Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf

Покажем, что

размерность

пространства

/\т

Е =

V

есть

Сп- Прежде всего заметим, что

п

в силу

полилинейности

ото­

бражения

/(а*

б?,,, ... , * , я е / я

) = « ,

' . . . а | * / ( « | 1

«

т

).

> • • • '

~

1 > 2,

... , п.

Поэтому

все

векторы

пространства

К

линейно

выражаются

через векторы /(<?;,, е^,...,

eim).

В

силу

же

знакоперемен­

ное™ отображения среди последних независимы

только

те,

которые

представляют

собой ^образы

С™ различных

соче­

таний т

базисных векторов пространства

Е. Эти

С™ векто-

п

V, так

ров и составляют, очевидно, базис

пространства

как

последняя операция,

указанная

в

определении

(присоеди­

нение линейных

комбинаций),

не

может

изменить

базиса.

В

частности, при

т — п

получается

одномерное

пространст­

во

с базисным вектором

f

(еи

е2,...

,

ет).

сначала надо построить

на базе данного пространства Е

п

над полем Q пространство

более высокой размерности, имен­

ней алгебры (как векторного пространства)

не

может

быть

произвольным числом, а только числом вида 2п .

Будем

исходить из

наличия некоторого

векторного

(n-мерного)

пространства

Е над полем Q с

базисом еи

е2,

я

A°E

=

Q,

Л'Е

= Е, л 2

£ ,

А3Е,...,

Л " - 1 ^

Л " £ .

п

п

п

п

п

п

п

Их

базисы

при

/ г > 2

(являющиеся образами различных со­

четаний векторов et)

обозначим

так:

f(eh, ец,...,

е , т )

=

[<?,,, еи,...,

е,т]

или,

еще

короче,

h

<i2<

...

<im.

Например,

в

/ \ 2 £ базис

состоит

из С\

векторов

е,г,

п

g i 3 , - - . ,

<?1я, е2я,

e2i,...,

е2п,...,

<?„_!,„.

Базисом

пространст­

ва /\°Е

является,

очевидно,

нейтральный

относительно

ум-

п

(в поле)

элемент

(единица), который

обозначим е,

ножения

а базисом

пространства

/\п

Е

является

вектор

ец-.п.

п

Рассмотрим теперь векторное пространство V, являюще­

еся произведением (в смысле

§ 3) всех

перечисленных

век­

торных

пространств:

V = 2ХЕУ(Л*Е)Х

... X

( Л Я - ,

£ ) Х ( Л Я £ ) .

,

п

п

я—1

я

Его размерность,

очевидно,

равна

\+Cl

+ Cl + ... + Cnn-x

+ С„ = 2".

Базис пространства Е состоит из векторов:

(е, О, 0,..., 0),

(0,

eh, 0,...,

0),

(0, 0, *?/,,,,..., 0)

(0, 0, 0,...,

ei2 3...n),

которые,

не вызывая недоразумений, можно

обозначить

е,

<?л, e i l h , . . . ,

ehh...i„-x,

еп...п .

Таким

образом,

произвольный

вектор

пространства V

мож­

но представить

в

виде

<хе 4- р'-е,, - f

h

+

... + j i ' . - ' n - i <?/,...*„_! - f vei2... „,

•/lh'"ime.

.

. . \ J l J r " J p

е. .

. "=

lih'

• 'lm

J\h''

'Jp

= •Z'1'2' • -^yj^

• ^'p f(e.,

e ,

, e.

• • -e. ).

(3)

h

lm

Jl

Jp

Так как все

ej ) суть элементы пространства

Ат+рЕ

Р

п

а <?125'(^з4 +

т е 4 5 +

ке1а) = ^f^exe2ebebe^)

+

+

+ ^(е^егеьехег)

=

<х$е12Ш.

Распространим

закон

умножения (3) на все векторы

про­

странства

V следующим

образом:

О п р е д е л е н и е .

Внешним

произведением

[АВ]

двух

векторов

А и В пространства

V=EXE

X Л 2 ^ X • • • Х л " ^

называется

вектор

того

I

n

n

п

же пространства,

определяе­

мый по следующему

правилу:

если

А — а0е + а\ et

+ а/'е^-}

|-

+ а^Ц1"-1

eh...in_x

- f а„

е12...п,

B = $0e + $iej + №Aejlh+----

+

+

№-i,n-leji...jn_l

+

$nel2...ll,

то

[АВ]

= а0р{ <?,+

• • . + а 0 р „ е 1 2 . . . „ +

+

• • • + а[ % et

+ • • • +

а{ p j f l i ' " - 1 / ^ , <V • •*,„_,) +

(4)

+

a i P n / ( ^ i " - e « ) H

г - * л Р я / ( в 1 ,

.... е„, ei. ...,е„).

Конечно,

в формуле

(4) все выражения

/(ef-e,)

при­

водятся

(в силу

полилинейности

и знакопеременное™

ото­

бражения f)

или к базисным

векторам

etr--tp,

или к нулям.

Таким

образом,

внешнее

умножение

векторов пространст­

ва V можно

трактовать

как линейную

(относительно

всех

сомножителей) операцию,

причем базисные

векторы

умно­

жаются

по правилу:

\eeil...,p\

= ell...tp,

[ее] = О,

1<Х->т-^-•;„}

=f(eil---eimeJl---eJp),

[а,

Ь] = [г'е„

р ^ ] - = -

№ej,

а%)

=

- [Ь, а]

и

i t

1 1

[а,

а]

— 0.

1

1

Но антикоммутативность не имеет места в

общем

слу­

чае. Например, если

а

= ei2-\-

аем,

то

(конечно,

здесь

п >

4

И а ф 0)

[а,

а] = 2 а е , , м

ф

0.

2

2

Однако

для

умножения

поливекторов

можно

указать

сле­

дующее

правило:

[ а , а ]

= ( - 1 Г [ а , а ] ,

(5)

р

я

ЯР

проверку

которого предоставим читателю.

Заметим еще, что всякий /и-вектор можно следующим

образом

„разложить"

по

базису векторного

пространства

Е:

п

« =

2

[арер],

(6)

т

p = l

m - l

где ар или

равен нулю

или

удовлетворяет

условиям

т-1

[ареч)ф0,

q = \,2,...,p.

(7)

т— 1

Действительно, представив

а

в виде

т

а

=

х ' ' - ' «

[<?,,...<?,

] ,

мые, содержащие е ь

затем из

оставшихся

— все, содержа­

щие в2, И Т. Д.

Внешняя алгебра

является

достаточно

сложной и пока

Л е м м а

1. Равенство

[aia2---ap]=0-

(8)

является необходимым

и достаточным условием линейной

зависимости

векторов

аи а2,

ар,

принадлежащих исход­

ному векторному пространству

Е(п^-р).