Файл: Шнепс, М. А. Численные методы теории телетрафика.pdf

Г л а в а 10

На основе статистической обработки резуль­ татов моделирования или измерений нельзя

найти точное значение среднего значения измеряемой величины, а только интервал (так называемый довери­ тельный интервал), который с заданной доверительной вероятно­ стью «накрывает» среднее значение измеряемой величины. В связи с этим возникают две задачи математической статистики, приво­ дящие к выбору статистик с минимальной дисперсией: 1) выбор оценки среднего значения; 2) выбор оценки дисперсии (для пост­ роения доверительного интервала). Первой из указанных задач посвящена предыдущая глава. Для получения 'Оценок среднего значения е минимальной дисперсией в § 7.3 введены модифика­ ции оценок вероятности потерь с заменой некоторых случайных величин на их среднее значение. В гл. 9 показано, как можно уменьшить дисперсию оценок сочетанием результатов моделиро­ вания с вычислением по формулам. На примере применения фор­ мулы БЛБ произведен также расчет дисперсии оценки вероятно­ сти потерь, т. е. построен доверительный интервал. Это уже пере­ ход ко второй задаче.

В настоящей главе проведено дальнейшее исследование второй задачи, а именно, рассмотрены различные приемы построения до­ верительного интервала: 1) согласно критерию Стьюдента, в том числе с учетом линейной регрессии между оценками в отдельных реализациях; 2) на основе формулы переноса ошибок; 3) на основе оценки ковариационной функции. Даны соображения о выборе длины реализаций и об обработке результатов измерений на сети.

10.1. ПРИМЕНЕНИЕ КРИТЕРИЯ СТЬЮДЕНТА

1. Центральная предельная теорема для марковских процессов

Оценка точности результатов моделирования основана на применении центральной предельной теоремы, которая говорит о сходимости выборочных статистик к нормальному закону распре­ деления. Чаще всего при моделировании оценка точности произ­

182

водится по критерию Стыодента. Конечно, саму методику модели­ рования следует выбирать так, чтобы вычисленные статистики имели минимальную дисперсию.

Приведем формулировку центральной предельной теоремы для марковских процессов (см., например, Сираждинов [131]), на ос­ нове которой можно вычислить дисперсию оценки линейного функ­ ционала

0 )

.V£S

определенного над множеством 5 состояний х марковского процес­ са x (t). В нашем случае под я понимается вероятность потерь, т. е. fx совпадает с условной вероятностью потерь ■у(х).

Пусть дана оценка выражения (1) в виде

мальному распределению со средним значением 0 и дисперсией 1

183

Приведенные формулы показывают, что вычисление дисперсии оценки п(Т) является более сложной задачей, чем нахождение предельных вероятностей, что, конечно, уменьшает 'практическое

Рис. 10.1. Иллюстрация к центральной предельной теореме

значение ф-л (5). На их основе можно получить только результа­ ты для некоторых простых контрольных примеров. Такого рода контрольные примеры нами даны в [155]; можно также сослаться на таблицы Башарина [15], где приведены значения дисперсии оценки вероятности потерь по времени на полнодоступном пучке линий (в расчете на единицу времени).

2. Схема применения критерия Стьюдента

Центральная предельная теорема дает теоретическое обосно­ вание применению критерия Стьюдента. На рис. 10.2 схематически изображен подход к сбору данных при использовании критерия Стьюдента. Из реализации выбрасывается начальный отрезок дли-

Рис. 10.2. Обработка реализации процесса по схеме Стьюдента

184

ны То и отрезок длины t между реализациями. Получаем п неза­ висимых реализаций, каждая из которых имеет длину Т.

Ниже обсудим, как выбрать Т0, такое, чтобы процесс пришел в стационарное состояние, и / такое, чтобы отдельные реализации' можно было считать независимыми. Длительность реализации Т следует выбрать так, чтобы полученную оценку щ можно было

Тогда для истинного значения я доверительные границы можно представить в виде

где ta {п— 1) ■— коэффициент, определяемый ^-распределением (рас­ пределение Стыодента) при (п— 1)-й степени свободы и двусторон­ ней доверительной вероятности 1—2а. Смысл коэффициента t a. по­ ясняет рис. 10.3.

