностью для нормального распределения определяют по формуле

Единичные значения выборок, выходящие за преде­ лы, рассчитанные по формуле (2.15), из дальнейшего рассмотрения исключаются.

При технико-экономических расчетах горного произ­ водства повсеместно принята допустимой погрешностью 10%- Потому и при вычислении погрешности среднего арифметического целесообразно ограничиваться 10%-ным уровнем значимости, что соответствует веро­ ятности 0,90 (90%). В этом случае <»1,65 и ±Мо% =

= (1,65а/ К й ).

Некоторые элементы горного производства характе­ ризуются значительной вариацией единичных значений от средней. В частности, большими значениями коэффи­ циентов вариации характеризуются показатели буро­ взрывных работ (/=40ч-45%). Поэтому для того, чтобы допустимая погрешность средней по показателям буро­ взрывных работ не превысила 10%, необходимо выпол­ нить весьма большое число экспериментальных взрывов, что в производственных условиях часто бывает затруд­ нительно. Поэтому при выполнении экспериментальных работ, связанных с взрывной отбойкой руды, а также с другими процессами, характеризуемыми значительной вариацией единичных значений от средней, допускается увеличение значений допустимой погрешности средней до 15%. При 15%-ном уровне значимости, что соответ­ ствует вероятности 0,85 (85%), t = 1,44» 1,5 и ±Я і5%=

= (1,5о / У Т ) ,

56

Таким образом, вычисленные средние значения изу­ чаемых признаков горного производства составляют для основной массы параметров, используемых в техникоэкономических расчетах,

V п

а для части параметров взрывной отбойки

Оценка принадлежности статистического ряда к нор­ мальному закону распределения. Для определения при­ надлежности статистического ряда к нормальному зако­ ну распределения вычисляют асимметрию и эксцесс рас­ пределения. Значение асимметрии А определяют по формуле

где іщ — центральный выборочный момент третьего по­ рядка:

Вслучае нормального закона распределения эксцесс

Е= 0, так как ( т 4/о4) =3.

Учитывая возможные отклонения величин асиммет­ рии и эксцесса от нуля, не зависящие прежде всего от числа единичных значений выборки, следует установить, являются ли эти отклонения А и £ от нулевого значе-

57