Файл: Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 159
Скачиваний: 3
184 УПРАВЛЕНИЕ СВОБОДНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ОБЪЕКТОВ [ГЛ. IX
с отличными от пуля элементами q-t (i = 1, . . ., гаг). Для управления (9.3) система (9.2) перепишется в виде
s = Н" (хт)” + Я ' {хт)' + Qur. |
(9.4^ |
В (9.4) (хт)' и (хт)" — г- и (га — гаг — г)-мерные векторыстолбцы с элементами соответственно (хи . . ., хг) я (гг+1, . . ., х „ -т) (1 < > га — гаг), а матрицы Н' и Я " состоят из столбцов матрицы Я:
я= |(5
г.—т—г
Всоответствии с таким разбиением выберем каждую из
компонент щ в виде суммы воздействий но г координатам хх, хг с разрывными коэффициентами
и \ = — 2 |
1¥цхз — К ь |
(9.5) |
||
«ii при •EjS-i |
5=1 |
|
|
|
0, |
(г = 1 |
, . . гаг, у = |
1 ,.. ., г), |
|
при •ZjS* |
0 |
|||
б . = |
/ |
при |
О, |
|
ПрИ |
S;<^0, |
|
||
“ |
6, |
|
||
аи> Ри — постоянные коэффициенты, 8i0 — любые сколь угодно малые величины, совпадающие по знаку с дг. При различных сочетаниях значений коэффициентов
позволяют получить 2гт линейных структур, т. е. |
и в слу |
чае систем с векторным управлением решение |
ищется |
в классе систем с переменной структурой. |
е. st за- |
Так как матрица Q является диагональной, т. |
висит только от i-й компоненты вектора и , то условия возникновения скользящего режима на каждой из плос костей можно рассматривать независимо. Очевидно, что при выполнении соотношений
Qi^ij |
ij i |
ЯФв |
(г = 1 ,.. гаг, / = 1 ,.. ., г) |
(9.6)
Н" = 0 или
h{j = 0 (г = 1, ..., гаг, у = г + 1, ..., га — гаг)
Ml |
УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЙ |
1 8 5 |
всегда справедливы условия (1.9) существования сколь зящего режима на каждой из плоскостей st = 0 в окрест ности переселения s = 0. Это означает, что для системы £9.1) с управлением (9.3), (9.5) многообразие s = 0 яв ляется многообразием скольжения.
Рассмотрим теперь второй вариант метода диагонализации, который предполагает замену уже выбранных (исходя из желаемого вида уравнений скольжения) плос костей разрыва s = 0 новыми плоскостями s* = 0 в соот ветствии с линейным преобразованием
s* = Qs, |
(9.7) |
где det Q =jf= 0, s* — пг-мерный вектор с компонентами s*.'
Как было показано в главе IV, уравнения скольже ния инвариантны к такому преобразованию поверхностей разрыва. В связи с этим предполагается подобрать такую матрицу Q, чтобы проекция движения системы на подпро
странство (s1? . . ., sm) описывалась уравнениями вида (9.4). Если Q = Q (СВу1, то согласно (9.2), (9.7) это ус ловие будет выполнено:
5* = Н" (хт)" + S ' (х™)' + Qu, |
(9.8) |
где I t f'jJ P fl = И, Н = Q (СВ)~1Н.
Г п — 771— Г
Так как в (9.8) матрица Q — диагональная, то и в этом случае для того, чтобы многообразие s* — 0 оказалось многообразием скольжения, управление и нужно выбрать в виде (9.5) и выполнить аналогичные (9.6) условия:
£
|
|
|
Г |
|
|
|
|
щ = — 2 |
Тух,- — 6ui, |
(9.9) |
|
|
|
|
J=i |
|
|
аи |
при |
XjS* > |
0, |
|
|
|
II |
при |
хр\ < 0 |
(i = 1 ,..., пг, ) = |
1 ,..., г), |
|
1 |
|||||
( s10 |
при |
< > |
0, |
|
|
&ui — |
б |
при s* < 0, |
|
1—fyo |
|
(9.10)
186 УПРАВЛЕНИЕ СВОБОДНЫМ ДВИЖЕНИЕМОВЪЕКТОВ [ГЛ. IX
ЧгЩ] i®5h\j, |
|
|
|
|
|
|
|
9iPij < Tf-a |
(i = |
1 ,.. ., m., / = |
1 , . . r), |
|
(9.10) |
||
H"—0 или |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
Лу = |
0 |
(i = |
1,. . ., m, у = |
г + |
1 ,..., п — тп) |
/ |
|
(в 9.10) |
htj |
— элементы матрицы |
Н). |
Обратим внимание |
|||
на то, |
что |
в силу невырожденности |
матрицы Q (СВ)~1 |
||||
в (9.8) |
уравнения Н" — 0 и |
Н" = 0, |
а следовательно, |
||||
иусловия вида равенств в (9.4) и в (9.10) эквивалентны. Оба варианта метода диагонализации приводят к одним
итем же уравнениям скольжения. Во втором случае каж дая компонента ut вектора управления и претерпевает
разрывы лишь на одной плоскости si — 0, в то время как в первом — на всех плоскостях, так как любая компо
нента ut состоит из суммы функций иг, . . ., |
ит, которые |
имеют точки разрыва на соответствующих |
плоскостях |
st = 0. |
|
Воспользуемся теперь обоими вариантами метода син теза, описанными в § 4 главы IV, которые основываются на построении функции Ляпунова в виде квадратич ной формы. Выберем некоторую симметричную постоян ную матрицу D, которая удовлетворяет критерию Силь вестра.
