Файл: Швырков, В. В. Моделирование внутригодичных колебаний спроса.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 78
Скачиваний: 0
Taßлица 7
СОПОСТАВЛЕНИЕ СГЛАЖЕННОГО РЯДА ДИНАМИКИ С ЭМПИРИЧЕСКИМ
Годы |
Потребление и январе |
Пптнлетняя |
у—У. |
||||
продукта А (гр.) |
у |
скользящая средняя yt |
|||||
1 |
|
9,66 |
|
|
|
|
|
2 |
|
9,52 |
|
|
— |
— |
|
3 |
|
9,36 |
|
|
9,354 |
0,006 |
|
4- |
|
9,20 |
|
|
9,192 |
0,008 |
|
5 |
|
9,03 |
|
|
9,018 |
0,012 |
|
б |
|
|
8,85 |
|
|
8,835 |
0,016 |
7 |
|
8,65 |
|
|
8,634 |
0,016 |
|
8 |
|
8,44 |
|
|
8,414 |
0,026 |
|
9 |
|
8,20 |
|
|
8,166 |
0,034 |
|
10 |
|
7,99 |
|
|
— |
— |
|
11 |
|
|
7,61 |
|
|
— |
— |
|
|
|
|
|
|
|
0,118 |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 8 |
|
|
ОШИБКА СГЛАЖИВАНИЯ МЕТОДОМ СКОЛЬЗЯЩ ЕЙ СРЕДНЕЙ |
|||||
|
|
|
Сглаживание |
Алгебраическая |
|
||
|
|
|
сумма линейных |
В % к абсолютной |
|||
|
|
|
эмпирического |
отклонений |
|||
|
|
Товары |
ряда |
по скользящей |
сумме всех |
||
|
|
эмпирических членов |
|||||
|
|
|
средней |
с периодом |
ряда от сглаженных |
отклонений |
|
|
|
|
в кварталах |
|
|||
|
|
|
значении ряда |
|
|||
Хлеб |
пшеничный |
(из |
|
|
+ 361 |
+ 0,0630 |
|
сортовой муки) |
|
|
8 |
||||
Картофель |
|
|
12 |
-3777 |
—0,0140 |
||
Мясо, |
птица, дичь |
|
|
12 |
—91 |
—0,00'5 |
|
Молоко |
|
|
|
12 |
—400 |
—0,0080 |
|
Масло животное |
|
|
8 |
+67 |
+0,0841 |
||
Масло |
растительное |
|
|
8 |
—2,0 |
—0,0019 |
|
Яйца |
|
|
|
|
8 |
+3,1 |
+0,0199 |
Рыба |
|
|
|
|
16 |
+211 |
+0,0466 |
С ахар |
|
|
|
|
16 |
+ 116 |
+0,0455 |
Кондитерские изделия |
|
16 |
+ 12 |
+0,0063 |
|||
Овощи, |
бахчевые |
|
|
12 |
+ 1378 |
+0,0213 |
|
Фрукты |
|
(свежне) |
|
|
16 |
—1813 |
—0,1060 |
Шерстяные ткани |
|
|
8 |
+0,03 |
+0,0811 |
||
Шелковые ткани |
|
|
8 |
+0,20 |
+0,0714 |
||
Кожаная |
обувь |
|
|
8 |
—0,01 |
—0,0319 |
|
Валяная |
обувь |
|
|
8 |
—0,01 |
—0,0869 |
|
за 8 лет (1952—1959 гг.) искажение действительного уровня не достигало даже одного процента. Расчет ошибки сглаживания ме тодом скользящей средней (см. табл. 8) показывает, что наиболь шее искажение общей тенденции динамического ряда наблюдается по фруктам (0,106), маслу животному (0,084) и валяной обуви (0,087). Эти искажения тенденции ряда динамики можно умень шить путем сокращения интервала сглаживания. Таким образом,
метод скользящих средних дает хорошие результаты в динами ческих рядах с линейной тенденцией развития. Для рядов с не линейной тенденцией необходимо применять метод взвешенных скользящих средних, который дает более точные результаты.
Метод взвешенных скользящих средних основан на идее пов торного сглаживания1.
