Файл: Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой.pdf

предельного движения в рассматриваемой системе:

хг = Аххх -f- [as — Ъ (cTb)~x (стап)] R.

этом уравнении матрица А 1 определяет уравнение дви­ жения в скользящем режиме (5.2), которое асимптотиче­ ски устойчиво, поэтому

lim ж1 — — {Ах)~х[а* — I (стЪ)~х(ста")] R. /—*00

Это означает, что в системе имеется отличная от начала координат точка устойчивого равновесия, которая не при­ надлежит плоскости переключения (так как lim s = R=f= 0),

t —wo

и поэтому характеристическое уравнение одной из структур должно иметь нулевой корень. Этот случай мы исклю­ чили из рассмотрения (см. § 2), и следовательно, функ­ ция s не может стремиться ни к какому положительному \числу и попадание всегда имеет место.

Приведем без доказательства теоремы о достаточных условиях попадания для двух типов систем вида (II.VII).

Т е о р е м а 2. Если в системе с переменной структу­ рой (II .VII) управление сформировано в соответствии с (5.6) при к = п — 1 и все сг в уравнении плоскости пере­ ключения (II.V) положительны *), то для попадания изо­ бражающей точки на плоскость s = 0 достаточно, чтобы, во-первых, в характеристическом уравнении системы при Yj = ctj (i = 1, . . ., п — 1) и 8U = 0 отсутствовали по­ ложительные действительные корни и, во-вторых, выпол­ нялись условия

ветствующего выбора коэффициентов аг и рг, а увеличе­ ние коэффициента ах приводит к выполнению первого условия теоремы. Доказательство теоремы 2 приведено -в работе [20].

В теореме 3 речь идет об условиях попадания для си­ стемы с переменной структурой вида (II.VII), в которой

*) Положительность коэффициентов с* является необходимым условием устойчивости любого решения уравнения скольжения

(II.VIII).

160 УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ ЛИНЕЙНЫХ ОБЪЕКТОВ [ГЛ. VII

случае найти такое управление и, чтобы выбранная плос­ кость переключения оказалась плоскостью скольжения и в системе имело место попадание. Эту задачу будем ре­ шать при условии, что параметры объекта недоступны для измерения, как это часто бывает на практике, и извес­ тен лишь диапазон их изменения

(7.3)

ГДе d i j mini & i j maxi min» шах ПОСТОЯННЫе ВвЛНЧИНЫ.

Будем также считать, что знак отличной от нуля функции стЪне меняется и известен, причем inf |стЪ|=£= 0.

Попытаемся обеспечить существование плоскости скольжения с помощью управления (5.6), которое исполь­ зовалось для управления свободным движением линей­ ных стационарных объектов.

Функция ё, позволяющая на основе (1.9) получить условия скольжения, для системы (7.1), (5.6) будет иметь тот же вид (5.7), что, и для системы (5.1) с той лишь разни­ цей, что векторы аг и Ъ в (5.7) изменяются во времени. Однако условиями существования плоскости скольжения (5.9) уже не удается воспользоваться для нестационарных систем. Действительно, параметры объекта, по нашему предположению, неизвестны, и поэтому условия (5.9), являющиеся точными равенствами, не могут быть выпол­ нены. Кроме того, даже если бы эти параметры удалось измерить в процессе управления и затем изменять коэф­ фициенты вектора ст в соответствии с (5.9), функция s должна была бы содержать производные от сг повремени и, следовательно, условия (5.8) и (5.9), полученные из (5.7), оказались бы неправомерными.

В связи с этим для управления нестационарными объек­ тами представляется целесообразным составить такую функцию управления, при которой условия существова­ ния плоскости скольжения состоят лишь из неравенств. Такая ситуация, как это следует из (5.8), (5.9), будет иметь место, если управление (5.6) состоит из суммы воз­ действий по (п — 1)-й координате, т. е. к — п — 1. В этом случае равенства (5.9) отсутствуют, условия (5.8) следует записать с учетом переменности коэффициентов элементов

\J

матрицы А (t) и вектора Ъ(t):

(sign сЧ ) а; > sup |сЧ |-1 [ста1 — с{ (стап)],

в ограниченном диапазоне (7.3), знак функции (стЪ) из­ вестен и inf|cT5| ф 0, условия существования плоскости

скольжения всегда можно выполнить, выбирая в соответ­ ствии с неравенствами (7.4) коэффициенты а г и р< линей­ ных структур системы.

§ 2. Условия устойчивости

Для системы (7.1) так же, как и для стационарных систем, вопрос об устойчивости будем рассматривать в предположении, что плоскость переключения является плоскостью скольжения с устойчивым движением. Тогда задача сводится к определению условий попадания.

В системе (7.1) с управлением (5.6) при к = га — 1 и выполнении условий существования плоскости скольже­ ния (7.4) изображающая точка из любого начального положения попадает на плоскость s = 0, если

Доказательство этого утверждения может быть прове­ дено с помощью тех же рассуждений, что и доказательство теоремы 1 в § 3 главы 6. Очевидно, что при сделанных предположениях условие (7.5) является условием устой­

плоскости скольжения (5.8), (5.9) неравенства (5.8) заме­

6 В4 И, Уткин