Полагая априорные вероятности наличия ПМ сигна лов со случайными начальными фазами равными, для средней вероятности ошибочных решений рассматривае мой оптимальной приемной системы различения полу чаем выражение
Рот. ср = 1 - 0,5 J {/ [Q (Я,; 0)] - f [Q (0; Я,)]} dQ (Я,; Я,).
м
(9.2.25)
При оптимальном пороге ограничения М =М 0Пт сред няя вероятность ошибочных решений должна быть мини мальной. Подставив в выражение (9.2.25) соответствую щие плотности вероятностей (9.2.23) и (9.3.24), продиф ференцируем интеграл по нижнему пределу и результат
приравняем нулю. Тогда, полагая p(Xi; Ля) =[1(1X2; Xi),
после соответствующих преобразований получим
[ ц (Xi) |
4 - п (Х2) |
2 ц (Xi; |
Х2) ] [ ц ( Х ] ) ц (Х2) I _ _ |
|
|
Ц (Xi) 4“ Р (Х2) |
2ц (X,; Х2) |
|
__ 1п/ { |
Мт<Т[У (Хц Х2) — ц (Х„)] |
|
( Р (Xi) 4~ Р1 (Х2) — |
2ц. (X ,; Х2) |
|
|
xW fMXQ-M X,; х2)1 |
(9.2.26) |
|
|
|
|
|
Р- (Xi) |
4 " Ц (Х2) |
2 ц (X,; Х2) |
|
Рассмотрим экстремальные случаи, которые позво лят определить интервал изменения оптимального поро га ограничения.
1.При
44олт [Iх (X,I X.) |
Р* ( Х2)] ^ ^ |
=► |
^ |
^ ^ |
Iх (Xj) + |
Ц (Х2) — 2ц (X,; Х2) |
натуральные логарифмы от бесселевых функций нуле вого порядка, стоящие в правой части равенства (9.2.26), приблизительно равны аргументам этих функ ций. Тогда равенство (9.2.26) можно переписать в виде
ft* (Xj) 4~ I-1- (X;) — 2ц (X,; |
Х2)] [ц (X,) |
ц (Х2)] _ |
Р1(Xj) -Т Ц (X.) |
2ц (X,; Х2) |
|
= М |
2ц (X,; |
Х2) |
ц (X,) |
ц (Х2) |
i,JOUT |
Р- (Xj) + |
Р- (Х2) — 2ц (Xj! X) |
|
О т к у д а н аход и м , что
Мопт = |
н . ( 1 , ) - ^ 2). |
|
(9.2.27) |
2. Если л:<§1, то |
In 10(х) ^ |
х 2. Тогда положив, что |
Мопт [Н (^-0 |
^2) |
И(^2)! |
^ 1 |
|
-> |
-»• |
|
-> |
^ > |
|
Iх (^1) ~h М* (^2) — 2fj* (Xt; h ) |
|
|
находим |
|
|
|
|
|
м 0пт= Vp. (I,) + |
ц (12) - |
2ц (X,; я2) . |
(9.2.28) |
Следовательно, при различении двух квазидетерминированных ПМ сигналов оптимальный порог заключен в интервале
Ц(Ъ—^ (X)< Mom < V Р(X)+ Р(X)~~2р. Д;X)
и для его определения в общем случае, отличном от
рассмотренных экстремальных, необходимо пользовать-
—>
ся табулированными функциями Райса. Величины р(Яг), входящие в выражения (9.2.27) и (9.2.28), определяют качество приема для конкретного вида ПМ сигналов и помех.
9.3. ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ПОЛЯРИЗАЦИИ ПРИ ОБНАРУЖЕНИИ ПМ СИГНАЛОВ
Из выводов, сделанных в § 9.1, следует, что полная вероятность неправильного решения, а также вероятно сти ложной тревоги и пропуска при обнаружении
ПМ сигналов тем меньше, чем больше величина ц(Х), характеризующая отношение сигнал/помеха на выходе приемной системы. Следовательно, эта величина явля ется удобной мерой определения качества работы при емной системы, и нам необходимо определить условия, при которых она принимает максимальные значения. Это позволит выяснить возможности поляризационной селекции ПМ сигналов, основанной на различии в поля ризационной структуре полей сигналов и помех. Пусть сообщение передается при помощи модуляции угла эллиптичности ср(/) эллипса поляризации электромаг
нитной волны сигнала. Тогда ПМ^ сигнал в ортогональ но круговом базисе разложения можно представить
в виде
[ S c r F ^ - S ^ i t ) ] cos(«rf + 0e)
(9.3.1)
[Sc1/7, e( O - 5 « F ?i(O ]cos(«of-0o)
s cl = s 0 cos ('Po— я/4);
S C2 = 50 cos (?o “Ья/4);
^= cos?(0;
Полагая, что ПМ сигнал
Ssl~ S 0 sin (сро — n/4); SS2 = S0 sin (?0 + it/4);
/™ = sin<p(f).
