Файл: Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 163
Скачиваний: 3
| 3] СИНТЕЗ В ПРОСТРАНСТВЕ КООРДИНАТЫ ОШИБКИ 1?3
предполагается, что опа удовлетворяет условию (8.14), и следовательно, найдется такая функция времени 0(<), для которой справедливы условия
m—1 |
|
|
|
F {m) = е (/.) 2 ^ (i) (О. |
10(<)| |
< |
(8-17) |
г=0 |
|
|
|
Перейдем от двух уравнений (8.13) и (8.15) к одному урав нению n-го порядка. Для этой цели предварительно пере пишем уравнение (8.13) следующим образом:
|
т —1 |
|
m—1 |
|
|
|
|
у(т) _ 0(<) |
2 |
= - |
2 |
(J i |
+ 9 (0) y{i) + |
»*, |
(8-18) |
|
i=0 |
|
i —О |
|
|
|
|
а уравнение (8.15) |
продифференцируем т раз: |
|
|
||||
|
|
П—ТП+j—1 |
|
|
|
||
yti) = |
х ( п - п 1+3) |
2 |
b*i} |
(£) a:(i) — F U ) |
(£), |
(8.19) |
|
|
|
|
г=0 |
|
|
|
|
|
|
7 = |
0 ,1 ,..., |
/п, |
|
|
|
где &i* (£) — зависящие от £>0, . . ., |
и их производных |
||||||
коэффициенты, которые согласно (8.16) являются огра ниченными функциями времени. Обозначив через хг, . . .
. . ., хп координату ошибки х и (п — 1) ее производные и подставив в левую часть уравнения (8.18) значения у® из
(8.19), получим |
систему тг-го порядка, которая согласно |
|||
условию |
(8.17) |
не зависит от внешнего воздействия F (£): |
||
Xi = |
xi+1 |
(i = 1 , . , п — 1), |
|
|
|
п |
in —1 |
(8.20) |
|
лп = —2 ai(г) хк+ и* — 2 (-FI' + 0 (0)у(1). |
||||
|
||||
|
г=1 |
г=0 |
|
|
где a-i (t) — ограниченные функции времени, зависящие
от всех Ь*ц и 0(£). Движение в скользящем режиме для такой системы по любой плоскости скольжения в соот ветствии с (II.VIII) зависит только от коэффициентов уравнения этой плоскости, и поэтому, выбирая их над лежащим образом, можно за счет введения скользящего режима свести ошибку к нулю. Задача создания плоско сти скольжения для системы (8.20), по сути дела, совпа дает с аналогичной задачей, рассмотренной в § 1, так как
174 |
УПРАВЛЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫМ ДВИЖЕНИЕМ [ГЛ. VIII |
координаты (i = 0, . . т — 1) можно считать из меряемыми возмущениями. В соответствии с получен ными ранее рекомендациями для построения комбиниро ванных систем с переменными параметрами коэффициенты
W? должны изменяться согласно (8.13), а функция их — согласно (5.6) при к = п — 1. Для системы (8.20) первая группа условий (8.8) перепишется следующим образом:
ai > sup (с{_!— щ — сп_хс{ -Ь anCi), i
(3;< inf (сх_х — at — с„_хсх anc-) |
(i = 1 ,..., n — 1). |
|
г |
|
|
Для Y i вида (8.13) |
выполняются |
условия, аналогичные |
второй группе неравенств в (8.8) |
(так как cTb = 1, cTd' = |
|
= 0 (£) и |б (0 1 В). |
Так же как и для комбинированных |
|
систем, условие попадания может быть позаимствовано из
§ 3 главы VI. |
Применительно к системе (8.20) это усло |
вие запишется |
в виде sup (сп_х — ап) 0, и его выполне- |
|
( |
ние обеспечивает устойчивость системы при любых началь ных условиях, если устойчиво движение в скользящем режиме *).
§ 4. Обобщение для систем произвольного вида
Распространим описанный подход к построению систем управления вынужденным движением объекта, для кото рого внешние возмущения недоступны для измерения, на системы общего вида (II.IV). Рассмотрим случай, когда скалярным является не только управление, но и возмуще ние, и поведение системы описывается уравнениями
|
х* — А *х* -f |
b*u + |
d*f (t), |
(8.21) |
|
где х* |
— вектор состояния |
с координатами хх, . . |
., xnlt |
||
у, а — скалярное управление, |
/ (t) — скалярное |
возму |
|||
щение, |
A *, b*, d* — матрица |
и |
столбцы соответствую |
||
щей размерности с постоянными или переменными коэф
фициентами |
ац (i , / = 1 , |
. . ., п), b\, di (i = 1 , . |
. n). |
В системе |
управления, |
заданной уравнениями |
(8.21), |
*) Если условия существования плоскости скольжения и по падания записать в виде строгих неравенств, то согласно главе III в управлении (8.3) релейную компоненту Ьи можно исключить.
§ 4 ] ОБОБЩЕНИЕ ДЛЯ СИСТЕМ ПРОИЗВОЛЬНОГО ВИДА 175
уже нет деления на объект и исполнительное устройство. Однако с физической точки зрения в любой системе, ре шающей задачу управления вынужденным движением, должна быть координата, которая парирует действие внешних возмущений. Если система справляется со сво ей задачей, то в этой координате заложена информация о величине возмущений. Поэтому в тех случаях, когда эти возмущения недоступны для измерения, целесооб разно использовать при формировании функции управ ления координату, которая компенсирует их действие. Именно этот подход и лежал в основе описанного в § 2 метода управления, а выходная величина исполнитель ного устройства являлась той координатой, о которой здесь идет речь. Выберем в качестве такой координаты компоненту у вектора х * . Пусть величина у входит в одно из первых (п — 1) уравнений системы (8.21), например, в к-е уравнение (в противном случае с помощью величины у не удалось бы влиять на поведение системы в целом), и кроме того, это уравнение не зависит от управления, т. е.
