Файл: Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой.pdf

162 УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ ЛИНЕЙНЫХ ОБЪЕКТОВ [ГЛ. VII

скользящий режим на этом многообразии. В случае, когда в такой системе к — п — 1, скользящий режим существу­ ет на всей плоскости, за исключением, быть может, начала координат. Это означает, что если изображающая точка всегда попадает на плоскость скольжения, то необходи­ мость введения релейной составляющей 8и в управление отпадает *). (Напомним, что такие же соображения ис­ пользовались в § 2 главы 6 при изучении вопроса о попа­ дании в системах второго порядка, у которых в управле­ нии также отсутствовала функция 6и.)

Таким образом, плоскость переключения в системе (7.1) с управлением (5.6) при би = 0 и /с = га — 1 будет плоскостью скольжения, если условия (7.4) являются строгими неравенствами и выполняется условие попада­

условием попадания. Для этой цели запишем уравнение (6.9) применительно к нашему случаю:

выполнении условий (7.4) и (7.5) до момента попадания величина s является неположительной. Для таких функ­

дание, так как при этом выполняется одно из неравенств

(7.6) с учетом того, что условия (7.4) имеют вид строгих

неравенств, получаем Н т 1; = 0 (i = l , .. . , r a — 1) и^ /—►со

*) Если же условия попадания нарушаются, то, как свиде­ тельствует пример второго порядка, фазовый портрет которого представлен на рис. 13, изображающая точка в скользящем режиме приближается к началу координат, а затем при сколь угодно ма­ лом отклонении от прямой переключения может уйти в бесконеч­ ность.

I /

J 2 ] УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ 163

му в системе (7.1) при и= 0 не может быть положения равно­ весия на оси хп, т. е. случай R О невозможен и попада­ ние всегда имеет место. Если же det А может обращаться в нуль, то для получения условия попадания нужно усло­ вие (7.5) заменить строгим неравенством. Доказательство

В заключение приведем без доказательства условия попадания для системы, движение которой описывается в пространстве какой-либо координаты и ее производных уравнениями (II.VII) с изменяющимися в ограниченном диапазоне коэффициентами аг (t).

Если в системе (II.VII) с управлением (5.6) при к = = п — 1 плоскость переключения является плоскостью скольжения, то для попадания изображающей точки на эту плоскость достаточно, чтобы

О; > inf Я; (*), t

inf an (t) !> 0.

(

Если же в управлении (5.6) отсутствует релейная со­ ставляющая 6ц, то для получения условий скольжения условия (7.7) заменить строгими равенствами. Доказа­ тельство этих утверждений приводится в 199].

Для систем тина (II.VII) с переменными параметрами справедлива теорема 3 из § 3 главы 6. Приведенное в [45] доказательство этой теоремы целиком сохраняется и для случая, когда параметры объекта меняются. Согласно ус­ ловиям теоремы всегда найдется такое положительное число ¥ 0, что при ах > Чг0, р — Ч; 0 будет иметь место попадание.

Напомним, что наиболее привлекательной с практиче­ ской точки зрения особенностью систем типа (II.VII),

<s*

у которых управление формируется из какой-либо коор­ динаты и ее производных, является независимость сколь­ зящих движений, описываемых уравнениями (II.'VIII), от переменных параметров объекта.

Г Л А В А VIII

УПРАВЛЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫМ ДВИЖЕНИЕМ ЛИНЕЙНЫХ ОБЪЕКТОВ

Хорошо известно, что всякая реальная система автома­ тического управления функционирует в условиях воздей­ ствия на нее внешней среды. Это воздействие может про­ являться в виде задающего воздействия, которое должно быть тем или иным образом отработано системой, а также в виде возмущающих воздействий самого разнообразного характера, приложенных к различным точкам системы управления. Обеспечение нормального функционирова­ ния системы управления часто осложняется тем, что возмущающие воздействия бывает невозможно из­ мерить.

