Файл: Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой.pdf

178 УПРАВЛЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫМ ДВИЖЕНИЕМ [ГЛ. VIII

комбинированных систем с переменной структурой. В ре­

sign (cTb) ^ <( inf |cTb |1 [ста’ — q (cTan)] (i = 1, . . ., n — 1), .

sign (cTb) В sup 0* («).

(8.34)

G учетом (8.31), (8.33) последнее неравенство следует за­ писать в виде

Неравенства (8.34), (8.35) будут условиями существова­ ния плоскости скольжения. Так как в функции управле­ ния релейная составляющая 6и отсутствует, то в отличие от рассмотренной в § 1 комбинированной системы усло­ вие попадания имеет вид строгого неравенства

sup (стап) <[ 0.

(

Таким образом, в системах с переменной структурой, начиная с некоторого момента времени, можно обеспечить существование скользящего режима и для вынужденного движения. Наиболее существенная особенность описан­ ного закона управления заключается в том, что для его реализации нет необходимости в непосредственном изме­ рении приложенных к объекту внешних возмущающих сил. Конечно, движение в скользящем режиме, вообще говоря, зависит от возмущающих воздействий, однако его харак­ тер можно изменять с помощью коэффициентов сг в урав­ нении плоскости переключения, на которые не наложено никаких ограничений.

Реализация описанного здесь закона управления пред­ полагает использование величины хп, которая является производной по времени от одной из координат системы. Операция дифференцирования может быть осуществлена также с цомощыо скользящих режимов, создаваемых в ди-

4 ] ОБОБЩЕНИЕ ДЛЯ СИСТЕМ ПРОИЗВОЛЬНОГО ВИДА 179

нейных фильтрах с переменной структурой. Один из ме­ тодов построения такого фильтра, который в скользящем режиме является аналогом форсирующего звена, описан

вработе [33].

Взаключение отметим, что применение метода управ­ ления вынужденным движением систем произвольного вида не ограничивается возмущениями класса (8.30). В мо­ нографии [45] рассматривается один из возможных подхо­ дов, позволяющих создать движение в скользящем режиме

идля неизмеряемых возмущений, принадлежащих классу

(5.14) при пг^>1. Этот подход предполагает введение в систему динамического звена тп-то порядка, которое ис­ пользуется точно так же, как и исполнительное устройст­ во при синтезе управления для описанной в § 3 системы. В ряде случаев часть из уравнений исходной системы можно принять в качестве уравнений такого динамическо­ го звена и необходимость его введения в систему отпадает.

Р А 3 Д Е Л III

ВЕКТОРНЫЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ

Настоящий раздел посвящается принципам построения и методам синтеза систем с разрывными управлениями в предположении, что функция управления является век­ торной величиной. Основное внимание будет уделено зада­ чам управления линейными объектами, описываемыми уравнениями

где х — гс-мерный вектор состояния, А (£) — матрица раз­ мерности п х п с элементами ai} (t), D (t) — матрица размерности п х I с элементами dtj (t), F (t) — /-мерный- вектор внешних воздействий с элементами / ; (£), i? (£) — матрица размерности п х т с элементами Ъц (£), и — тп- мерный вектор управления с компонентами иг.

Как и ранее, порознь будут рассмотрены случаи сво­ бодного (F (t) = 0) и вынужденного (F (£) ф 0) движе­ ния как для стационарных, так и для нестационарных

объектов.

Методы решения различных задач управления по-преж­ нему будут основываться на преднамеренном создании движения в скользящем режиме, которое в отличие от ска­ лярных случаев будет происходить не на одной, а на пе­ ресечении нескольких поверхностей разрыва.

Излагаемые здесь методы являются дальнейшим разви­ тием намеченных в главе IV подходов и в значительной степени обобщают результаты раздела II. В то же время уместно напомнить, что это обобщение не может быть' осуществлено механически, так как вопрос о возникнове­ нии скользящих движений для векторных, случаев сво­ дится к решению задач об устойчивости нелинейной систе­ мы и не решается столь очевидным способом, который для скалярных случаев следовал из условий (1.9).

