ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 127
Скачиваний: 0
Переходим в (34) к переменной интегрирования y= t/2, тогда
|
2IА |
ое-Ч- txdt |
(35) |
|
F'{A, х) = |
О |
|
|
|
2л'+‘ Г(л-+ 1) |
|
|||
Сравнением (35) и (33) получаем |
|
|||
F '(A ,x ) = |
P{x + 1, |
2А), |
|
|
и (32) принимает окончательный вид: |
|
|||
F (А, х) = |
|
0 |
[1 - Р(х -!- 1, 2А)], |
(36) |
|
Л Л-+1 |
|
|
|
куда входят только табулированные функции.
Выражение (36) упрощает также использование рекуррентного выражения (31), так как согласно (36) при вычислениях в памяти машины целесообразно ввести таблицу гамма-функции Г (х ) и вы числять функцию P(N, х).
3.Доказательство гипотезы Пальма
Восновополагающей монографии Хинчина [142] упоминается гипотеза Пальма о том, что в упорядоченном полнодоступном пуч ке удельная потерянная нагрузка растет с ростом линий, точнее, если
У (К х) = у(\х,х+ 1), |
(37) |
то |
|
У (К Х + \)<Z у (р, х -р 2), |
(38) |
где у (к, х) = ’к Е х (к).
Для доказательства гипотезы используем интегральное пред ставление формулы Эрланга (28). Возьмем соотношение (29) и учтем, что F(K, х)={у(\К, х)]~1. Дифференцирование дает
= ( - 1 ) ' J e"w Р [ln(f+ 1)]7 (t + 1 Ydt. |
(39) |
Доказательство будем основывать на использовании легко прове ряемого уравнения
dFfо к’ X) |
= - F ( % , |
x + l ) + F(X, х). |
(40) |
|
Используя |
(4(0), |
гипотезу Пальма можно сформулировать сле |
||
дующим образом:если |
|
|
||
FCK, х) = F(n, |
х + |
1), |
(41) |
|
то |
|
|
1) |
|
8FQ,, х) > _ |
д!' |
(42) |
||
дК |
|
|
Эр |
|
|
|
|
||
37
Установим |
несколько |
более |
сильный результат: если х^ О и |
|||||
Х(х) является |
функцией от х, определенной соотношением |
|||||||
F (X, |
х) = |
F0 = const, |
|
|
(43) |
|||
|
|
ф О) |
= |
d F а , |
-V) |
|
(44) |
|
|
|
дХ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то |
|
д ф (х) |
< |
0. |
|
|
(45) |
|
|
|
d x |
|
|
|
|
|
|
Если |
(43) |
имеет место, то, интегрируя выражение левой части |
||||||
от любого целого х до х + 1 и полагая |
|
|||||||
К(х) = %, |
|
? ф + 1 ) = |
ц, |
|
(46) |
|||
получим |
(42). |
|
В |
дальнейшем |
использованы |
обозначения: |
||
с |
d F |
|
г, |
d *F |
|
|
|
|
г х = --- , |
|
Г Хх= -------- и т. д. |
|
|||||
* |
д х |
|
|
д Х д х |
|
|
||
Для доказательства правильности (45) |
продифференцируем |
|||||||
(43) и (44) |
по х и исключим- ^ 1 , что даст |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
d х |
|
|
d- ^ |
= |
^ [ - F |
XxFx + F xxFx]. |
|
||||
d x |
' |
t X |
|
|
|
|
|
|
В силу (39) F я < 0 |
и (45) |
имеет место, если |
|
|||||
G= |
Fxx Fx- |
FXx Fx > |
0. |
|
(47) |
|||
Для расчета G производные от F будем брать в виде (39), при чем для F*, F Хх в качестве переменной интегрирования берем s. Так как переменные (, s и соответствующие пределы интегрирова ния не зависят друг от друга, мы имеем
i—0 s=0
В области s > t оборот. Тогда
со t
i=0 s=0
(s+/) (s + 1)A'(* + 1)A' [In (s + 1)] t (t — s) dtds.
переименуем переменные, заменяя s на t и на
(s+0 (s + \у (t+ \ y [t In (s + 1)—s In ( t + 1)](t—s)dsdL
(48),
В |
(48) подынтегральное выражение аннулируется на границах |
||||
s = 0 |
и s = t области |
интегрирования. |
Во внутренних точках этой |
||
области, где / > s > 0, имеем |
|
|
|
||
|
l n ( s + l ) > 0 , |
1п(г‘+ 1 ) > 0 |
|
|
|
|
H n ( s - f l) — sin (< + 1 ) |
t |
___ s |
> 0,. |
|
|
ln(s + l) ln(f + 1) |
In (/ -)- 1) |
|
||
|
l n ( s + l ) ' |
||||
t
так как-In (H-l) при t> 0 является строго возрастающей функцией.