Первый вариант метода основывается на введении но вого управления и*, компоненты которого претерпевают
разрывы на |
выбранных, исходя из желаемого |
характера |
|
движения, |
поверхностях. Это управление |
связано с |
|
вектором и |
линейным |
преобразованием |
|
|
и = |
{СВ)~Юи*. |
(9.11) |
Как и при использовании первого варианта метода диа гонализации, выберем управление и* в виде (9.5) и запи шем его следующим образом:
и* = — и0 — U sign s, |
|
(Э Л ^ |
|
где и0 — нг-мерный вектор с компонентами |
|||
Г |
|
1, — |
|
ио = ^ UtL+hLxj |
(* = |
, т), |
|
3=1 |
|
|
|
U — диагональная матрица размерности т X т с
§ 1] УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ 187
ненулевыми |
элементами |
|
|
|
|
|
г |
|
|
х |
u t = |
2 3 ;^ |
|^] + 6о, |
= |
|
|
3=1 |
|
|
sign s — m-мерный вектор с компонентами sign s*. В систе ме с переменной структурой (9.1) с управлением (9.11), (9.12) уравнение (9.2), описывающее проекцию движения на подпространство s, имеет вид
s = Нхт— Du° — DU signs. |
(9.13) |
Функцию Ляпунова для этой системы представим в виде положительно определенной квадратичной формы
v = у sTD~1s.
Производная этой функции по времени определится в со ответствии с (9.13)
и = sT (D~1Hxm— и°) — sTU sign s.
Использованное в (9.4) разбиение вектора Нхт на два слагаемых и представление вектора и* в виде (9.12) поз воляют переписать уравнение для v следующим образом:
v = sTD~1H" {хт)” + sTH* (хту —
771 Г
|
- 2 ( 2 |
£S r 1Lias i+ e« )N ’ |
|
i = l ' 3=1 |
' |
где Я * = D~lH" — U°, |
U0 — матрица размерности т х г с |
|
элементами U% - ij-~^ |
. Имея в виду, что компонентами |
|
вектора (ж”1)' являются координаты ху, . . ., хт, из этого соотношения получаем условия, при которых функция и ■будет отрицательно определенной:
Н" = О или — О
(i = 1,..., m ,j = r - 1-1,... , n — m ),
(9.14)
аи — Рц |
>|йу| |
(i = 1,..., m, j = 1,..., 0, |
2 |
где й£/ — элементы матрицы Я *. Так как функции г; и у имеют разные знаки в окрестности любой точки многообра
188 УПРАВЛЕНИЕ СВОБОДНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ОБЪЕКТОВ [ГЛ. IX
зия s = 0, то согласно главе III это многообразие являет ся многообразием скольжения.
Второй вариант метода, основанного на использова нии квадратичных форм, предполагает замену уже выб* ранных плоскостей разрыва новыми плоскостями в соот ветствии с линейным преобразованием (9.7). Выберем матрицу £2 равной D (СВ)~г, а управление и — в соот ветствии с (9.9). В этом случае, следуя той же методике, с помощью которой было получено уравнение (9.13), можно записать уравнение, описывающее проекцию дви жения на подпространство s* = 0:
s * = D (СВ)~Шхт — Du° - D U sign s*.
Функцию v вновь выберем в виде положительно опреде
ленной квадратичной формы y s*tD~1s*, тогда ее производ
ная по времени будет равна
v= sT {СВ)-1 Н" (хт)” + sTH* (хт)' —
т- г
- 2 ! ( 2 т ^ - 1 * | | + » « ) Ы '
г=1 7= 1
где Ш* = {СВ)~1Н' — U0. Условия, при которых многооб разие s* = 0 является многообразием скольжения, ана
логичны условиям (9.14) |
I f^'t4' . |
||||
Н" = |
0 |
или |
hij = |
0 |
|
|
|
|
(i = |
1,..., m ,j = r + |
1, — , п — т), |
|
|
|
|
|
(9.15) |
2 |
^ |
> f |
| |
(i = 1,..., m, j = |
1,..., r), |
где Tiij — элементы матрицы И *. Условия типа неравенств в (9.14) и (9.15) можно выполнить за счет увеличения ве~» личин atj — Р оставляя постоянными суммы atj + р ;;, которые входят в правые части этих неравенств. Сущест венно отметить, что полученные здесь условия, наклады ваемые па коэффициенты матрицы С и коэффициенты воз действий ац и Р ц, были получены как достаточные. Нетрудно убедиться, что при фиксированном г и выбранном
способе управления равенство Н" |
= 0, которое |
входит |
во все группы условий, является |
одновременно |
и необ |