Файл: Шнепс, М. А. Численные методы теории телетрафика.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 124

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Подставляя (6) в (1.34), получаем распределение Эрланга для иолнодоступного пучка с ожиданием:

—

Ро,

i = 0.1. . . . . у;

П

 

 

(7)

Pi =

( к

у - и

kv

. ^

—

—

Ро,

1 > V ,

, о! \ v

где

( 8)

Lt=0

Стационарное распределение (1.34) существует при выполнении условий (1.33). В данном случае достаточно потребовать v>X. Формула Эрланга для полнодоступного пучка с ожиданием — ве­ роятность того, что время ожидания будет больше нуля,

 

р> о =

5 >

 

 

 

i— v

 

получается подстановкой (7):

 

 

 

 

V

 

 

Р> о

 

у— % v\

 

 

 

V—1

(9)

 

 

 

 

 

 

 

£=0

 

Формулу (9)

называют также второй формулой Эрланга. Формулы

(7)

и (9)

легко обобщить на случай конечного числа мест ожида­

ния,

скажем,

г. Тогда возможны pi для i ^ v + r, совпадающие с

(7), только с соответствующими изменениями нормирующего ус­ ловия (8). Вероятность p v+r в этом случае называется вероятностью потерь.

Выведем еще формулы для среднего времени ожидания Т и средней длины очереди К ■ Если вызов придет в состоянии i, i< .v, то время ожидания равно нулю. Если же i ^ v , то в момент прихо­ да вызова в очереди будет i— v ожидающих. Среднее время умень­ шения очереди на единицу при условии отсутствия поступления новых вызовов равно l/v, и, следовательно, с вероятностью р, сред­

нее время ожидания равно (7—v + l)/v ,

i ^ v (i—v ожидающих вы­

зовов плюс освобождение одной из v линий). Таким образом,

оо

со

 

 

А Ii—v Ро-

 

 

 

о!

i=v

i—v

 

V

 

 

 

СО

( х + 1 )x i =

1

при 0 < х < 1 (а мы имеем X < v),

Учитывая, что ^

 

О - * ) 2

1= 0

28

и используя (9),

получаем

Т = Щ .

(Ю)

v — X

 

Аналогично средняя длина очереди

К = V ( i - v ) Pi = \T.

L — V

(Это соответствует интуитивному представлению, что за Т единиц времени поступит %Т вызовов.)

4. Формула Эрланга для идеально симметричной неполнодоступной схемы

Пусть дана и-линейная неполнодоступная схема доступности d, обслуживающая пуассоновскую нагрузку первого рода. Предпо­

ложим еще, что число групп абонентов п = ^ ° j , так что при лю­

бых d занятых линиях теряться будут вызовы ровно одного из п поступающих потоков. Тогда при i занятых линиях условная веро­ ятность потери будет

0 , 0 < i < cf.

Это и есть идеально симметричная неполнодоступная схема. Соот­ ветствующий процесс размножения и гибели с учетом ( 11) имеет

интенсивности перехода:

i

^ =

M 1 - Y < ) ,

 

(12)

jXf =

г,

i ^ 0.

 

Подставляя (11) и (12) в

(1.34), находим вероятности состояний

Pi. Подставляя их

в (1.36)

и учитывая (11), получаем искомую

формулу Эрланга для идеально симметричной неполнодоступной схемы:

Ё Ш /

Ю т П М Я /

О )

B (v ,d ,X )= - ^ —

v----------------------------------------

Э )

(13)

 

Е

т

П

( - Ш

 

 

1=0

!=d

 

 

 

(при i < d в (13)

i— 1

 

= 1).

 

 

П ( 1 - ъ )

 

 

j=d

Формулу (13) называют третьей формулой Эрланга.

