ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 153
Скачиваний: 0
зультатов, но .приводит к простым рекуррентным соотношениям. А: именно, можно предположить, что допускается не более п источни ков повторных вызовов, т. е. k^Zn, и первичный вызов, поступив ший в состоянии j — v, к = п, теряется (как в системе с потерями).
Тогда имеется конечное |
число состояний (п + 1J ( v + ;1), |
и система* |
||||||
(1) |
принимает вид: |
|
|
|
|
|
||
(К + |
j + |
р/е) р (/, |
к) = (у + |
1) р (/-1- 1, |
к) -\-кр (j — \, |
k) + |
|
|
-f- р (A f - 1) Р (i — 1 > к + |
1 )> j = 0, 1. • • •> v — 1; |
|
|
|
||||
к = 0, |
1, ■ • ., |
л — 1 |
|
|
|
|
|
|
(Л-Ь / + |
рп)р(/, |
п) ^ (у + |
1 ) p (j -Ь 1, |
") + b p { j — 1- |
«). |
|
. |
|
j = 0, 1, ■ ■ -, о - 1 |
|
|
|
■ |
( Р |
|||
(к -|- v) р (v, k) = |
к р (v, к — 1) + р (к + |
1) р {v — 1, /г + |
1) + |
|
|
|||
+ к р (v — 1, к), к = О, 1, • ■ •, /г — 1
vp (v, п) = к р (и, п — 1) + к р (и— 1, /г)
Уравнение, содержащее p(j, к) в левой части, назовем (j, /^-урав нением.
Система (20) допускает рекуррентный метод решения (Ионии ш Седол [65]):
1) полагаем р { 0, п) = 1 (это допустимо, нормировку сделаем* потом);
2)из уравнений (0, я), (1, /г),..., (v— 1, п) вычисляем последо вательно р( \, п ), р (2, /г),..., p(v, п)\
3)из (v, «^-уравнения находим p(v, п— 1);
4) |
полагаем р ( 0, п— lj= .v |
(х |
— введено для удобств вычисле |
||
ний; |
из уравнений (0, п— 1), |
(1, п— 1),..., (v—2, п— 1) находим по |
|||
5) |
|||||
следовательно р(1, п— 1),..., p(v— I, |
я— 1) |
в виде линейных функ |
|||
ций от х; |
|
|
|
|
|
6) |
из (v— 1, п— 1) -уравнения находим х, |
т. е. р (0, п— 1); |
|||
7) |
из выражений, полученных |
в |
п. 5, |
находим р( 1, п— 1 ),...,„ |
|
,..., p(v —4, л— 1); |
|
|
|
|
|
8) |
из (v, п— 1)-уравнения вычисляем p(v, п—2); |
||||
9)полагаем р ( 0, я—2) = х и т. д.;
10)по окончании рекуррентных вычислений на основе норми рующего условия находим р ( 0, п) и истинные значения всех ос тальных p(j, к).
Уравнение (v, 0) остается .неиопользова1нным и может служить для контроля.
Приме р . |
|
Рассмотрим пример, поясняющий рекуррентный ме |
||
тод решения. |
|
Пусть о= л = 2, /,= р,= 1. Тогда система (20) имеетг |
||
вид: |
|
|
|
|
РФ, |
0) = |
р(\, |
0); |
|
2р(1, |
0) |
= р (0, |
0) + 2р(2, 0) + р(0, 1); |
|
123J
Зр(2, |
0) = |
р(1, |
|
0) + р ( 1 , |
1); |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2р (О, |
1) = |
р(1, |
|
1); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3/7(1, |
1) = |
р(0, |
|
1) + |
2р(2, |
1) + |
2р (0, |
2); |
|
|
|
|
|||||
3/7(2, |
1) = |
р (1, |
|
1) + |
р(2, |
0) + |
2р(1, 2); |
|
|
|
|
||||||
Зр (0, |
2) = |
р (1, |
|
2); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4р (1, |
2) = |
р(0, 2) -f 2р(2, |
|
2); |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2р(2, |
2 ) = р ( 1 , |
|
2 ) + р ( 2 , |
1), |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а решение |
(в скобках указано, какое |
уравнение |
используется) — |
||||||||||||||
Р(0, 2) = 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
рО, |
2) = |
3р(0, |
2) = 3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(0,2); |
|||||
Р(2, |
2) = |
у [4 р (1 , |
2) — р (0, 2)]= |
^ - |
, |
|
|
|
(1, 2); |
||||||||
Р(2, |
1) = |
2р (2, |
2) — р (1, |
2) = |
8, |
|
|
|
|
|
(2,2); |
||||||
Р (0, |
1) = |
х; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р(1, |
1) = |
2р(0, |
1) = |
2х, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(0, 1); |
||||
3 - 2х |
= |
х + 2 - 8 + |
2-1, |
х = |
— |
, |
|
|
|
|
|
(1,1); |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
Р (0, |
1) |
= |
- ^ , |
р(1,1) |
= х |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р (2, |
0) = |
Зр (2, |
1) — р(1, |
1) — 2р (1, |
2 ) = - ^ - , |
|
(2, 1); |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
р (0, |
0) = |
х; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р(1, |
0) |
= Р ( 0 . |
0) = *. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0 , 0); |
||||
2х = |
х + 2 - ^ |
|
+ |
^ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1, 0), |
||
|
|
|
О |