Предположим, что мы располагаем динамическим рядом, со стоящим из квартальных данных. Расчет уровня производится по скользящей средней с периодом сглаживания в 5 членов, запи шем сглаженные значения невзвешенной скользящей средней:
1 |
|
|
1 |
|
(1) |
ug—(Ып—2'+ып—l+ Un + Wn+l+ Mn+a) = _"[5] цп , |
|||||
где-{5]п„ — оператор, |
характеризующий процесс |
суммирования |
|||
пяти членов; |
|
|
|
|
|
4^- 15] ип — средняя из пяти членов. |
|
|
V |
||
Если (Un-1 + Wn+i) |
обозначим |
оператором у\ііп, |
(ып-2 + “п+2)— |
||
оператором уг^12 , то |
равенство |
(1) можно |
записать |
следующим |
|
образом: |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
■ |
|
|
-g-.(l+'Yi+'Y2)un= -^- [5] tin |
|
|
|||
Для динамического ряда из 9 членов можно рассчитать пять значений сглаженных средних. Если эти ■значения усреднить .(по вторно сгладить), то мы получим взвешенную скользящую среднюю до пятого члена ряда. Этот расчет может быть произведен без предварительного расчета невзвешенных скользящих средних, а непосредственно по формуле, которая называется 9-членнон взве шенной скользящей средней3:
—2jT [5]2«п= -щ {5ып+ 4(ып-і + ип+і) +
і |
+3(w .7l-2 + Wn+2) + 2 (ц ,г_ з+ н ,г+з) + |
|
|
1 |
+ 1 (U n -4 + M n+O } > |
или |
1 |
|
25" |
[5]2Мп = ^.(5 + 4,уі + Зу2+ 2,уз-|-'у4)мп • |
|
Взвешенная скользящая средняя по 9 членам предполагает двойное сглаживание. В случае тройного сглаживания (с перио дом в 5 членов) динамический ряд должен иметь 13 членов. В этом динамическом ряду будет 9 значений невзвешенных скользящих средних, 5 значений ряда повторно сглаженных и одно значение признака, полученное в результате тройного сглаживания. Это значение признака проставляется против седьмого члена ряда и
1 Macaulay F. R. The Smoothing of Time Series. N. Y., 1931.
2В общем виде уьип
3См.: Гловер Д. У. Интерполяция, суммирование и сглаживание.— В кн.: Математические методы в статистике. М., 1927, с. 136.
23
называется 13-члеиной взвешенной скользящей средней. Расчет этого значения может быть произведен и по формуле
-J2 5 [5]3цл= ^ 5(19.+ 18уі+15у2+ 10уз+ 6у4+ Зу5+ Уб)Н;ѵ '
Метод взвешенных скользящих средних обладает тем преиму ществом, что он способен дать плавный уровень динамического ряда для эмпирических данных с нелинейной тенденцией разви
тия.
•J
2.3. МЕТОДЫ АНАЛИТИЧЕСКОГО
ИКОМБИНИРОВАННОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОБЩЕЙ ТЕНДЕНЦИИ ВНУТРИГОДИЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ СПРОСА
Общая тенденция динамики спроса может быть выражена в виде некоторой математической функции в результате аналити ческого выравнивания эмпирических данных.
Подбор аналитических функций для определения тренда ос новывается на изучении закономерностей и факторов формирова ния динамического ряда, а также на графическом анализе дина мического ряда, логических гипотезах и математико-статистичес ких методах проверок. Логика рассуждений состоит в следующем. Е-сли характер изменения внутригодичных колебаний наиболее близко подходит к прямолинейному уровню, то ’ применяется уравнение прямой
y = a + bt,
где параметр Ь характеризует скорость прироста.
Если в развитии явления наступает перелом в результате воз никновения новых условий, то прямолинейный уровень не может уловить этих изменений, он будет их скрадывать. Поэтому целе сообразно динамический ряд выравнивать с помощью параболы
второго порядка |
|
У= ÜQ-f- |
0.2^ • |
Если принять Допущение, что постоянными являются относи тельные приращения (темпы прироста), то развитие данного про цесса следует выражать показательной функцией
у= аЬ1 ■
Втех случаях, когда мы предполагаем постепенно затухающий прирост при продолжающемся процессе роста, применяются либо кривая Гомперца
г/= а6с‘ ; ln у= ln а+ (InЬ)сг либо логистическая кривая
|
|
1 |
|
У |
а+Ьс1 |
Параметры первых |
трех функций определяются способом наи |
|
меньших квадратов, |
а две |
последующие — методом последова |
24
тельных приближений. Следует отметить, что применение спосо ба наименьших квадратов в динамических рядах носит формаль ный характер. Это объясняется тем, что сфера его деятельности распространяется на случайные колебания. Хронологические же наблюдения не относятся к категории случайных величин. В тех случаях, когда при помощи вышеназванных аналитических функ ций не удается достаточно точно представить общую тенденцию, динамический ряд целесообразно расчленить на несколько перио дов. В результате этого в каждом периоде общая тенденция при нимает сравнительно простой характер развития и может быть представлена одной из вышеперечисленных функций.
Бели расчленение ряда динамики на периоды по каким-либо соображениям нецелесообразно, то следует применять комбини рованные расчеты, сочетающие в себе методы взвешенной сколь зящей средней и аналитического выравнивания. К таким методам относятся 15-членная взвешенная скользящая средняя Вульгауза и 21-членная Спенсера. В отличие от метода взвешенной скользя щей средней расчеты общей тенденции методом Вульгауза и Спен сера производятся параболами второго порядка.