38
Следовательно, значение разности в квадратной скобке подынтег рального выражения в (48) положительно, так же как и все ос тальные множители. Поэтому имеет место (47), (45) и (42), что требовалось доказать.
4. Упрощение формул Якобеуса
Формулы Якобеуса, как известно (96, 229, 158], применяются для приближенных расчетов многокаскадных схем. Например, для двухкаскадной схемы при использовании распределения Бернулли для линий в каскаде В и распределения Эрланга для выходов в каком-то'направлении (('158], ф-ла (6.7 q ) ) вероятность потерь
где b — нагрузка на линию в каскаде В; т — число коммутаторов каскада В ; А — нагрузка на направление.
Формулу (49) можно упростить при помощи интегрального представления формулы Эрланга (28) и обойтись без вычисления биномиальных 'коэффи1цие(нто1в, -что осложняет счет из-за их быст рого роста. Покажем возможность упрощений на примере более сложной формулы типа (49), которая содержит знакопеременные биномиальные коэффициенты.
П р и м ер 1. Пусть дана формула
Р = Emq (a) Emf ф) |
S |
Г 7 ) |
(50) |
Р=О |
Esi (Ь) |
|
|
|
|
Эта формула приближенно описывает вероятность потерь в двух каскадной схеме, представленной на рис. 2.1. При ее вычислении
Рис. 2.1. Усиленная двух каскадная схема с параметрами: п — число входов каждого коммутатора кас када A; k — число коммутаторов каскада A; f — связность (число промежуточных линий между парой коммутаторов А и В кас кадов); т — число коммутаторов каскада В; q — число выходных ЛИНИН ном направлении
О- О" О- о о о о о о о о 0 |
|
|||
0- 0 * о о о о о о о |
0 -0 0 |
т |
||
в |
|
|
\о о Q |
|
.о о о р- о _0; р о о,, |
|
|||
/о |
f o' |
9 |
9 |
|
А о |
о |
п |
|
|
9 |
k |
|
|
|
приходится суммировать знакопеременные ряды, содержащие бино миальные коэффициенты и формулу Эрланга. Внутренняя сумма в (50) содержит близкие по абсолютному значению слагаемые с противоположными знаками. При достаточно больших значениях параметра т эта сумма не может быть вычислена на ЭВМ, так как при суммировании теряются значимые цифры. При этом следует
39
отметить, что выражение (50) является относительно простым по сравнению с выражениями, которые встречаются при расчете слож ных систем по методу Якобеуса. Выражение типа (50) удается при вести к виду, допускающему вычисление на ЭВМ, применением ин тегрального представления формулы Эрланга (28).
Сначала упростим сумму:
т—р / |
1yn—p s ( т ~ Р \ |
|
|
|
|
|
с = V |
|
\ S ) |
|
|
|
|
sto |
|
W |
|
|
|
|
С учетом (28) |
получаем |
|
|
|
|
|
|
т— р |
оо |
|
|
|
|
5 = ( — l)m_p^ |
( _ i ) ^ w- P j 6 j e “ w[ |
( |
H |
- |
(51) |
|
|
s=0 |
О |
|
|
|
|
Далее меняем местами знаки суммы и интеграла и применяем формулу бинома Ньютона:
“о 'г '
Подставим (51) в (50), поменяем порядок суммирования и ин тегрирования, еще раз применим формулу бинома Ньютона: .
|
оо |
Оо |
Р = Етп (a) Eml(b)ab j |
j е~(ах + Ы) [(* + 1)/- 1 +(*+1)*]"* dxdt. (52) |
|
|
6о |
|
Формула |
(52) является окончательной, по ней можно легко |
|
проводить вычисления на ЭВМ. |
||
П р и м ер |
2. Укажем еще на один аналитический прием. Форму |
|
лы потерь в многокаскадных схемах при условии, что маркер осу ществляет г попыток установить соединение, содержат выражения вида!
2 ( -1)г |
' Е„(Ь) |
У |
(53) |
_Ep-lib) |
|
||
£=0 |
|
|
|
На основе (28) из (53) получаем |
|
||
р |
|
J V -U (t + 1 y l dt |
(54) |
[& £,(& )]'£ |
( - ! ) г(Р) |
||
£=0 |
' |
Lo |
|
Дальнейшие упрощения проводим для выражения (54) |
при г = 2. |
||
Воспользуемся формулой свертки преобразования Лапласа. Как из вестно, если
Е(р) = J e |
pif(t)dt и G{p) = ^ ~ plg(t)dtt |
|
О |
|
о |
то |
|
|
F(p)G(p) = |
] |
е~рх lf( y ) g ( x - y ) d y d x , |
|
0 |
0.' |
40