Привлекательная особенность систем с векторным уп­ равлением заключается в том, что мы располагаем боль-

шими возможностями «влиять» на уравнения скольжения, так как они зависят от всех компонент векторов градиен­ тов к поверхностям разрыва.

Помимо задач, уже разобранных в разделе II приме­ нительно к скалярному случаю, будут рассмотрены три новых постановки. Первая из них связана с выявлением класса систем, в которых скользящие движения инвари­ антны к внешним возмущениям и изменяющимся пара­ метрам объекта (частным случаем таких систем являются системы, описываемые уравнениями (II. VII)). Решение второй задачи предполагает построение системы оптими­ зации, в которой осуществляется поиск входных пара­ метров, обеспечивающих экстремальное значение выход­ ной величины. Эта нелинейная задача будет также рас­ смотрена для случаев, когда экстремум должен быть найден при наличии ограничений на входные параметры. Кроме того, будет рассмотрена задача об идентификации динамических объектов с помощью моделей с переменной структурой.

При формировании функции управления в системе (III.I) будем в дальнейшем выбирать уравнения поверх­ ностей, на которых претерпевают разрывы компоненты вектора и, в соответствии с (2.3), линейными, т. е.

Предполагая, что для рассматриваемой системы при­ меним метод эквивалентного управления, запишем уравне­ ния скольжения по пересечению всех поверхностей раз­

•являются векторы сг. Согласно методу эквивалентного управления нужно решить уравнение s = СА х + CDF +

182 ВЕКТОРНЫЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ

Такая процедура приводит к следующей системе уравне­ ний скольжения (п — пг)-го порядка:

-Ап_т (С")~ЛС ) + С" (Ат - Ап-т (С")~1С']1

Dm = D’ — В' (CB)~lCD,

?1—?)г т

Если скользящий режим, описываемый уравнениями (III. IV), возникает в любой точке многообразия (Ш ЛИ ), то в дальнейшем его будем называть многообразием скольжения.

Предположим, что в зависимости от цели управления с помощью пхтп свободных параметров су можно наделить движение в скользящем режиме теми или иными свойст­ вами. Тогда попытаемся и для таких систем с векторным уп­ равлением так подобрать компоненты управления, чтобьц многообразие s = 0, определяемое коэффициентами сц, оказалось многообразием скольжения, а изображающая точка попадала на него из любого начального положения. Обратим внимание на то, что с ростом размерности векто­ ра управления задача синтеза линейной системы (III. IV) упрощается, так как понижается порядок этой системы и увеличивается число свободных параметров.

§ 1] УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ 183

Г Л А В А IX

УПРАВЛЕНИЕ СВОБОДНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ЛИНЕЙНЫХ ОБЪЕКТОВ

§ 1. Условия существования многообразия скольжения для объектов с постоянными параметрами

Уравнения системы управления свободным движением объекта с постоянными параметрами имеют вид

В являются постоянными и отсутствует вектор внешних воздействий F (<).

Как было показано в разделе I, вопрос о существова­ нии многообразия скольжения сводится к задаче об устой­ чивости проекции движения системы на подпространство (ах. . . ., sm) «в малом» для всех векторов я, лежащих на этом многообразии. Уравнения этого движения можно

а матрицы А т, А т, А п-т А п-т определяются в соответствии с (III. IV).

Для определения функции управления, обеспечиваю­ щей существование многообразия скольжения, восполь­ зуемся методами синтеза, описанными в главе IV.

Рассмотрим сначала оба варианта метода диагонализации. Первый вариант этого метода согласно (4.7) пред­ полагает выбор вектора управления в следующем виде:

где и* — m-мерный вектор, каждая компонента которого

щ претерпевает разрывы соответственно на плоскости Sj (х) — 0, a Q — произвольная диагональная матрица