Однако при проектировании системы управления, как правило, имеется некоторая априорная информация о воз­ мущающих воздействиях, которая позволяет синтезировать систему, выполняющую поставленные перед ней задачи без непосредственного измерения возмущающих воз­ действий.

В этой главе будут рассмотрены задачи управления объектом, к которому приложены внешние воздействия,

рывы, то на ней может возникнуть движение в скользя­ щем режиме, описываемое уравнениями (II.VI). Уравнения ^ скольжения, как видно из (II.VI), зависят от внешних возмущений и от коэффициентов уравнения плоскости переключения. Если с помощью этих коэффициентов можно обеспечить желаемый характер зависимости реше­ ния от этих возмущений (например, независимость какойлибо координаты от возмущений, воспроизводимость ре­ гулируемой величиной задающего воздействия и т. д.), то задача синтеза, как и ранее, состоит в выборе такого

I /

управления, при котором плоскость переключения являет­ ся плоскостью скольжения и в системе имеет место попа­ дание изображающей точки на нее из любого начального положения.

Условия скольжения (II.III) для системы (И.IV) имеют вид

{сЩ и+ > — стАх + cTDF,

(1стЬ) и~ ■— стАх + cTDF.

В случае, когда внешние возмущения / 1; . . ., /, доступны для измерения, эти условия можно выполнить в классе так называемых комбинированных систем *), в которых управление составляется в виде функции компонент векторов х и F. Действительно, всегда найдутся такие функции и+ и и~, монотонно возрастающие по модулю относительно |х |и |F ||, при которых указанные здесь неравенства окажутся справедливыми.

В § 1 настоящей главы приводятся законы управ­ ления, позволяющие определить параметры построенной таким образом комбинированной системы при посто­ янных и переменных параметрах объекта. Затем будут рассмотрены случаи, когда внешние возмущения недо­ ступны для измерения, но тем не менее желаемые свой­ ства системы удается обеспечить за счет использования скользящих режимов.

§1. Комбинированные системы управления

Вряде случаев представляется возможность для изме­ рения внешних воздействий F (t), приложенных к объек­ ту. Очевидно, что если измерение внешних воздействий допустимо, то эту информацию целесообразно использо­

вать при формировании законов управления. Попыта­ емся это сделать, по-прежнему решая задачу синтеза закона управления в классе систем с переменной струк­ турой.

Рассмотрим систему управления, движение которой описывается уравнением (II.IV), с той лишь разницей,

*) Вопросам применения принципа комбинированного управ­ ления в классе систем с переменной структурой типа (II.VII) посвящены работы [30], [85], [88].

что матрицы A vi D я вектор Ъ— постоянны, т. е.

где х, A , b, D, F, и — те же, что и в уравнении (II.IV). Пусть изменение структуры системы происходит на плоскости s = стх = 0, а управление сформировано в виде функции не только координат системы, но и внешних воз­

действий

где их — функция управления вида (5.6), которая исполь­ зовалась во всех рассмотренных ранее задачах управле­ ния свободным движением, uF — дополнительное управ­ ление, которое является функцией измеряемых возму­ щений

их = — 2

нимать два значения, и эти коэффициенты изменяются по следующим логическим законам:

а функция 8и та же, что и в (5.6).

Покажем, что выбирая соответствующим образом вели­

чины а г, Рг, а|, Р/, можно выполнить условия существо­ вания скользящего режима в любой точке плоскости s = 0, т. е. сделать ее плоскостью скольжения. Как уже отмечалось, условия существования скользящего режима определяются неравенствами (1.9).

J

Из (8.2) — (8.5) получаем следующие необходимые и достаточные условия существования плоскости сколь­

Если динамические свойства управляемого объекта меняются, т. е. матрицы А и D и вектор Ъявляются функ­ циями времени, то к нужно выбрать равным п — 1. Тогда группа условий в (8.6) в форме равенств отсутствует, ус­ ловия (8.6), (8.7) следует переписать в виде

(8.8)