29

2.2. ОБОБЩЕНИЯ ПРОСТЕЙШИХ ФОРМУЛ ТЕОРИИ ТЕЛЕТРАФИКА

1. Формула БЛБ

Формула БЛБ *) дает выражение вероятности потерь для лю­ бой коммутационной системы с потерями и имеет вид, аналогичный

предыдущей формуле Эрланга (13),

однако вывод

ее

намного

сложнее. Пусть, как введено в § 1.3,

дано множество 5 состояний

х, образуемое

непересекающимнся подмножествами Lk —{х; x£S,

| xj= £}, k — 0,

1 ,..., max|.v|=u, даны

матрица интенсивностей

пе-

 

1eS

вероятностей потерь Г = {у *},

рехода Л = {аку} и вектор условных

на основе чего найдено стационарное распределение

{рх,

x € S}

и

определена вероятность потерь

 

 

 

 

£

ухрх-

 

 

(14)

x^S

 

 

 

 

 

Выражению (14) можно придать

более физически

наглядный

смысл, формально преобразуя данный марковский процесс к виду,

аналогичному процессу размножения и гибели.

Для этого сперва

докажем утверждение:

 

 

 

 

 

 

 

 

kpk = K

V

pxs(x)

 

 

 

 

 

 

 

(15)

 

xeLk-\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при 1^ & ^ и = шах|х|, где

 

 

 

 

 

 

'

P k=

S

 

Px=P{Lk}-

 

 

 

 

 

 

(16)

 

|дг| =А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Утверждение

(15)

будем доказывать в предположениях § 1.3.4,

а именно, основываясь на ур-ния (1.42):

 

 

 

 

\\x\ +

‘ks{x)\px =

£ Р у + Ь

£

Ругух> х & -

(17>

 

 

 

 

 

уеАх

у ев х

 

 

 

 

Переходим

 

к

доказательству

(15).

Из

(17) при х —0 имеем

2 pv—iks(0)po,

что доказывает (15)

при /г = 1. Если же выражение

y s A a

 

 

 

 

то покажем

его выполнение при k + 1. Сум­

(15) верно при k ^ l ,

мируя уравнения равновесия (17) для л: 6

 

получаем

kPk +

h

£

 

s{x)px=

£

£

Р у + Ъ

£

 

£

ругух-

 

XG

 

 

 

XG

У£ Ax

 

 

x£

 

У£в x

Второе слагаемое справа совпадает с Я 2

ру

2

гух,

а по определе-

нию гух (см. §

1.3.2).

2

ryx= s (y ) .

 

у евк-1

хе ау

 

Следовательно, по предположе-

 

 

 

 

Х£ Ау

 

 

kph. В

 

 

 

 

нию индукции вторая сумма

равна

первой

сумме справа

') Сокращенно от фамилий Б а ш а р и н—Л о н г л е й—Б е н е ш.

30

каждое ру входит ровно \y\=k+\ раз, так как при данном у 6

Lh+1

■существует ровно k+\ элемент

L h, для которого у 6

Сле­

довательно,

первая сумма

 

 

( 6 + 1 )

Ру = №+ 1) Pk+1,

 

 

 

Уе Lk+\

 

 

•откуда следует доказательство (15) согласно принципу математи­ ческой индукции.

Введем обозначение

 

PxS (X)

х 6 tft

(18)

Y *=l — п V

Pt

х е Lk

представляющее собой условную вероятность потери вызова на подпространстве Lh. Тогда с учетом (18) из (15) следует

X /I . 1

\

 

(19)

Р* = - ^ ( 1

— Ya-О Ра_1

•

 

Отсюда вероятность потерь (14) с учетом обозначений (16) и (18) принимает вид

к- 1

л =

k= 0

1 = 0

(20)

v

к—I

 

Е £ П о - т . >

к=0 i=0

где А = /.п, что и называем формулой БЛБ. Формулу (20) Лонглей [256] вывел для описания неполнодоступных схем. Башарин [12] по­ лучил ее в общем виде при изучении двухкаскадных и других ком­ мутационных систем. Она приводится также в монографии Бенеша [24]. Затем, что ф-лой i(20) нельзя пользоваться непосредствен­ но, так как она содержит величины уь Для определения которых согласно (18) надо знать все стационарные вероятности рх. Она только может быть использована для приближенных построений, например, подобно тому, как это делается в гл. 10.

2.Обобщение формулы Эрланга для неординарного потока

Пусть дан полнодоступный пучок, состоящий из v линий. На пучок поступает стационарный неординарный пуассоновский поток

А>

с параметром А. С вероятностью— , п, одновременно по-

Л

П

ступает i вызовов, ^ Л,< = А. Группа из i вызовов (назовем ее t'-вы-

<=i

31

Смотрите также файлы