Вычисления методом Вульгауза обычно выполняются по фор муле1
—jgg(25+ 24^1+ 2172+ 7^3+ 3^4—2уб—3‘у7) ип ■
Применение названных выше формул заменяют расчеты тренда по параболе третьего порядка2.
Другим комбинированным методом, сочетающим способ меха нического сглаживания с аналитическим выравниванием, является метод агглютинированных парабол С. П. Боброва3. Сущность этого метода заключается в том, что сглаживание производится по среднемесячным данным, рассчитанным за каждый год. По этим данным и вычисляются параболы второго порядка. Первая пара бола второго порядка (yi=ai + bit+C{t2) рассчитывается по четы рем значениям первых лет (1, 2, 3, 4), вторая парабола (у2 = а2 +
-hb2t+ c2t2) |
проводится так же по четырем |
годам, но начиная со |
||
2-го года и кончая 5-м годом |
(2, 3, 4, 5). По функциям |
у\ и у2 вы |
||
числяются |
интерполяционные |
значения для |
каждого |
месяца тре |
тьего года. Вначале расчет производится по первой параболе
|
|
Z/i= ßl + &l^+ Cj^2 |
’ |
|
где ? = 3 ± — k, k = \, |
2,.., 12. |
|
|
|
__________ 24 |
|
|
|
|
1 |
Woolhause W. S. Explanation of |
New Method of Adjusting Mortility Tables |
||
Journ |
of the Just of act., vol. 16, p. 389—410. |
|
||
2 Применение метода конечных разностей и метода Лагранжа для ана |
||||
литического выражения |
временного тренда в |
динамическом ряду внутригодич- |
||
пых |
колебаний не дает |
эффективных |
результатов. Это объясняется тем, что |
|
техника расчета временного тренда осложняется с увеличением числа членов ряда. Кроме того, исследование приращений не всегда приводит к конкретным выводам, так как картина изменений последовательных приращений может быть
недостаточно отчетливой. |
— |
•3 См.: Бобров С. П. |
Экономическая статистика, с. 425—427, 477—494. |
25
Аналогично выполняется расчет и по второй параболе.
Из интерполяционных значений, вычисленных по каждой па раболе, определяется средняя, которая и будет представлять об щую тенденцию ряда динамики для 12 месяцев третьего года.
Преимущество данного метода состоит в том, что уже заранее известна функция выравнивания. Временной тренд, полученный этим способом, достаточно точно выделяет сезонные колебания, так как выравнивание выполняется по годичным данным. В ре зультате этого вычисленный уровень получается плавным, без скачков, которые имеют место при обычном методе сглаживания.
2.4. РАСЧЕТ ПОСТОЯННОЙ СЕЗОННОЙ ВОЛНЫ
Сезонные или внутригодичные колебания •— это отклонения эмпирического ряда от общей тенденции плавного уровня, рассчи танного способом механического сглаживания, аналитическим ме тодом выравнивания или комбинированным способом (скользя щая средняя и аналитическое выравнивание).
В зависимости от типа связи компонентов динамического ряда (аддитивной или мультипликативной) сезонные колебания выра жаются в различных показателях. В случае аддитивной связи ком понентов динамического ряда сезонные колебания рассчитываются в абсолютных величинах, а при наличии мультипликативной свя зи — в относительных величинах (в процентах). Поэтому прежде чем приступать к расчету сезонных колебаний, необходимо уста новить вид зависимости между сезонным компонентом и другими компонентами динамического ряда.
Если абсолютные сезонные колебания распределяются по нор мальной кривой, то связь между компонентами динамического ря да аддитивная. Она записывается следующим образом: тренд + + сезонный компонент + случайный компонент.
Если же по нормальной кривой распределяются относительные сезонные колебания, то связь между компонентами мультипли кативная:
тренд X сезонный компонент X случайный компонент. Чаще всего в экономических явлениях между компонентами
динамического ряда имеет место мультипликативная связь. По этому сезонные колебания рассчитываются как отношение эмпири ческих данных к теоретическому уровню. Так, в нижеприведенном примере тенденция динамического ряда потребления молока оп ределена методом скользящей средней. Относительные сезонные колебания выражены в процентах.
Для элиминирования влияния случайныхколебаний на сезон ность потребления вычисляются средние сезонные отклонения (се зонная волна).
Существует несколько способов расчета сезонной волны по относительным сезонным колебаниям. Перечислим некоторые из них: расчет сезонной волны по средней арифметической, из цент ральных членов ряда, по медиане. Все эти способы расчета сезон-
26