Файл: Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой.pdf

| 2] СИСТЕМЫ, ЛИНЕЙНЫЕ ПО УПРАВЛЕНИЮ 47

которое при начальных условиях s (х (0)) = 0 и прини­ мается в качестве уравнения идеального скольжения. Существенно, что в силу самого метода s (х) = 0 и при выбранных начальных условиях все траектории системы (2.6) будут лежать на многообразии пересечения всех по­ верхностей разрыва размерности п — т. В соответствии с этим вместо системы уравнений скольжения (2.6) п-го порядка можно записать систему уравнений скольжения (п — т)-то порядка. Опишем процедуру получения такой системы. Так как в скользящем режиме величина s тож­ дественно равна нулю, из системы тпалгебраических урав­ нений s = 0 выразим какие-либо пг координат через остальные п — тп координат. Согласно теореме о неявной функции такие координаты, например xn_m+1, . . ., хп, всегда найдутся, если ранг матрицы G, составленной из градиентов функций s, (х), равен тп. Это условие выпол­ няется, так как для рассматриваемой системы delGB ф 0. Подставим в первые п — тп уравнений системы (2.6) вы­ численные таким образом координаты xn_,rt+1, . . ., х„, а остальные тпуравнений отбросим. В результате получим систему (п — т)-го порядка, которая и будет описывать движение в скользящем режиме.

Для того чтобы обосновать справедливость получен­ ных уравнений скольжения, необходимо в соответствии с приведенной в § 1 схемой рассуждений организовать над­ лежащий предельный переход, который предполагает введение в систему неидеальностей с последующим стрем­ лением этих неидеальностей к нулю. Наличие неидеально­ стей в управлении независимо от их природы приведет к тому, что в системе возникнет так называемый реальный скользящий режим, во время которого в отличие от идеального скольжения фазовые траектории принадежат некоторой конечной A-окрестности многообразия s (х) =

4) для функции / (х , t) + В (х , t) и, которая входит в правую часть уравнения (2.8), описывающего реальное сколъжение, существуют такие положительные числа М и N , что

то для любой пары решений уравнений (2.8) и (2.9) с на­ чальными условиями

Д ля доказательства теоремы следует оценить по норме разность решений уравнений, описывающих движение в идеальном и реальном скользящем режиме. Для реального скользящего режима величина

s уже не равна нулю, как это предполагалось при использовании метода эквивалентного управления. Поэтому управление и, опре­ деленное в силу системы (2 .8), будет отличаться от и0КВ:

и= — (GB)-JG/ + (GB)-1 s,

исоответственно уравнение реального скользящего режима, полу­ ченное в результате подстановки и в (2 .8),

х = / (х, t) — В (х, t) [G (х) В (х, t)]_1G (ж) f (х, t) -|-

- f B(x,t)[G (ж) В (ж, f)]-1 s (2.13)

также отличается от уравнения (2.6) или (2.9) дополнительным чле­ ном В (ж, t) [G (ж) В (ж, Z)]- 1s. Разумеется, уравнение (2.13) содер

жпт все учитываемые неидеальности — от них зависит величина S. Уравнение (2.13) описывает реальные скользящие движения с уче­ том неконкретизированных неидеальностей, и при стремлении Д к нулю его решение будет описывать идеальное скольжение. (При этом следует иметь в виду, что стремление Д к нулю, вообще говоря,

вовсе не означает стремления к нулю величины s.)

Прежде чем переходить к сравнению решений уравнений (2.6) и (2.13), запишем эквивалентные им интегральные уравнения

/

ж* (f) = ж* (0) + у / (г* , Т) _ в (х*, т) [G (ж') В (ж*, т) ] '1 X

X G(x*)/ (ж*, Т)МТ, (2 .6а)

t

х (t) = ж (0) + J {/ (ж, Т) — В (ж, г) [G (ж) В (ж, y)]-'G (ж) / (ж, Т)} dy +

о

t

+ 5 В (*. г) [С (.г-) В (ж, т) ] - 1i dy. (2.13а)

о