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Р (0, |
0) = |
р (1, |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Контрольная проверка согласно |
(2, 0): з • 54 |
— 126 |
36 |
|
|||||||||||||
|
|
2 p(j, |
|
k) = |
|
|
|
|
|
|
и |
|
О |
5 |
|
||
Нормировка |
|
179/2. |
Следовательно, решение имеет вид: |
||||||||||||||
|
пч |
|
2 |
|
|
/п |
1ч |
18 |
2 |
36 |
|
|
|
|
|||
Р |
|
~ |
179 ’ |
|
Р |
’ |
|
^ |
5 |
179 |
895 ’ |
|
|
|
|
||
р(1, |
2) = |
3-— = — ; |
|
р(1, |
1) |
= — . |
— = |
— ; |
|||||||||
|
' |
|
179 |
179 |
|
|
|
|
5 |
179 |
895 |
|
|
||||
р (2, |
2) = |
— •— |
= — ; р (2, |
0) = |
— . — = — ; |
|
|
||||||||||
’ |
' |
|
2 |
179 |
179 |
|
V |
|
5 |
179 |
895 |
|
|
||||
,0 |
|
|
о |
2 |
16 |
= |
|
пч |
; |
,, |
|
126 2 |
252 |
0) = |
|||
р(2, |
1) = |
8 |
. - |
|
- |
р(0, |
0) |
|
= р(1, |
||||||||
.124
Как выбрать /г? Понятно, что при любом таборе параметров К, ji, v можно выбрать столь большое п, чтобы
^]£р(/, /гК е-
*= л +1 /=0 |
|
|
|
Для выбора п |
можно |
воспользоваться следующим |
эмпирически |
установленным фактом: при фиксированных c = X/v, |
ц, п с ростом |
||
v вероятность |
p(v, п) |
медленно убывает (это имеет аналогию с |
|
уменьшением вероятности потерь по формуле Эрланга при увели чении v и Л, так что сохраняется постоянной нагрузка на линию с = = K/v). Следовательно, при данных с и р достаточно выбрать п для однолинейной системы, тогда для с-линейной системы с тем же п результат всегда будет точнее.
5. Модификации основной задачи и числовые таблицы
Легко составить системы уравнений типа (1) для различных модификаций основной задачи:
1) учет эффекта «нетерпеливых клиентов», когда дан пара метр а — интенсивность ухода из очереди источников повторных вызовов;
2)другой эффект «нетерпеливых» клиентов, когда дана веро ятность потери первичного вызова сразу после поступления, если абонент застает все линии занятыми;
3)первичные вызовы создаются конечным числом абонентов. Все три модификации (и подобные им другие) численно решаются алгоритмом Ионина—Седова. Первая из этих модификаций дове дена до числовых таблиц (67]. Эти таблицы содержат следующие значения для полнодоступного пучка с повторными вызовами: ве роятность потерь первичных вызовов
р = 2 Р |
^ |
А= 0
исреднее число повторных вызовов на один первичный вызов
при данных значениях v, c = X/v, |
и (в таблицах используется обо |
значение Т = 1/ц) и U= а/р. |
найти другие характеристики: ве |
По значениям Р и М можно |
|
роятность потерь по вызовам я = |
^ ^ (1 + U)\ вероятность ухода |
из очереди MU; среднее число занятых линий J= X ( 1—MU)\ сред нее число источников повторных вызовов (занятых мест ожидания)
Я
К = М — ; среднее число вызовов в единицу времени L=>% (1+М);
И
среднее время ожидания М/р.
125
6.3.ПРИБЛИЖЕННЫЙ РАСЧЕТ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ НАГРУЗКИ ИЗ-ЗА ПОВТОРНЫХ ВЫЗОВОВ
Рассмотрим более сложные системы с повторными вызовами, чем полнодоступпая. Из-за сложности проблемы нам придется ог раничиться приближенным подходом.
В реальной системе связи каждый разговор, занимающий ком мутационный тракт на 2—3 мни, порождает случайное число по вторных попыток, каждая из которых длится несколько секунд и занимает весь коммутационный тракт или только часть его в зави симости от места потери. Влияние повторных попыток на результа ты измерений нагрузки зависит от того, какое определение вероят ности потерь взято за основу. Потерянная нагрузка состоит из от резков времени, которые соответствуют неудачным попыткам уста новления соединения. При этом вероятность потерь по нагрузке, рассматриваемая как отношение потерянной нагрузки по всей по ступившей нагрузке, может быть небольшой. В то же время вероят ность потерь по вызовам, рассматриваемая как отношение поте рянных вызовов к общему числу первичных и повторных вызовов, может быть в несколько раз больше. Смешение этих двух подходов приводит к'грубым просчетам в оценке пропускной способности си стемы. При этом важно также раздельно рассматривать нагрузку на линии и нагрузку на управляющие устройства. Покажем это на примере вычисления потерь в многозвеньевой системе связи.