Рис. 10.4. Сравнение доверительных гра­ ниц распределении Стыодента и Гаусса

185

Детальное сравнение доверительных границ дано на рис. 10.4, откуда ясно видно влияние увеличения числа реализаций на до­ верительный интервал оценки.

3. Уменьшение доверительного интервала посредством линейной регрессии

Мы построили доверительный интервал (9) оценки л как ■среднего арифметического от п измерений яь ■■•, яп, предполагая, что при всех п измерениях интенсивность потока была равна од­ ному и тому же заданному значению X. В действительности X тоже претерпевает случайные колебания от измерения к измерению, и мы имеем п реализаций двумерной случайной величины (Xi, ki), (?.2, яг), ••., (Хп, яп). Учет колебаний Я, дает возможность полу­ чить более точные выводы о величине потерь. Во-первых, целесо­

образно считать, что полученная оценка я = — Бя* относится не к

п

заданному значению X, а к его оценке Я = — БЯ,-. Во-вторых, можно

п

воспользоваться предположением, что (Я*, т ) распределены по двумерному нормальному закону. Покажем, что это предположе­ ние уменьшает доверительный интервал.

Как известно, плотность распределения двумерной нормальной случайной величины имеет вид

где а, b — средние значения и ах, оу—-средние квадратичные от­ клонения обоих случайных величин соответственно, а р — их коэф­ фициент корреляции, определяемый в виде

186

При пренебрежении случайным разбросом значений х дисперсия величины у равна ,а2у. Если же рассматривать условное распреде­ ление величины у при условии, что х = а, то с учетом (10)

сильно экономии 1/4 объема выборки при статистическом модели­ ровании. Покажем, как это соображение использовать на практике.

Р‘

(л — l)3s£ si

Геометрический смысл этих обозначений иллюстрирует рте. 10.5а. Эллипс ограничивает 95-процентную доверительную границу дву­ мерного нормального распределения; кривые/». /л и /яд=1 — это кривые одномерной нормальной 'плотности согласно (11), только первые две плотности безусловные, а третья/лд = х вычислена при

условии Х = Х, подобно тому, как она входит в (14). Регрессионная линия

187

Стьюдента при п—2 степенях свободы и двусторонней доверитель­ ной вероятности 1—2а. Рисунок 10.56 иллюстрирует эту схему рас­ четов.

По данным Кюммерле (251], при моделировании систем телетрафика получается, что доверительный интервал (19) на 30%

Рис. 10.5. К влиянию корреляции на доверительный ин­ тервал оценки вероятности потерь:

а) схема, поясняющая математические обозначения; б) пример обработки данных

меньше того, который дает исходная формула согласно критерию Стьюдента (9), не учитывающая колебания 7ч и их корреляцию с я,- (это вполне реальная цифра при коэффициенте корреляции р >0,5).

188

10.2.ОЦЕНКА ДИСПЕРСИИ НА ОСНОВЕ ФОРМУЛЫ ПЕРЕНОСА ОШИБОК

Впредыдущем параграфе изложен метод оценки выборочной дисперсии на основе критерия Стыодента, который представляет один из возможных методов построения доверительного интервала для оценки среднего значения моделируемой случайной величины.

Можно надеяться, что усложнение методики обработки результа­ тов моделирования уменьшает дисперсию оценок выборочной дис­ персии и, следовательно, дает более точные значения доверитель­ ного интервала. В настоящем параграфе рассмотрим один такой подход, основанный на применении формулы переноса ошибок. Для того чтобы показать преимущества предлагаемого подхода, ниже получены выражения дисперсии выборочной дисперсии для обоих методов и проведено численное сравнение на примере одно­ линейной системы с потерями.

Приведем выражение дисперсии согласно формуле переноса ошибок. Предположим, что моделируемая траектория состоит из N периодов случайной длины, каждый из которых начинается пере­ ходом в состояние v (все линии заняты) и кончается первым воз­ вращением в это же состояние. Итак, датш оценка вероятности

где а,-, р,-— случайные величины, определенные на t-м периоде мо­ делирования. Согласно формуле переноса ошибок

(а + Р)1

Выражение (20) может служить основой для построения довери-

/ \

d

тельного интервала оценки л {N) в виде л (N )'±C~^, где С — дове-

189