71— 1
%к — S a*kixi + КпУ "Ь |
(8.22) |
i=l |
|
Введем новую координату |
|
П — 1 |
|
хп — 2 alixi + а1пУ+ dV- |
(8-23) |
i=l |
|
Далее поведение системы будем рассматривать в прост ранстве хх, . . ., хп и характеризовать ее состояние п-мер- ным вектором х с этими компонентами. (Очевидно, что при акп =ф=0 такое преобразование является невырожденным).
По аналогии с предыдущим случаем управление со ставим в виде суммы воздействий по (п — 1)-й координате системы и по выходной координате исполнительного уст ройства, роль которой играет величина у *):
П — 1
и = - |
2 ЧГ&-ЧГуу. |
• |
(8.24) |
________________ |
i=l |
|
при к — |
*) Такое управление |
аналогично управлению (5.6) |
||
= п — 1. В этом случае, как отмечалось в главе III, при выполне нии условия попадания (а оно далее будет выписано), нет необхо димости в использовании релейной составляющей бц.
V
176 УПРАВЛЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫМ ДВИЖЕНИЕМ [ГЛ. VIII
Коэффициенты воздействий в (8.4) будем изменять скач кообразно на некоторой плоскости, заданной в пространст-
ве |
) 3*71 • |
|
|
|
|
|
|
|
||
xFi = |
|
а; |
при |
XiS^>0, |
|
|
|
|||
|
Pi |
при |
X iS < 0 |
(i = 1,. ■.,7i—1), |
(8.25) |
|||||
|
|
|
||||||||
XYV = |
В |
при |
ys )> О, |
|
|
|
||||
—В |
при |
j/s<^0, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
s = стх, |
с — вектор |
с |
элементами |
съ . .., сп\ аь |
рь В, |
|||||
Ci — const, |
сп — 1. |
Запишем |
теперь |
|
уравнения движения |
|||||
системы в пространстве хг, |
. . ., хп, воспользовавшись со |
|||||||||
отношениями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у = |
|
4 - [ х п — |
2 |
аИХi |
|
|
(8.26) |
|||
|
|
|
акп ' |
|
1=1 |
|
|
|
||
|
|
|
п—1 |
|
|
|
|
|
|
(8.27) |
» |
= |
- 2 |
^ г |
+ |
V ( t ) y - ( ¥ V + Q'(t))y, |
|||||
|
|
|
1=1 |
|
|
|
|
|
|
|
где 0* (t) — произвольная функция времени, удовлетво ряющая условию
|0*(О1<Я. (8.28)
Для этой цели к-в уравнение в (8.21) в соответствии с обоз начением (8.22) заменим уравнением x k = хп, вместо по следнего уравнения запишем уравнение, которое полу чится в результате дифференцирования соотношения (8.23) в силу системы (8.21) и, наконец, вместо у всюду, за ис ключением последнего слагаемого в (8.27), подставим его значение, вычисленное согласно (8.26). В итоге ползшим следующую систему:
|
71— |
1 |
|
|
|
|
х = |
Ах - Ъ S |
|
- b ГГ1' + |
0* (0] y + d f + |
ЫГ (t) / + |
dlf, |
|
|
|
|
|
|
(8.29) |
где |
коэффициенты |
матрицы |
А и столбцов |
b, d, d' |
зави |
|
сят от коэффициентов исходной системы |
(8.21), производ |
||
ных от коэффициентов уравнения (8.22) |
*) |
и от функции |
|
*) Отметим, что производные от |
и / входят |
лишь в послед |
|
нее уравнение системы (8.29). |
|
|
|
§ 4.1 ОБОБЩЕНИЕ ДЛЯ СИСТЕМ ПРОИЗВОЛЬНОГО ВИДА 177
0* (t). Как и в рассмотренных выше случаях, будем счи тать, что все коэффициенты системы (8.29) являются огра ниченными функциями времени.
Если окажется, что за счет выбора коэффициентов движение в скользящем режиме удается наделить желае мыми свойствами, то плоскость переключения s = 0 сле дует сделать плоскостью скольжения. Покажем, что это можно сделать в рамках закона управления (8.24), (8,25), т. е. без измерения возмущения, когда возмущение при надлежит классу функций
I / / / 1^ М |
(М — const), или / = 0 (t) /, (8.30) |
где 0 (t) — произвольная функция, удовлетворяющая ус ловию
|0(*)|<М . (8.31)
Ограничение (8.30) является частным случаем усло вия (8.24), когда исполнительное устройство является звеном первого порядка (т = 1).
Для определения условий существования плоскости
скольжения, как и ранее, нужно вычислить значения
п—1
функции s на плоскости s = 0 (т. е. для хп = — 2 cixi)
' |
i=l |
' |
в силу системы (8.29) |
|
|
П—1 |
|
|
а= 2 [сТ«* - ci (ст«я) - (cTb) Т (] а* - |
(сЧ) (Т у + 0* («)) У + |
|
i=l |
|
|
+ (сЧ) / + (сЧ) 0* (t) / + (сЧ ') f. (8.32)
Так как 0* (t) является произвольной ограниченной функцией времени, выберем ее следующим образом:
е*(9 = |
(cTd1) 0 (t) -f- c T d |
(8.33) |
|
- |
7 b |
||
|
|
|
|
Тогда согласно (8.30), |
(8.32) |
(8.33) величина s не зависит |
|
от неконтролируемого возмущения, а координату у мож но рассматривать как измеряемое внешнее воздействие и выбрать коэффициенты функции управления (8.24), (8.25) в соответствии с разработанным в § 1 методом синтеза