ной помехи, можно представить в виде
Yz (Я,) = рп (Я1) -f- р22 (Я,) |
|
2р^ |
Цл (Я,) р22 (Я1) -f- |
|
|
|
+ gn(X> + |
ln P (l), |
(9.2.8) |
X (^2) = |
Pll (^2) |
Рг2 (Яа) |
^РпV |
Рп (Я2) Р22 (^й) “Ь |
2 |
|
|
г--------- --------- — |
|
|
+2 S |
Рьп |
У |
Pfcn (^ 1 ) |
( Я 2) |
+ £„(Я2) + 1п Р(0). (9.2.9) |
kt n—1 |
|
|
|
|
|
|
Подставляя |
выражения |
выходных эффектов (9.2.8) |
и (9.2.9) |
в неравенство |
(9.2.3), |
получаем |
|
ёп (Я2) ёп (4) |
Pn (^1)-(-'(*32(^1) "j- |
+2р12 ри (Я0 |Х22 (Я,) -(- Ри (Я2) Н- Р22(Я2) +
+2Pj2l / Рп(Х)р22(Я2) —
PSn ^ Pftn (^ 1) P/m ( Я 2) + 1пР(1)/Р(0). |
(9.2.10) |
_k,п—1
Случайная величина, стоящая в левой части нера венства (9.2.10), представляет собой нормальную слу чайную величину со средним значением, равным нулю,
так как < n ( t) > = 0. Для определения дисперсии этой
случайной величины найдем корреляционную функцию
ёп_(^Д ёп (^j) X ---
Г v ^
- |
J Ш |
V*' |
0^ ^ < п & )”Т& ) > |
0V*’ и х |
|
о |
|
|
|
X |
s (4; X ) Г1 dti = |
f f s r (4; X ) 0 (4; t2) S (t2, %) d t . d t ^ |
|
|
/=1 |
0 |
|
|
|
|
= |
(9.2.11) |
С учетом (9.2.11) искомая дисперсия случайной ве личины, стоящей в левой части неравенства (9.2.10), будет определена как
X [gn (Р-2 )-- ёп (^-l)J“ X 2 i Рл (Я2)X Р2 2 (Яз) -)-
|
(я2) p.22(я2) |
(я,) -f- |
|
~Ь 14>2 (^l) |
2p}J] |
/ " (Я,) P-22 (Я,) -- |
|
— 2 S |
Phn |
(^-l) P-ftn (Я 2) |
(9.2.12) |
n —1 |
|
|
|
|
Вероятность выполнения неравенства (9.2.10) |
в соот |
ветствии со сделанными замечаниями определится по формуле
p (o /i) = - = _ L _ = = x
КаяСГ&ЛЪ)-&,(*,)]•>
ig. ( 4 T „g.(M P _ _ |
u Ign(l2) - g„(l,)l. |
2< [gn(A2)-g „ (M l2> |
\ |
|
(9.2.13) |
М0 — |
( X j ) - f - |
р-(Я.,) — 2 S |
|
Р|,п |
НЧЩ ( Я 1) 4/171 (Я 2) |
|
|
ft, «=1 |
|
|
|
Подставляя в (9.2.13) соответствующие значения, по |
лучим условную |
вероятность |
ошибочного решения |
|
|
|
|
|
Р_0) 1 |
|
где |
Р (0 /1 )= 1 — Ф а + 2 а ЫР( 0) J’ |
( 9 . 2 . 1 4 ) |
|
|
|
|
|
|
|
1 / |
4 (^-1) 4-11 (Я2) — 2 |
|
2 |
|
|
Л |
|
$kn |
V |
(^-l) l^kTi (^2) |
а = 1/ |
|
|
k, n = I |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
(9.2.15) |
|
|
|
|
|
|
|
Аналогичные рассуждения, проведенные для услов |
ной вероятности |
ошибочного |
|
решения |
Р(1/0), |
приводят |
к результату, что |
|
|
|
Р ( 0 ) ' |
|
|
Я (1 /0 )= 1 — Ф |
' |
I 1 |
1 |
(9.2.16) |
|
|
2а |
ПР(1) |
|
|
|
|
|
Подставляя полученные выражения для условных вероятностей ошибочных решений (9.2.14) и (9.2.16) в (9.2.2), найдем общую формулу средней вероятности
ошибочных решений оптимальной приемной системы бинарных ПМ сигналов:
ОШ ср • |
Р (1 )Н — Ф |
+ 2 |
а Р (0) |
К |
|
|
+ |
р (0) {■ — ф [“ + 2 Г 1пЯ т т ]}' (9'2Л7) |
Из полученной формулы (9.2.17) с учетом (9.2.15) следует, что средняя вероятность ошибочных решений при различении двух детерминированных ПМ сигналов зависит от величины а и априорных вероятностей Р(0)
иР( 1) .
Априорные вероятности Р(0) и Р(1) определяются статистическими свойствами передаваемых сообщений. Величина а зависит не только от энергии эквивалент
ного сигнала
^экв (^! Я)— S Я,) ^ (i\ Я2)
при данном уровне помех, как это мы находим у опти мальных приемных систем бинарных одномерных сигна лов [36], но и от взаимной корреляции ортогональных компонент ПМ сигналов и аддитивной помехи.
При равенстве априорных вероятностей появления ПМ сигналов Р(\) =Р(0) =0,5:
1п (Р (1)/Р (0))= 1 п (Р (0)/Р (1))= 0, Р (1/0)= Р (0/1),
(9.2.18)
формула средней вероятности ошибочных решений упро щается и принимает вид
ЯошсР= 1 - Ф ( а ) . |
(9.2.19) |
Далее можно рассмотреть определение Рошср для случая различения квазидетерминированных ПМ сигна лов и получить результаты, аналогичные результатам хорошо известных работ [18, 36] с учетом двумерного характера ПМ сигналов и аддитивных помех. Поэтому мы остановимся здесь только на определении оптималь ного порога ограничения при различении ПМ сигналов со случайной начальной фазой.
Используя свойство узкополосности принимаемых колебаний, на основании (8.5.8), (8.5.10) и (8.5.12) для
среднего значения случайной величины Q(M; Яг) полу-