является узкополосным,
а энергетические спектры его ортогональных компонент симметричны относительно о>о, н пренебрегая слагае мыми, содержащими интегралы с удвоенной частотой, получаем
т^
(1)=• 4- jj (/,; 1)0 (t,; t,)S( t,; 1)ЙД =
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
= |
- ? “ K -ll + |
sin ^ |
- l l |
+ 2 C0S 2?°C0S 29»^-12 + |
|
|
|
+ ^+ |
2 2 — sin2tPo^!_22]> |
|
|
(9.3.2) |
|
|
|
|
|
где |
введены обозначения |
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
V-1 и = 4 - J f I77** (*.) F,c |
+ |
F"S (7>) F,s M |
('.; 72) X |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
X cos cd(tx— f2) dtxdta\ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
n |
££ = |
2-- J J |
( * , ) ^( Q ~ F , s ( 7 0 ^ |
& ) 1 9 » |
* . ) x |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
X cosu)(f, — t2)dtxdt2\ |
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
9 . |
[ * V |
( f |
>) ^ |
F *s (7<)& > ^ |
- |
& ) 1 |
0 » ( * .; |
- 1 2 |
(A |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X cos a>(f, — 12) dtxdta, |
|
|
|
а также принято, что |
012(f,;^a) = 021(^; 4)- |
Определив |
0(^X 2) из интегрального уравнения |
|
|
|
|
|
\ R n {txJ)%{t-t2)dt = l b i t , ~ t 2) |
|
(9.3.3) |
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
для заданного поля аддитивной помехи, можно вычис лить отношение ПМ^ сигнал/помеха на выходе прием
ной системы. Если поле аддитивной помехи стационарно и стационарно связано, а интервал наблюдения (0; Т]
много больше времени корреляции полезного сигнала, то пределы интегрирования в (9.3.3) можно распростра нить от —оо до + оо и с помощью преобразования Фурье получить:
ОО
t*+и = |
j |
Ra Н К |
И + < И ] |
|
—00 |
|
|
|
00 |
|
|
рЧ ц = |
j |
Rjj К |
И — а1 (®)1dm< |
—00
Р |
/ . |
1/ , ф С (йз + (0о)12 + 1/;' ф Л ш — |
и о )|2 |
» |
(9.3.4) |
|
(ш) = |
--------------------------- 5------------- |
|
;Яц («) /?22 («) — ^12 N
1Дф5(со + со0)Р + 1Дф,(со-со0)р
((о) ^?22 (Ш) --Л?2 (Ю)
/, / --- 1,2, / -у—/•
Положим, что частично поляризованная помеха имеет одинаковый характер собственной и взаимной корреля ции ортогональных компонент, а ее корреляционная матрица записывается как
|
|
|
|
|
Oj |
a1T2v |
|
(9.3.5) |
Rn (t) = р СО |
2 |
COS a) (f! — 4)’ |
a1a2v |
a2 |
|
|
где v — параметр, характеризующий |
степень взаимной |
корреляции ортогональных компонент помехи; |
р(т) = |
= рij(r) =Rij(x)/GiOj — коэффициент |
корреляции; |
Oi2 — |
дисперсии ортогональных компонент помехи. Введем
также |
в рассмотрение a2= o i2 + 022 — суммарную мощ |
ность |
помехи — и Kn=(oi—02)/(ai + 02) — параметр, ха |
рактеризующий поляризационную структуру помехи. Тогда выражения (9.3,4) после соответствующих пре-
о б р а з о в а н и й п р и м у т вид:
, |
_ |
2 (‘ + ^ |
) |
,.ф |
^+11 |
" " |
О2 (1 --- V“) (1 |
+ К п) 2 |
* + ’ |
|
|
|
|
2 ( 1 + ^ ) |
|
|
(9.3.6) |
|
|
|
11 |
о 2 ( 1 - - V 2) |
(1 + |
А„)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
,.9 |
|
2 (1 + к пу |
|
и? |
|
|
|
|
1*422 |
а 2 (1 — V2) ( 1 - |
К пУ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф |
|
2(1 -- К » |
) |
|
Ф |
|
|
|
|
|Л_2 2 ---- |
а 2 |
(1 — V2) ( 1 - |
к пу |
Г*_» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(1 + |
) |
2. |
ф |
|
|
|
|
1+-12 " |
„* (1 _ V*) (1 - К |
I1- ’ |
|
|
|
|
гп) |
|
|
|
где обозначено |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ I V |
(co + «o.)|> + V |
(«о-®,)|]» + |
|
|
ф |
1 |
+ |
|
(® + ®o)l* + I V[ |
(®-®о)1ЧI |
d<s>; |
V |
|
|
|
|
|
|
(9.3.7) |
^+ =-& Г |
|
|
р и |
|
|
|
|
|
|
|
|
[IV (® + ®„)|* + V |
(со —со0)|2] — |
|
|
ф |
|
- |
IIV (со + to0)12 + |
V |
(«О- со0)!21 |
|
|
|
|
|
р(со) |
|
—du>. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя полученные выражения (9.3.6) в (9.3.2), окончательно получаем
, t \ |
|
50 |
1 + К 1 |
„9 ( |
1_____ |
I |
1 ' _L |
1 \ W |
— |
- ^ Г |
2 ( 1 - v2) |
|
(1 + |
К п ) 2 |
M l — А„)2 ~ |
+ sin2cp0 |
|
1 |
1 |
|
2v co s 2f 0c o s 29о ) |
(1 + Ки)2 |
(1 - К п ) 2 |
1 ------------т |
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.3.8) |
где 0< y = V K < 1 > если М О 1 < п/4' |
ориентации |
Очевидно, |
что оптимальное |
значение |
угла |
эллипса поляризации niM^ сигнала определяется из уравнения
|
V (О |
v co s 2<р0 |
sin26o^ = 0 . |
(9-3.9) |
|
М0 |
(1 — v2) (\ —К2п) |
|
|
|
Считая, что cpo=+.+/4, а аддитивную помеху — частично поляризованной с 1/Ста| < 1, v+=0, из уравнения (9.3.9)