1. Постановка задачи
Пусть дана система связи, состоящая из т звеньев, в которой вероятность потерь вызова на отдельном звене равна р и не зави сит от состояния (занятия линий) на остальных звеньях. Такое предположение приближенно выполняется для сложных систем свя зи. Наша задача ■— вычислить величину обслуженной и пропущен ной нагрузки на отдельном звене системы.
Для уточнения постановки данной задачи приведем ошибочные или, точнее, очень грубые рассуждения по поводу ее решения, ко торые иногда встречаются на практике. Рассуждают так. Если на грузка, обслуженная на последнем звене, должна быть равна, на пример, 100 эрланг, а вероятность потери на отдельном звене р —
= 0,5. то |
нагрузка, поступающая |
на последнее |
звено, |
равна |
200 эрланг, на \т— 1)-е звено — 400 эрланг \(400 = 100-22) |
и т. д. |
|||
Нагрузка, |
поступающая на первое |
звено, равна |
2"М 00 |
эрланг. |
Следовательно, обслуженная нагрузка равна 100 эрланг, а потерян ная соответственно — (2т— 1) -100 эрланг. Такое рассуждение за ведомо ошибочно. Главная ошибка в неточном использовании по нятия «нагрузка». Нагрузку мы выражаем в эрлангах, т. е. в часозанятиях, а выше, по существу, вычислялось среднее число вызо вов, поступивших за час.
Если нагрузка, обслуженная всей системой, равна 100 эрланг, то нагрузка, обслуженная первыми (т— 1) звеньями, не может быть
126
равна 200 эрланг, а намного меньше. Каждый потерянный вызов занимает соединительный путь на небольшое время (всего на не сколько секунд) по сравнению со средней длительностью разгово ра, которая равна 2—3 мин.
Если временем установления соединения пренебречь, то посту пающая нагрузка равна тем же 100 эрланг. Для более точного на хождения поступающей нагрузки следует учитывать время поиска свободного пути (время установления соединения). Кроме того, нужно учитывать поведение абонентов, создающих повторные вы зовы при потерянном вызове. Итак, найдем решение следующей за дачи.
Пусть т — число звеньев коммутационной системы; р — веро
ятность |
потери |
вызова на одном звене (независимо |
от состояния |
других |
звеньев); /,• — среднее время поиска соединения на одном |
||
звене; |
Т0— средняя длительность разговора. Пусть дана также |
||
Ym — нагрузка, |
обслуживаемая последним m-м звеном. Требуется |
||
найти нагрузку, |
поступающую па первое звено (обозначим ее через |
||
Y\). Решим эту задачу приближенно при помощи |
элементарных |
||
соображений теории вероятностей. |
|
||
2. |
Вычисление обслуженной нагрузки |
|
|
Рассмотрим события, которые связаны с одним поступившим вызовом. Вероятность потерн вызова на первом звене равна р, на втором звене р{ 1—р) и т. д. на тп-м звене равна р[ 1—p),n_1; ве роятность успешного прохождения всех т звеньев и предоставления свободного пути равна (1—р )т. (Легко проверить, что эти события
образуют полную группу |
событий, |
так как р + р { 1—р ) + ...+ |
+ р ( 1—р ) т~1+ ( 1 —р ) т=\.) |
Вычислим |
нагрузку, поступающую на |
первое звено при каждом событии. Если вызов потерян на первом звене, то поступающая нагрузка равна ti (среднее время поиска пу
ти), если на втором, то 2/, |
и т. д., если на т-м, |
то mti. Если |
|
вызов обслужен, то поступающая нагрузка равна |
mti + То. Следо |
||
вательно, каждый обслуженный вызов приводит |
к |
тому, что на |
|
грузка, поступающая на первое звено, равна |
|
|
|
Yi = UP + 2^,-р ( 1 — Р) + |
• • •+ (ш*т+Л0) (1 — р )п = |
||
= *ftl —(1 ~P)m(/nP + ‘>1 |
+ (Ш*. + Т0) (1 — р)т . |
(21) |
|
Р |
|
|
|
Нагрузка, поступающая на последнее звено, отлична от нуля толь ко в том случае, если вызов не был потерян на первых т— 1 звень ях, и
1) |
равна |
t0+Ti, если вызов обслужен, вероятность чего равна |
(1—р)т ; |
U, если вызов потерян именно на т -м звене; вероят |
|
2) |
равна |
|
ность этого события равна р( 1—p),n_1;
3) нагрузка равна нулю с дополнительной вероятностью /? + ...+ + р(1—р)™'-2.
127